2020年高考文科数学一轮总复习：函数的奇偶性及周期性

1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：函数的奇偶性及周期性第 3 讲 函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)， 那么函数 f(x)是偶函数偶函数关于 y 轴对称如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)是奇函数奇函数关于原点对称注意 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 t ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xt )f(

2、x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 t 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期注意 不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f(x) 5 .常用知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f( |x| )(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x a ) f(x)， 则 t 2a

3、(a0)1(2)若 f(x a )，则 t 2a(a0)f（x）2020 年高考文科数学一轮总复习第 1 页 共 12 页 1(3)若 f(xa)，则 t2a(a0)f（x）判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在 r 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 f(x)f(x)g(x)是偶函数(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若 t 是函数的一个周期，则 nt(nz，n0)也是函数的周期(答案：(1) (2) (3) (4) (5

4、)(教材习题改编)定义域为 r 的四个函数 yx ，y2 ，yx 1，y2sin x 中，奇函3x2数的个数是(a4)b3d1c2解析：选 c.由奇函数的定义可知，yx3，y2sin x 为奇函数已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是()a1b.3131d1c.22解析：选 b.因为 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，所以 a12a0，13所以 a .又 f(x)f(x)，所以 b0，1所以 ab .35 (教材习题改编)设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时 ，f(x)2x(1x)，则 f 2_55211 2121212 解析：

5、f 2 fff2 1 . 22答案：12(教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当x0 时，f(x)x(1x)，则x0 时，f(x)_解析：当 x0 时，则x0，所以 f(x)(x)(1x)又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)(x)(1x)，所以 f(x)x(1x)答案：x(1x)2020 年高考文科数学一轮总复习第 2 页 共 12 页 判断函数的奇偶性(师生共研)判断下列函数的奇偶性1(1)f(x)x ；3x(2)f(x) x 1 1x ；22x22， 0，x(3)f(x) 0， 0，xx22，x0.【解】 (1)原函数的定义域为x|x0，关于原点对称，并且对于

6、定义域内的任意一个 x 都有1x1xf(x)(x)3 x3 ( )，f x从而函数 f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为 r ，关于原点对称，当 x0 时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当 x0，得1x1，1x1x1x即 f(x)ln的定义域为(1，1)1x又 f(x)ln ln1x1x1xln1f(x)，故 f(x)为奇函数1 x1x函数奇偶性的应用(师生共研)(1)已知 f(x)是 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x ln(1x)，则当 x0 时，f(

7、x)32020 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共 12 页 ()ax ln(1x)bx ln(1x)33cx ln(1x)dx ln(1x)332(2)(一题多解)(2019贵阳摸底考试)已知函数 f(x)a(ar)是奇函数，则函数 f(x)e 1x的值域为()a(1，1)c(3，3)b(2，2)d(4，4)【解析】 (1)当 x0，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)222(2)法一：由 f(x)是奇函数知 f(x)f(x)，所以 aa，得 2ae 1xe 1e 1xx2，e 1x1ex所以 a1，e 1 e 1xx2所以 f(x)1.e 1x1因为 e 11，所以 0

8、1，xe 1x2所以111，所以 01，110 时，f(x)x x，则当 x0 时，函数 f(x)2的最大值为_解析：法一：当 x0，所以 f(x)x2x.又因为函数 f(x)为奇函数，12142所以 f(x)f(x)x2xx ，14所以当 x0 时，f(x)x2xx ，最小值为 ，14因为函数 f(x)为奇函数，所以当 x0 时，函数 f(x)的最大值为 .答案：14函数的周期性(典例迁移)(1)已知 f(x)是 r 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x2 时 ，f(x)x x，则3函数 yf(x)的图象在区间0，4上与 x 轴的交点的个数为()a2c4b3d5(2)(2018高考江苏

9、卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xr)，且在区间(2，2上，f(x)cosx，0x2， 2则 f(f(15)的值为_，2x0，1x22020 年高考文科数学一轮总复习第 6 页 共 12 页 【解析】 (1)当 0x2 时，令 f(x)x3xx(x21)0，所以 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x 0，x 1.12当 2x4 时，0x22，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当 2x4 时，yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x 2，x 343.又 f(4)f(2)f(0)0，综上可知，共有

