高中三角函数课件

1、 一、知识结构：一、知识结构： 任意角与任意角与 弧度制：弧度制： 单位圆单位圆 任意角任意角 的三角的三角 函数函数 三角函数三角函数 线；三角线；三角 函数的图函数的图 象和性质象和性质 三角函三角函 数线模数线模 型的简型的简 单应用单应用 同角三角同角三角 函数的基函数的基 本关系式本关系式 诱导诱导 公式公式 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： 二、知识要点：二、知识要点： 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： (1) 正角、负角、零角的概念：正角、负角、零角的概念： 二、知识要点：二、知识要点： 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： (1) 正角、负角、零角的概念：正角、负

2、角、零角的概念： (2) 终边相同的角：终边相同的角： 二、知识要点：二、知识要点： 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： (1) 正角、负角、零角的概念：正角、负角、零角的概念： (2) 终边相同的角：终边相同的角： 所有与角所有与角 终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：在内，可构成一个集合： 二、知识要点：二、知识要点： 一、任意角的三角函数 1、角的概念的推广 正角正角 负角负角 ox y 的终边 的终边 ),( 零角零角 与a终边相同的角的集合a=x|x=a+k 0 360z k 象限角与非象限角 象限角的集合：象限角的集合： 1. 角的概念的推广：角的概

3、念的推广： 二、知识要点：二、知识要点： 象限角的集合：象限角的集合： 第一象限角集合为：第一象限角集合为： ； 第二象限角集合为：第二象限角集合为： ； 第三象限角集合为：第三象限角集合为： ； 第四象限角集合为：第四象限角集合为： ； 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： 二、知识要点：二、知识要点： 轴线角的集合：轴线角的集合： 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： 二、知识要点：二、知识要点： 轴线角的集合：轴线角的集合： 终边在终边在x轴非负半轴角的集合为：轴非负半轴角的集合为： ； 终边在终边在x轴非正半轴角的集合为：轴非正半轴角的集合为： ； 故终边在故终边在x轴上角的集合为

4、：轴上角的集合为： ； 终边在终边在y轴非负半轴角的集合为：轴非负半轴角的集合为： ； 故终边在故终边在y轴上角的集合为：轴上角的集合为： ； 终边在终边在y轴非正半轴角的集合为：轴非正半轴角的集合为： ； 终边在坐标轴上的角的集合为：终边在坐标轴上的角的集合为： . 1. 角的概念的推广：角的概念的推广： 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： 我们规定，长度等于半径的弧所对我们规定，长度等于半径的弧所对 的圆心角叫做的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度弧度的角；用弧度来度 量角的单位制叫做量角的单位制叫做弧度制弧度制. 在弧

5、度制下，在弧度制下， 1弧度记做弧度记做1rad. 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：将角度化为弧度： 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：将角度化为弧度： 2360 180 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：将角度化为弧度

6、： 2360 180 rad01745. 0 180 1 二、知识要点：二、知识要点： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：将角度化为弧度： 2360 180 rad01745. 0 180 1 rad n n 180 二、知识要点：二、知识要点： 将弧度化为角度：将弧度化为角度： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 二、知识要点：二、知识要点： 将弧度化为角度：将弧度化为角度： 3602 180 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 二、知识要点：二、知

7、识要点： 将弧度化为角度：将弧度化为角度： 3602 180 815730.57) 180 (1 rad 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 二、知识要点：二、知识要点： 将弧度化为角度：将弧度化为角度： 3602 180 815730.57) 180 (1 rad ) 180 ( n n 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度与弧度之间的转换：角度与弧度之间的转换： 二、知识要点：二、知识要点： (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示把上述象限角和轴线角用弧度表示. 2. 弧度制：弧度制： 二、知识要点：二、知识要点： (2) 把上述象限角和轴线角用弧

