2020年高考理科数学大一轮提分讲义第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题

1、 第二节 利用导数解决函数的单调性问题最新考纲 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次）函数的单调性与导数的关系f（x）0f（x）0f（x）0f（x）在（a，b）内单调递增f（x）在（a，b）内单调递减f（x）在（a，b）内是常数函数函数 y（f x）在区间（a，b）上可导常用结论1.在某区间内 f（x）0（f（x）0）是函数 f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.2.可导函数 f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对 x（a，b），都有 f（x）0（f（x）0）且 f（x）在（a，b）上的任何

2、子区间内都不恒为零.一、思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1）若函数 f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有 f（x）0.（）（2）如果函数 f（x）在某个区间内恒有 f（x）0，则 f（x）在此区间内没有单调性.（）（3）在（a，b）内 f（x）0 且 f（x）0 的根有有限个，则 f（x）在（a，b）内是减函数.（）答案 （1） （2） （3）二、教材改编1 1.如图是函数 y（f x）的导函数 yf（ x）的图象，则下面判断正确的是（b.先减后增d.减函数.1（0,1 函数 f（x）的定义域为x|x0，由 f（ x）1 0，得 0x1，x所以函数 f（x）的单调递减区间为（0,

3、1.4.已知（f x）x ax 在1，）上是增函数，则实数 a 的最大值是.33 f（x）3x2a0，即 a3x2，又因为 x1， ），所以 a3，即 a 的最大值是 3.2 （3）在定义域内解不等式 f（x）0，得单调递增区间.（4）在定义域内解不等式 f（x）0，得单调递减区间.1.函数 f（x）1xsin x 在（0,2）上是（a.单调递增）b.单调递减c.在（0，）上增，在（，2）上减d.在（0，）上减，在（，2）上增a f（x）1cos x0 在（0,2）上恒成立，所以在（0,2）上单调递增.122.函数 y x ln x 的单调递减区间为（）2a.（1,1c.1，）1b.（0,1d

4、.（0，）ln x，b y x22（x1）（x1）1x（0，），yxx.x由 y0 可解得 0x1，12ln x 的单调递减区间为（0,1，故选 b.y x23.已知定义在区间（，）上的函数 f（x）xsin xcos x，则 f（x）的单调递增区间是.2 ， 和0， （ ）sin cos sin cos ，f x x x x x xx2 令 f（x）xcos x0，2 则其在区间（，）上的解集为 ， 和 0， ，2 2 即 f（x）的单调递增区间为 ， 和 0， .2 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.3 如 t2.2.xx0，f（x）在（0，）x4 xex1a.e

5、x1ex1由 f（x）0，得（1a）（e 1）1，x1a，解得 xlnx1a1a由 f（x）0，得（1a）（e 1）1，x1a.x综上，当 a1，）时，f（x）在 r 上单调递减；a（1）利用集合间的包含关系处理：yf（x）在（a，b）上单调，则区间（a，5 b）是相应单调区间的子集.（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的 x（a，b）都有 f（x）0 且在（a，b）内的任一非空子区间上，f（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.12已知函数 f（x）ln x，g（x） ax 2x（a0）.2（1）若函数 h（x）f

6、（x）g（x）存在单调递减区间，求 a 的取值范围；（2）若函数 h（x）f（x）g（x）在1,4上单调递减，求 a 的取值范围.122x，x（0，），解 （1）h（x）ln x ax21所以 h（x） ax2，由于 h（x）在（0，）上存在单调递减区间，x1所以当 x（0，）时， ax20 有解，x1 2即 a 有解.x2 x1 2设 g（x） ，x2 x所以只要 ag（x）即可.min21而 g（x） 11，x所以 g（x）min1.所以 a1 且 a0，即 a 的取值范围是（1,0）（0，）.（2）由 h（x）在1,4上单调递减得，1当 x1,4时，h（x） ax20 恒成立，x1 2即

