高三一轮复习：圆与方程复习课

1、课题：圆的方程课题：圆的方程 x y oo x y 定义：定义： 在平面内，到在平面内，到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的的点的集合集合 （轨迹）。（轨迹）。 圆的定义圆的定义 注意两个要素：注意两个要素：圆心，半径圆心，半径 圆的方程圆的方程 标准方程：标准方程： 一般方程：一般方程： 参数方程：参数方程： )( sin cos 为参数为参数 rby rax 222 )()(rbyax 0 22 feydxyx )04( 22 fed 直径方程：以直径方程：以a(x1,y1)，b(x2,y2)为直径为直径 0)()( 2121 yyyyxxxx 基础练习 1.方程x2+y2+ax+

2、2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的 取值范围是 . 2 2 3 a 2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、 br）对称，则ab的取值范围是 . . 4 1 , 3.方程 对应的曲线是（ ） 2 4yx a 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 222 )()(rbyax 点在圆上：点在圆上： 点在圆内：点在圆内： 点在圆外：点在圆外： 22 0 2 0 )()(rbyax 22 0 2 0 )()(rbyax 22 0 2 0 )()(rbyax ),( 00 yxp 3 , 31, 2 基础练习基础练习 4、过点、过点a（a a，a)a)可作可作圆圆x2+y

3、2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是 . 直线与圆的位置关系有三种：直线与圆的位置关系有三种： 相离，相切，相交相离，相切，相交 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的判断直线与圆的位置关系常见的 有两种方法有两种方法 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (1)(1)代数法：代数法：利用判别式利用判别式= =b b2 2-4ac-4ac 0 0 0 相交 相切 相离 (2)(2)几何法：几何法： 利用圆心到直线的距离和圆半径的利用圆心到直线的距离和圆半径的 大小关系大小关系 相离相离 相切相切 相交相交 rd r

4、d rd 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 圆的切线方程圆的切线方程 若圆的方程为若圆的方程为x2+y2=r2，点点p(x0,y0)在在 圆上，则过圆上，则过p点且与圆点且与圆x2+y2=r2相切的相切的 切线方程为切线方程为 x0 x+y0y=r2 圆的切线长度：圆的切线长度： 点到圆心的距离、切线长度和半点到圆心的距离、切线长度和半 径构成的直角三角形。径构成的直角三角形。 若若p(x0,y0)为圆为圆x2+y2=r2外一点，外一点，pm1、 pm2分别切圆于分别切圆于m1、m2，则直线则直线 m1m2的方程为的方程为 . x0 x+y0y=r2 圆的切点弦方程圆的切点弦方程 x y

5、o p m1 m2 直线与圆相交的弦长计算直线与圆相交的弦长计算 r od (1)几何法：几何法： 解由弦心距、半弦及半解由弦心距、半弦及半 径构成的直角三角形；径构成的直角三角形； (2)代数法：代数法： 运用弦长公式运用弦长公式 ， 其中其中k k为直线的斜率，为直线的斜率，x x1 1,x,x2 2为直为直 线与圆的两个交点的横坐标线与圆的两个交点的横坐标. . 2 21 2 )(1(xxkl 直线与圆相离直线与圆相离 圆与直线相离，常圆与直线相离，常 利用圆心到直线的利用圆心到直线的 距离距离d d去确定圆上去确定圆上 的点到直线距离的的点到直线距离的 最大值最大值( (d+r)d+r

6、)、 最小值最小值( (d-r)d-r) l o 特殊的圆特殊的圆 圆过原点：圆过原点： 圆与圆与x轴相切：轴相切： 圆与圆与y轴相切：轴相切： x2+y2+dx+ey=0 (x-a)2+(y-b)2=|b|2 (x-a)2+(y-b)2=|a|2 (x-a)2+(y-b)2=r2 a2+b2=r2 r=|b| r=|a| 2 基础练习基础练习 5、圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离 为 的点共有 个。 3 变式练习：圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+my+1=0的 距离为 的点共有3个，则m 的值为 。2 1或-1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 圆与圆

7、的位置关系可分为五种：圆与圆的位置关系可分为五种： 相离，外切，相交，内切，内含相离，外切，相交，内切，内含 (两圆的公切线条数也可分为五种两圆的公切线条数也可分为五种) 并掌握圆的公切线长度的求法。并掌握圆的公切线长度的求法。 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为o o1 1、o o2 2，半径为半径为r r1 1、 r r2 2(r(r1 1rr2 2) ) 则则 判断圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系 1212 1212 121212 1212 1212 | | | | | | | | oorr oorr rroorr oorr oorr 相离 外切 相交 内切 内含 常用几何法：常用几何