8、度表示把上述象限角和轴线角用弧度表示. 2. 弧度制：弧度制： 二、知识要点：二、知识要点： (3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：上述象限角和轴线角用弧度表示： (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示把上述象限角和轴线角用弧度表示. (3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：上述象限角和轴线角用弧度表示： ; rl弧弧长长公公式式： 2. 弧度制：弧度制： 二、知识要点：二、知识要点： (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示把上述象限角和轴线角用弧度表示. ; rl弧弧长长公公式式： . 2 1 lrs 扇扇形形面面积积公公式式： 2. 弧度制：弧度制： 二、知识要点：二、知识要点： (3) 上

9、述象限角和轴线角用弧度表示：上述象限角和轴线角用弧度表示： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： 二、知识要点：二、知识要点： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它与与原原点点的的距距离离，的的坐坐标标是是意意一一点点 其其终终边边上上任任是是一一个个任任意意大大小小的的角角，设设 二、知识要点：二、知识要点： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它与与原原点点的的距距离离，的的坐坐标标是是意意一一点点 其其终终边边上上任任是是一一个个任任意意大大小小的的角角，设

10、设 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，记记作作叫叫做做比比值值 二、知识要点：二、知识要点： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它与与原原点点的的距距离离，的的坐坐标标是是意意一一点点 其其终终边边上上任任是是一一个个任任意意大大小小的的角角，设设 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，记记作作叫叫做做比比值值 ;coscos r x r x ，即即的的余余弦弦，记记作作叫叫做做比比值值 二、知识要点：二、知识要点： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： . 0 ),( (1) 22 yxr

11、yxp 是是 它它与与原原点点的的距距离离，的的坐坐标标是是意意一一点点 其其终终边边上上任任是是一一个个任任意意大大小小的的角角，设设 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，记记作作叫叫做做比比值值 ;coscos r x r x ，即即的的余余弦弦，记记作作叫叫做做比比值值 .tantan x y x y ，即即的的正正切切，记记作作叫叫做做比比值值 二、知识要点：二、知识要点： (2) 判断各三角函数在各象限的符号：判断各三角函数在各象限的符号： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： 二、知识要点：二、知识要点： (2) 判断各三角函数在各象限的符号：判断各三角函数在

12、各象限的符号： (3) 三角函数线：三角函数线： 3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数： 二、知识要点：二、知识要点： 4. 同角三角函数基本关系式：同角三角函数基本关系式： 二、知识要点：二、知识要点： 4. 同角三角函数基本关系式：同角三角函数基本关系式： (1) 平方关系：平方关系： 二、知识要点：二、知识要点： 4. 同角三角函数基本关系式：同角三角函数基本关系式： (1) 平方关系：平方关系： 1cossin 22 二、知识要点：二、知识要点： 4. 同角三角函数基本关系式：同角三角函数基本关系式： (1) 平方关系：平方关系： 1cossin 22 (2) 商数关系：商数关系：

13、 二、知识要点：二、知识要点： 4. 同角三角函数基本关系式：同角三角函数基本关系式： (1) 平方关系：平方关系： 1cossin 22 (2) 商数关系：商数关系： cos sin tan 二、知识要点：二、知识要点： 5. 诱导公式诱导公式 诱导公式诱导公式(一一) )z(tan)2tan( )z(cos)2cos( )z(sin)2sin( kk kk kk 二、知识要点：二、知识要点： 诱导公式诱导公式(二二) tan)tan( cos)cos( sin)sin( 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 诱导公式诱导公式(三三) tan)tan( cos)cos( si

14、n)sin( 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 诱导公式诱导公式(四四) sin( )=sin cos( )=cos tan ( )=tan 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 诱导公式诱导公式(五五) tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 3、任意角的三角函数定义 x y o p(x,y) r 的终边 y x x r y r x y r x r y cot,sec,csc tan,cos,sin 4、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 1seccos 1cscsin 1cott

15、an 商数关系： sin cos cot cos sin tan 平方关系： 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin 22 yxr 定义： 三角函数值的符号：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦一全正，二正弦，三两切，四余弦” 5、诱导公式： ,: 2 符号看象限奇变偶不变口诀为 的各三角函数值的化简诱导公式是针对 k 例： ) 2 3 sin( cos （即把 看作是锐角） ) 2 cos( sin )sin(sin )cos( cos 二、两角和与差的三角函数 1、预备知识：两点间距离公式 x y o ),( 111 yxp ),( 222 yxp

