《一元二次方程的解法》教案

1、 一元二次方程的解法教案教学内容1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念3.因式分解的探究及其方法教学目标1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目3.会熟练应用公式法解一元二次方程4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程重难点关键重点：1.讲清配方法的解题步骤2.求根公式的推导和公式法的应用3.应用因式分解法解一元二次方程难点与关键：1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方2.一元二次方程求根公式法

2、的推导3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解教学过程一、复习引入(学生活动)解下列方程：( ) - + =1 x 8x 7 02( ) + + =2 x 4x 1 02老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有 的完全平方形式，右边是非负x数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：( ) - +(- ) + -(- ) =1 x 8x 4 7 4 0222( - ) =x 4 92- = 即 = ， =x 4 3 x 7 x 121( ) + =-2 x 4x 12+ + =- +x 4x 2 1 2222( + ) = 即 +

3、=x 2 3 x 223 = 3 - ， =- 3 -2 xx122二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例：解下列方程：( ) 1 x 2( ) 2 4x 1 022分析：第 题直接用开平方法解；第 题可先将 移项，再两边同时除以 化为 的1 2 1 4x a2形式，再用直接开平方法解之.例：解下列方程：( ) + + =1 x 6x 5 0( ) + - =2 2x 6x 2 0( )( + ) + ( + )- =3 1 x 2 1 x 4 0222分析：我们已经介绍了配方

4、法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 的完全平方x解：( )移项，得： + =-x 6x 512配方： + + =- + ( + ) =x2 6x 32 5 32 x 3 2 4由此可得： + = ，即 =- ， =-x 1 x 51 2x 32( )移项，得： + =-2x 6x 222二次项系数化为 ，得： + =-x 3x 112333配方 + +( ) =- +( ) ( + ) =54x2 3x2 12 x22223由此可得 + =332555，即 =x- ， =-xx2212222( )去括号，整理得： + - =x 4x 1 032移项，得 + =x2 4x

5、 1配方，得( + ) =x 2 2 5+ = 5 ，即 = 5 - ， =- 5 -2 x2x 2x12三、应用拓展用配方法解方程( + ) ( + )( + )=6x 7 3x 4 x 1 62分析：因为如果展开( + ) ，那么方程就变得很复杂，如果把( + )看为一个数 ，那6x 76x 7y2111么( + ) = ，其它的 + = ( + )+ ，+ = ( + )- ，因此，方程就转化为 的方程，16x 7 y 3x 46x 7x 16x 7y222266像这样的转化，我们把它称为换元法解：设 + =6x 7 y1 11 1则 + =3x 4+ ， + = -x 1y2 2y6

6、6 1 1 1 1+ )( - )=6依题意，得： (yyy2 2 6 62去分母，得： ( + )( - )=y y 1 y 1 722( - )= ， - =y y 1 72 y y 7222421( - ) =2894y2221- =17y222= 或 =- (舍)y 9 y 822 =y323当 = 时， + =-y 3 6x 7 3 6x 4 x=-53当 =- 时， + =-y 3=-6x 7 3 6x 10 x=-2所以，原方程的根为 =- ， =-53x1x23用配方法解一般形式的一元二次方程： + + = ( )ax bx b 0 a 02用求根公式解一元二次方程的方法叫做公

7、式法当 - 时，一元二次方程 + + = ( )有两个不等实数根；b 4ab 0 ax bx b 0 a 012322当 - = 时，一元二次方程 + + = ( )有两个相等实数根；b 4ab 0 ax bx b 0 a 022当 - b 4ab 02( )当方程有两个相等的实数根时， -2=b 4ab 02( )当方程没有实数根时， -3b 4ab 9 2 4 2 8 27 02.计算： - 的值； 代入：把有关数值代入公式计算；b 4ab342 - b b - 4 ac2 x =2 a( )- - 9 172 2=9 17.49 + 179 - 17 x =; x =.44125定根：写

8、出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：、把方程化成一般形式，并写出 、 的值；a b12、求出= - 的值；b2 4ab3、代入求根公式；4、写出方程的解；定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 的形式，再使这两个一次式分别0等于 ，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法0例：解下列方程134x(x - 2) + x - 2 = 0- 2x - = x - 2x +( )1( )5x2224解：( )把方程1x(x - 2) + x - 2 = 0 因式分解得(x - 2)(x +1) = 0 x - 2 = 0 或x +1 = 0= 2, x = -1x12134- 2x - = x - 2x +( )5x2224-1 = 0 4x -1 = 0移项，合并同类项，得4x222因式分解，得(2x +1)(2x -1) = 0+1 = 0 2x -1 = 0或于是得2x112= - , x =x212归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因