8、法： 两圆公共弦方程两圆公共弦方程 0 111 22 fyexdyx 0 222 22 fyexdyx 公共弦方程公共弦方程 0)()()( 212121 ffyeexdd x y o 0 111 22 fyexdyx 0 222 22 fyexdyx 圆系方程圆系方程 2222 111222 ()0 (1) xyd xe yfxyd xe yf 过两圆的交点的圆的方程：过两圆的交点的圆的方程： 0 22 feydxyx 0 cbyax 过直线与圆的交点的圆的方程：过直线与圆的交点的圆的方程： 22 ()0 xydxeyfaxbyc 圆系方程圆系方程 (1)x2+y2-2x-4y-8=0或或x

9、2+y2-6x-8y=0 (2)x2+y2-2x+8y+9=0 练习：求下列圆的方程练习：求下列圆的方程 （1）经过）经过a(2,-3),b(-2,-5)两点，圆心在两点，圆心在x-2y-3=0上；上； （2）与）与y轴相切，被直线轴相切，被直线y=x截得的弦长为截得的弦长为 ，圆心在，圆心在 x-3y=0上；上； （3）过）过a(-1,5)、b(-2，-2)、c(5,5)的圆；的圆； （4）过直线过直线3x-4y-7=0和圆和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点的交点且过点 (1,2)的圆的方程的圆的方程 ； （5 5）以相交两圆以相交两圆c1: x2+y2+4x+y+1=0和和 c

10、2: x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆。的公共弦为直径的圆。 72 22 (1)(2)10 xy 2222 (3)(1)3(3)(1)3xyxy或 22 42200 xyxy 22 55 0 22 xyx 22 364 555 xy y x y x 例例3 已知已知a（-2-2，0 0），）， b b（0 0，2 2），）， p是圆是圆c:x2+y2-2x=0上任意一点，则上任意一点，则abp面积面积 的最大值是的最大值是 . 32 x y o a b c p 练习：练习： 1、已知圆o：x2+y2=9及点c(2,1)，过点c的直线 与圆o 交于p、q两点， （1）当 最短时，

11、求直线 的方程； （2）当 的面积最大时，求直线 的方程。 |pq opql l l (1)250 xy x y o p c q 练习：练习： 1、已知圆o：x2+y2=9及点c(2,1)，过点c的直线 与圆o 交于p、q两点， （1）当 最短时，求直线 的方程； （2）当 的面积最大时，求直线 的方程。 |pq opql l l (1)250 xy x y o p c q (2)307150 xyxy或 练习：练习： 2 2、点、点p p在直线在直线2 2x+y+10=0 x+y+10=0上，上，papa、pbpb与圆与圆o o： x x2 2+y+y2 2=9=9分别相切于分别相切于a a

12、、b b两点，求四边形两点，求四边形paobpaob面面 积的最小值积的最小值. . 3 11 x y o p a b 练习：练习： 3 3、点、点a a、b b分别是圆分别是圆c c：x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1和椭圆和椭圆 上两点，求上两点，求 的最大值的最大值. . 5ab 最大值为 x y o c a b ab 2 2 1 4 x y 例例4 4 已知圆已知圆c c的方程是的方程是 (x- -1)2+(y- -2)2=5, ,求求 （1 1）过点）过点a(3, 3)的圆的切线方程；的圆的切线方程； （2 2）过点）过点b(5, -1)的圆的切线方程并求出切线长；的

13、圆的切线方程并求出切线长； （3 3）过点）过点c(3, 5)的直线被圆的直线被圆c c所截得弦长为所截得弦长为2 2， 求此直线的方程求此直线的方程. . (1)290 xy (2)290211210或xyxy 2 5切线长为 (3)312450或5xxy 1 1、与圆、与圆c: c: x x2 2+(+(y y+5)+5)2 2=3=3相切相切, ,且在且在x x , , y y轴上截距轴上截距 相等的直线有相等的直线有 条条. . x o y 4 4 练习：练习： 练习：练习： 2.(2016,2.(2016,全国卷全国卷1,15) 1,15) 设直线设直线: : y y=x+2a=x+

14、2a与与 圆圆c c：x x2 2+ +y y2 2-2ay-2=0-2ay-2=0相交于相交于a a，b b两点两点, , 若若 ，则圆，则圆c c的面积为的面积为 。 4 2 3ab 练习：练习： 3 3.(2015,.(2015,全国卷全国卷1,20) 1,20) 已知过点已知过点a a（1,01,0）且斜率为且斜率为k k的直线的直线l l 与圆与圆c c： ( (x x-2)-2)2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1交于交于m m，n n两点两点. . （i i）求）求k k的取值范围；的取值范围； （iiii）若）若 , ,其中其中o o为坐标原点，求为坐标原点，求 .