16、2 21 2 2121 )()(|yyxxpp ),( 21 yxq 2、两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantan1 tantan )tan( 注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用 )tantan1)(tan(tantan 公式变形公式变形 3、倍角公式 cossin22sin 22 sincos2cos 22 sin211cos2 1sincos 22 2 tan1 tan2 2tan 注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 2 2co

17、s1 cos 2 2 2cos1 sin 2 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 对于五组诱导公式的理解对于五组诱导公式的理解 ： 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 对于五组诱导公式的理解对于五组诱导公式的理解 ： . 360,180 , 180 , , )z( 360 . 2 符符号号看看成成锐锐角角时时原原函函数数值值的的把把 前前面面加加上上一一个个它它的的同同名名三三角角函函数数值值， 于于等等的的三三角角函函数数值值， 括括为为：这这五五组组诱诱导导公公式式可可以以概概 kk 5. 诱导公式诱导公

18、式 二、知识要点：二、知识要点： 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 对于五组诱导公式的理解对于五组诱导公式的理解 ： . 360,180 , 180 , , )z( 360 . 2 符符号号看看成成锐锐角角时时原原函函数数值值的的把把 前前面面加加上上一一个个它它的的同同名名三三角角函函数数值值， 于于等等的的三三角角函函数数值值， 括括为为：这这五五组组诱诱导导公公式式可可以以概概 kk 函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为利用诱导公式将任意角三角函数转化为 锐角三角函数的

19、基本步骤：锐角三角函数的基本步骤： 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 诱导公式二或四或五诱导公式二或四或五 3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为利用诱导公式将任意角三角函数转化为 锐角三角函数的基本步骤：锐角三角函数的基本步骤： 诱导公式三或一诱导公式三或一 任意负角任意负角的三角函数的三角函数 任意正角任意正角的三角函数的三角函数 0o到到360o角角的三角函数的三角函数 锐角锐角的三角函数的三角函数 诱导公式一诱导公式一 5. 诱导公式诱导公式 二、知识要点：二、知识要点： 三、基础训练：三、基础训练： ) ( sin ,2 , 2 3 )(cos . 1 的值为的值

20、为则则 且且已知已知 2 3 d. 2 1 c. 2 1 - b. 2 1 a. 2 3 d. 2 3 c. 2 1 - b. 2 1 a. ) ( ) 6 47 (-cos . 2 的值为的值为 三、基础训练：三、基础训练： . _)3cos(,tan )3tan(, 10 1 -)sin(3 . 3 则则 且且若若 三、基础训练：三、基础训练： . _)3cos(,tan )3tan(, 10 1 -)sin(3 . 3 则则 且且若若 . _ )tan( )cos(-)sin( . 4 化简：化简： 三、基础训练：三、基础训练： ) ( cottan, 3 2 cossin . 5 的的

21、值值是是 则则已已知知 5 18 - d. 4 5 c. 4 9 b. 18 5 a. 三、基础训练：三、基础训练： . _cossin , 8 3 cossin . 6 象象限限角角，则则 是是第第三三且且已已知知 三、基础训练：三、基础训练： 四、典型例题：四、典型例题： . ),360,360( ),2,2()2( _ 630 (1) 中中绝绝对对值值最最小小的的角角，并并求求出出 的的集集合合试试写写出出角角并并且且 的的终终边边经经过过点点若若角角 象象限限角角；是是第第角角 ，则则后后成成为为角角按按顺顺时时针针方方向向旋旋转转 边边在在是是第第二二象象限限角角，当当其其终终若若