7、 a 恒成立.x2 x6 21，而 g（x）所以 ag（x）1 1，maxx1 1因为 x1,4，所以 ，1，4x716所以 g（x）max（此时 x4），7167所以 a 且 a0，即 a 的取值范围是 ，0（0，）. 16 1.（变问法）若函数 h（x）f（x）g（x）在1,4上单调递增，求 a 的取值范围.解 由 h（x）在1,4上单调递增得，当 x1,4时，h（x）0恒成立， 1（此时 1），x所以 a1 且 a0，即 a 的取值范围是（，1.2.（变问法）若函数 h（x）f（x）g（x）在1,4上存在单调递减区间，解 h（x）在1,4上存在单调递减区间，则 h（x）0 在1,4上有解

8、，3.（变条件）若函数 h（x）f（x）g（x）在1,4上不单调，求 a 的取解 因为 h（x）在1,4上不单调，7 1 21 2x2 x2a的取值范围.3a313在1,2上，f（x） 4xax0 或 f（x）a313即 4xaa31axx，因为函数 h（x）在1,2上单调递增，3 15 333所以或3，h（2）或 h（1），即 aaa 2 a8 用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：（1）f（x）g（x）f（x）f（x）g（x）；（2）xf（x）f（x）xf（x）；f

9、（x）（3）xf（x）f（x）； x （4）f（x）f（x）exf（x）；f（x）（5）f（x）f（x）.ex（1）已知函数 f（x）是定义在 r 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数为 f（x），若对任意 x0 都有 2f（x）xf（x）0 成立，则（）a.4f（2）9f（3）c.2f（3）3f（2）b.4f（2）9f（3）d.3f（3）2f（2）xf（x）f（x）（2）设 （f x）是定义在 r 上的奇函数，（f 2）0，当 x0 时，有x20 恒成立，则不等式 x2f（x）0 的解集是.（1）a （2）（，2）（0,2） （1）根据题意，令 g（x）x f2（x），其导数 g（x）2xf

10、（x）x2f（x），又对任意 x0 都有 2f（x）xf（x）0 成立，则当 x0 时，有 g（x）x（2f（x）xf（x）0 恒成立，即函数g（x）在（0，）上为增函数，又由函数 f（x）是定义在 r 上的偶函数，则f（x）f（x），则有 g（x）（x）2f（x）x2f（x）g（x），即函数g（x）也为偶函数，则有 g（2）g（2），且 g（2）g（3），则有 g（2）g（3），即有 4f（2）9f（3）.故选 a.9 f（x）（ ）f x（2）令 （x）f（x），当 x0 时，0，x x 在（0，）上为减函数，又 （2）0，（x）x在（0，）上，当且仅当 0x2 时，（x）0，此时 x2f

11、（x）0.又 f（x）为奇函数，h（x）x2f（x）也为奇函数.故 x2f（x）0 的解集为（，2）（0,2）.如本例（1）已知条件“2f（x）xf（x）0”，需构造函数 g（x）x2f（x），求导后得 x0 时，g（x）0，即函数 g（x）在（0，）上为增f（x）函数，从而问题得以解决.而本例（2）则需构造函数 （x）解决.x1.定义在 r 上的函数 f（x）满足：f（x）f（x）恒成立，若 x x ，12则 e f（x ）与 e f（x ）的大小关系为（）xx2112a.e f（x ）e f（x ）xx2112b.e f（x ）e f（x ）xx2112c.e f（x ）e f（x ）xx2112d.e f（x ）与 e f（x ）的大小关系不确定xx2112f（x）f（x）exf（x）e f（x）f（x）xa 设 g（x），则 g（x），exex（e ）x2由题意得 g（x）0，所以 g（x）在 r 上单调递增，当 xx 时，g（x ）g121f（x ） f（x ）12（x2），即，所以 e f（x ）e f（x ）.x x1 2exex2112122.已知函数 f（x）（xr）满足 f（1）1，且 f（x）的导函数 f（x） ，x2 12 2则不等式 f（x ） 的解集为.2