15、. 12om on mn 47 47 (1)(,) 33 (2)1,2kmn 例例5 5圆圆o o1 1的方程为：的方程为： x x2 2+y+y2 2-2-2x x-4-4y y-11=0-11=0 圆圆o o2 2的方程为：的方程为： x x2 2+y+y2 2+6+6x x+4+4y y+9=0+9=0 判断两圆的位置关系。判断两圆的位置关系。 两圆相交 22 111 22 222 22 12 (1)(2)16,(12),4 (3)(2)4,( 32),2 (1 3)(22)4 2 oxyor oxyor oo 解：圆 ：， 圆：， 121212 | |rroorr 例例5 5已知圆已知

16、圆o o1 1的方程为：的方程为： x x2 2+y+y2 2-2-2x x-4-4y y-11=0-11=0 圆圆o o2 2的方程为：的方程为： x x2 2+y+y2 2+6+6x x+4+4y y+9=0+9=0 求（求（1 1）两圆公共弦所在直线的方程；）两圆公共弦所在直线的方程； （2 2）公共弦长。）公共弦长。 2250 xy (1)两圆方程相减化简得 ox y o1 o2 14 2 (2)公共弦长为 练习：练习： 1 1、圆、圆o o1 1的方程为：的方程为：x x2 2( (y y1)1)2 24 4，圆，圆o o2 2的圆的圆 心心o o2 2(2,1)(2,1) (1)(

17、1)若圆若圆o o2 2与圆与圆o o1 1外切，求圆外切，求圆o o2 2的方程；的方程； (2)(2)若圆若圆o o2 2与圆与圆o o1 1交于交于a a、b b两点，且两点，且 | |abab| | ，求圆，求圆o o2 2的方程的方程 (1)圆 o2的方程是：(x2)2(y1)2(2 22)2， (2)圆 o2的方程为 (x2)2(y1)24 或(x2)2(y1)220. 2 2 练习：练习： 2 2、在坐标平面内，与点、在坐标平面内，与点a a（1 1，2 2）距离为）距离为1 1，且与点，且与点 b b（3 3，1 1）距离为）距离为2 2的直线共有（的直线共有（ ） a.1 a

18、.1条条 b.2b.2条条 c.3c.3条条 d d.4.4条条 b 3 3、求、求o:xo:x2 2+y+y2 2=1=1和和c:c: x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0的公切的公切 线方程线方程. . 内公切线：x=1 外公切线：x y+3=022 例例6 6已知两点已知两点a a（-2-2，1 1），）， b b（0 0，2 2），动点），动点p p到到 a,ba,b两点距离之比为两点距离之比为2:12:1，求点，求点p p的轨迹方程。的轨迹方程。 22 33414110 xyxy 直接法 练习：练习： 1. (2014,1. (2014,全国卷全国卷1,20) 1,

19、20) 已知点已知点 p p（2,22,2），圆，圆 c c：x x2 2+y+y2 2-8-8y y=0 =0 ，过点，过点p p 的动直线的动直线 与圆与圆c c 交于交于a,b a,b 两点，线段两点，线段ab ab 的中点为的中点为m m ， o o为坐标原点为坐标原点. . （i i）求）求 m m的轨迹方程；的轨迹方程； （iiii）当）当 时，求时，求 的方程及的方程及 的面积的面积. .omop l lpom o x y c p a b m 22 (1)132xy n 18 (2) 33 lyx 直线 方程为： 4 104 10 = 55 14 104 1016 = 2555

20、pom olpm s 可求得 到 的距离为， 2.已知过原点的动直线与圆c1 x2+y2-6x+5=0 相 交于不同的两点 a,ba,b， （1）求圆c c1 1的圆心坐标； （2）求线段ab的中点m的轨迹c c的方程； （3）是否存在实数k k，使得直线l l：y=k(x-4)与 曲线c只有一个交点？若存在，求出k k的取值范围； 若不存在，说明理由。 22 1 (1)(3)4,(3,0)xyc o x y a b c1 m 22 39 (2)(), 24 xy 5 (3) 3 x 练习：练习： 2.已知过原点的动直线与圆c1 x2+y2-6x+5=0 相 交于不同的两点 a,ba,b， （1）求圆c c1 1的圆心坐标； （2）求线段ab的中点m的轨迹c c的方程； （3）是否存在实数k k，使得直线l l：y=k(x-4)与 曲线c只有一个交点？若存在，求出k k的取值范围； 若不存在，说明理由。 22 1 (1)(3)4,(3,0)xyc o x y （4,0） 22 39 (2)(), 24 xy 5 (3) 3 x 32 5 2 53 (3), 4774 k 练习：练习： 练习：练习： 3. 3. 已知点已知点 a a（2,32,3），点点b b在在圆圆 o o：x x2 2+y+y2 2=1