22、aa p 例例1. 例例2. . ,30 12 5 (2) _, 4 3 tan_, 3 4 cos_, 3 sin (1) 2 求扇形的弧长和半径长求扇形的弧长和半径长面积为面积为 弧度，弧度，已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为 计算：计算： cm 四、典型例题：四、典型例题： 例例3.化化简简：设设z, k . )1cos()1sin( )cos()sin( kk kk 四、典型例题：四、典型例题： 三、三角函数的图象和性质 图 象 y=sinxy=cosx x o y 2 2 2 3 2 -1 1 x y 2 2 2 3 2 -1 1 性 质 定义域rr 值 域 -1，1-1，1 周期

23、性t=2t=2 奇偶性奇函数偶函数 单调性 增函数 2 2 , 2 2 kk 减函数 2 3 2 , 2 2 kk 增函数2 ,2kk 减函数2 ,2kk o 1、正弦、余弦函数的图象与性质 2、函数 的图象（a0, 0 ) )sin(xay xysin 第一种变换第一种变换: 图象向左( ) 或 向右( ) 平移 个单位 0 0 | )sin(xy 横坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍 纵坐标不变 1 101 )sin(xy 纵坐标伸长(a1 )或缩短( 0a1 )或缩短( 0a1 )到原来的a倍 横坐标不变 )sin(xay 3、正切函数的图象与性质 y=tanx 图 象 2 2 x

24、y o 2 3 2 3 定义域 值域 , 2 |nkkxx r 奇偶性 奇函数 周期性t 单调性 )( 2 , 2 (zkkk 4、已知三角函数值求角 y=sinx , 的反函数 y=arcsinx , 2 , 2 x 1 , 1x y=cosx, 的反函数y=arccosx, , 0 x 1 , 1x y=tanx, 的反函数y=arctanx,) 2 , 2 ( xrx 已知角已知角x ( )的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤2 , 0 x 先确定x是第几象限角 若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角 根据x是第几象限角，求出

25、x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四象限角，即得x= 若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x rx 反三角函数反三角函数 例1：已知 是第三象限角，且 ，求 。 四、主要题型 3 1 cos tan 为第三象限角解： 3 22 ) 3 1 (1cos1sin 22 22 cos sin tan 应用：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；三角函数值的符号；同角三角函数的关系； 例2：已知 ，计算 2tan cossin2 cossin3 cossin 解: cos cossin2 cos cos

26、sin3 cossin2 cossin3 1tan2 1tan3 3 7 122 123 1 cossin cossin 22 cossin cossin 1tan tan 2 5 2 12 2 2 应用：应用：关于关于 的齐次式的齐次式cossin 与 例3：已知 ，) 4 , 0(), 4 3 , 4 (, 13 5 ) 4 cos(, 5 3 ) 4 sin( 且 )sin(求 解:)( 2 cos)sin( ) 4 () 4 cos( ) 4 sin() 4 sin() 4 cos() 4 cos( 5 4 ) 4 cos() 4 3 , 4 (, 5 3 ) 4 sin( 且 13

27、12 ) 4 sin(), 4 , 0(, 13 5 ) 4 cos( 且 65 56 ) 13 12 5 3 13 5 5 4 (上式 应用：找出已知角与未知角之间的关系应用：找出已知角与未知角之间的关系 例4：已知 的值求 ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 ), 2 (2 ,222tan 2 解： ) 4 sin(2 sincos ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 2 tan1 tan1 ,222tan 2 2 tan2tan22 tan1 tan2 2 或即 2tan) 2 , 4 (), 2 (2 322 sincos sincos 应用：应用：化简求值化简求值 例

28、5:已知函数 求：函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的最大值 及相应的x的 值；函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 ,cos3cossin2sin 22 rxxxxxy rxxy,2sin2 解：xxxxxxy 222 cos22sin1cos3cossin2sin ) 4 2sin(2212cos2sin1 xxx 2 2 t 得由, 2 2 4 2 2 2 kxkzkkxk, 88 3 )( 8 , 8 3 zkkk 函数的单增区间为 22,)( 8 , 2 2 4 2 最大值 时即当yzkkxkx xy2sin2 图象向左平移 个单位 8 ) 4 2sin(2 xy 图象向上平移2个单位 ) 4 2sin(22 xy 应用