10、5 个交点(2)由函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xr)，可知函数 f(x)的最小正周期是 4，所 以 f(15)f(12121422 1) 1 ，所以 f(f(15)f cos . 222【答案】 (1)d (2)迁移探究 (变问法)若本例(1)的条件不变，求 f(x)(x2，0)的解析式解：当 x2，0)时，0x20，a1c0b1d2解析：选 a.由已知条件得 f(1)log 21，f(0)0，f(1)f(0)f(1)011，2f(2)f(1)f(0)101，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)

11、0，所以在(0， )上函数 f(x)的值以 6 为周期重2020 年高考文科数学一轮总复习第 7 页 共 12 页 复出现，所以 f(2 018)f(2)1.故选 a.基础题组练1下列函数中，与函数 y3 的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()|x|ay1bylog |x|x2cy1x2dyx 13解析：选 c.函数 y3| |为偶函数，在(，0)上为增函数，选项 a 的函数为奇函数，x不符合要求；选项 b 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项 d 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项 c 符合要求2(2019贵阳第一学期检测)若函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当

12、 x0 时 ，f(x)log (x22)1，则 f(6)(a2)b4c2d4解析：选 c.根据题意得 f(6)f(6)1log (62)13log 22.故选 c.223若函数 f(x)ax bx8(a0)是偶函数，则 g(x)2ax bx 9x 是()232a奇函数b偶函数c非奇非偶函数d既奇又偶函数解析：选 a.因为函数 f(x)ax2bx8(a0)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即 bxbx，得 b0.所以 g(x)2ax3bx29x2ax39x，g(x)2a(x)39(x)(2ax29x)g(x)所以 g(x)为奇函数故选 a.4函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0，2时，

13、f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1，3上的解集为(a(1，3)b(1，1)c(1，0)(1，3)d(1，0)(0，1)解析：选 c.f(x)的图象如图当 x(1，0)时，由 xf(x)0 得 x(1，0)；当 x(0，1)时，由 xf(x)0 得 x .当 x(1，3)时，由 xf(x)0 得 x(1，3)故 x(1，0)(1，3)2020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 12 页 15(2019山西八校第一次联考)已知 f(x)是定义在 r 上的函数，且满足 f(x2)，f（x）112当 2x3 时，f(x)x，则 f _111125 解析：因为 f(x2)，所以 f(x4)

14、f（x）f(x)，所以 f f ， 2f（x2）5252 又 2x3 时，f(x)x，所以 f ， 11 52所以 f .2答案：52log （x1），x0，36设函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，且 f(x)则 g(f(8)（x），x0 且 a1)2a1x1x解：(1)定义域要求0，所以10 时，f(x)13x.(1)求当 x0 时，f(x)的解析式；2020 年高考文科数学一轮总复习第 9 页 共 12 页 x(2)解不等式 f(x) .8解：(1)因为 f(x)是奇函数，所以当 x0，x又因为当 x0 时，f(x)，13xx所以当 x0 时，f(x)f(x)13xx13x.x8xx

15、8(2)f(x)0 时，即 ，13x118所以 ，所以 3 18，所以x3 1 8x解得 x2，所以 x(0，2)xx8当 x0 时，即 ，13x所以 3 32，所以 x2，x所以不等式的解集是(，2)(0，2)综合题组练1 1已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f 的 x 的取值范围 3是()1 23 31 2a. ，b. ，3 31 22 31 2c. ，d. ，2 3解析：选 a.因为 f(x)是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，1 又 f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f ， 3131323所以|2x1| ，所以 xg(0)g(1)答案：f(1)g(

16、0)g(1)5设 f(x)是定义域为 r 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式解：(1)因为 f(1x)f(1x)，所以 f(x)f(2x)又 f(x2)f(x)，所以 f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 r，所以 f(x)是偶函数(2)当 x0，1时，x1，0，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.x，x1，0，故 f(x) ， （0，1），x xx2，x1，2.2020 年高考文科数学一轮总复习第 11 页 共 12 页 32326(应用型)设函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，对任意实数 x 有 f x x 成f立(1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值；(3)若 g(x)x ax3，且 y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值23232解：(1)由 f x x ，f且 f(x