2020高考解答题突破(三) 数列的综合应用

1、2020高考解答题突破(三)数列的综合应用突破“两归”化归、归纳思维流程技法点拨1由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法2对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明考向一等差、等比数列的证明是等差数列；a证明数列是等差(比)数列的两种基本方法(1)定义法：an1and(常数)(nn*)anan1nq(q是非零常数)an是等比数列(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nn*)an是等差数列；2a

2、n1anan2(nn*，an0)an是等比数列解(1)由题意知，2sn(n1)2ann2an1，2sn1(n2)2an1(n1)2an2，两式相减，并化简得(n1)2(an2an)2(n1)2an1，数列an的公差为2，故an2n.(2)由题意知，bnbn12an22n，bn1bn22an122(n1)，两式相除，可得bn24bn，即b2n和b2n1都是以4为公比的等比数列b2n24n122n1，b2n122n2，即bn2n1，则bn12bn，1因此存在2，使得数列bn是等比数列nan210，设数列bn满足bntn.巧造等差或等比判定方法(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前

3、n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；n(3)a2an1an1(n2，nn*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.对点训练n1(2018常州一模)已知n为正整数，数列an满足an0,4(n1)a2na2ann(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列bn是等差数列，求实数t的值n2解(1)证明：数列an满足an0,4(n1)a2nan10，2n1annan1.即an1n12an.nann数列是以2为公比的等比数列(2)由(1)可得annn1a12n1，a2n

4、a24n1.bntn，b1t，b2t2，b3t3.数列bn是等差数列，2t2tt3.a12tt2，当t4时，bn4n4，数列bn为等差数列，所以t的值为4.snsn1，n2n13a2a2a2a213a2a2a21222a243a142即16tt248，解得t12或t4.经检验，当t12时，b2，b3，b4不成等差数列，故舍去n1a2na2考向二数列的通项与求和1求数列的通项公式的方法(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与sns1，n1，间关系式时适合用an求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得2求数列的前n项和的方法结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位

5、相减、分组求和等方法(2)由(1)知cnn(3n3)(6n6)n13(n1)2n1.又tnc1c2cn，得tn3222323(n1)2n1，2tn3223324(n1)2n2，两式作差，求解数列通项和前n项和的关键步骤(2)若数列bn满足bn(n2)log2an，求数列b的前n项和tn.对点训练2(2018南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；1n解(1)设数列an的公比为q，2a1，a3,3a2成等差数列，2a13a22a3，即2a13a1q2a1q2，1化简得2q23q20，解得q2或q2.q0，q2.

6、2nn2n(n2)2132435nnn2n1n1n2122n1n2422(n3n2)btnbb12111111a12，数列an的通项公式ana1qn12n，nn*.(2)bn(n2)log2ann(n2)，11111，n1111n1n111111111132n3.考向三数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应函数的单调性比较大小，还可以作差或作商比较大小；(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题，此类问题常通过

7、构造函数证明，或者直接利用放缩法证明解(1)4snanan1，nn*，4a1a1a2，又a12，a24.当n2时，4sn1an1an，得4ananan1an1an.(2)设数列aa的前n项和为s，不等式slog(1a)对任意nn3a“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列审题时应注意归纳法的运用，要看清项及下标的特征，要注意下标的范围对点训练3(2018临川质检)已知数列an满足对任意的nn*，都有a3133a

8、2an(a1a2an)2，且an0.(1)求数列an的通项公式；11nn2的正整数n恒成立，求实数a的取值范围3n33解(1)由a31a2a3(a1a2an)2知a31a2an1(a1a2an1)2，n则a31(a1a2an1)2(a1a2an)2an12(a1a2anan2n(n2)2nn2anan2，n2n1n242n则所以snaaaa2132422113111所以实数a的取值范围是0，2.an)an1，nn又an0，所以a212(a1a2an)an1，则a22(a1a2an1)an(n2)，nn2故a21a2anan1，因为an0，所以an1an1.又a31a1，所以a11.又a222a

9、1a2，所以a22，所以a2a11，即当n1时，有an1an1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)由(1)知ann，11111，11111111113241(n1)(n3)则sn1sn0，所以数列sn单调递增，所以(sn)min1s13.111要使不等式sn3loga(1a)对任意正整数n恒成立，只要33loga(1a)即可1易知0aa，解得0a2.1专题跟踪训练(二十)1(2018内蒙古包头一模)已知数列an的前n项和为sn，且sn2an3n(nn*)(1)求a1，a2，a3的值(2)设bnan3，试说明数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式解(1)当n1时，

10、由s1a12a131，得a13；当n2时，由s2a1a22a232，可得a29；当n3时，由s3a1a2a32a333，得a321.(2)因为sn2an3n，所以sn12an13(n1)上述两式相减得an12an3，所以an132(an3)，所以bn12bn，且b16.所以数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列所以bn62n1.所以anbn362n133(2n1)2(2018长春实验中学一模)已知在数列an中，a11，当n2sn2ansn2.时，其前n项和sn满足1(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.(1)求sn的表达式sn2n1(1)当n2时，将ansnsn1代入sn2ansn2中，得

11、2snsn解1snsn10，化简得ss2，s1，数列s是以1为首n1nn111111项，2为公差的等差数列tn213352n12n122n12n1(2)设数列nn的前n项和为tn，求证：tn0，所以解得a1(a13d)16，d2.所以数列an的通项公式为ana1(n1)d22(n1)2n.n(n1)(2)证明：由(1)知a1d2，则sn2n22n2n.所以snn1234n1所以tn2122232n，123nn12tn22232n2n1.12111n1由得，2tn2122232n2n1.1n111111n122n1所以tn221222n12n212n31212nn112n3.(2)若cn3b，且cntan42t2对一切正整数n恒成立，求实数3所以bn3n1，cn3bn3n.由cn1cn(2n1)3(2n1)333(1n)0，可得故tn0，所以an1an2.所以当n2时，an是公差d2的