圆与方程知识点总结典型例题

1、圆与方程1.圆的标准方程： 以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x_a)2 (y_b)2二r2.特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是：x2 yr2.2点与圆的位置关系:(1) .设点到圆心的距离为d，圆半径为r:c.点在圆外 一d ra. 点在圆内 一d v r ； b. 点在圆上一d=r ；(2) . 给定点 M(x0,y0)及圆 C:(x_a)2 (y _b)2=r2. M 在圆 C 内:二(x0 -a)2 (y0-b)2:r2 M 在圆 C 上：=(x0 _a)2 (y 0 -b)2 =r2 M 在圆 C 外:=(x0_a)2 (y0-b)2 r2(3) 涉及最值:

2、圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PB .= BN = BC rminPB = BM = BC +rmaxP，讨论 PA 的最值PA .= AN = r ACminPA = AM = r + ACmax思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直 AC )3.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F =0 .(1)当 D2 E2VF0时，方程表示一个圆，其中圆心c -D,-E，半径心甘* 当D2、E24f =0时，方程表示一个点.I 2 2丿 当D2 E2-4F ：0时，方程不表示任何图形注：方程Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey 0表示圆的充要条件是：B =0且A =C = 0且d2 e2

3、 /AF -0 4. 直线与圆的位置关系:直线 Ax By C =0与圆(x _a)2 (y _b)2圆心到直线的距离d =巴暮豎gJA2 +B21) d .r二直线与圆相离二无交点；2) d =r二直线与圆相切二只有一个交点；3) d :二直线与圆相交：二有两个交点；弦长|AB| =2 r2 -d2Ax + By + C = 0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组丿y求解，通过解2 2.X2 +y2 +Dx + Ey+ F =0的个数来判断：(1) 当I 0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；(2) 当厶=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；(3) 当 ： : 0时，直线与圆没有交

4、点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系(1)设两圆 G : (x -aj2 (y -bj2 二与圆 C2: (x -a2)2 (y -b2)2 =r22，圆心距 d =.-a2)2 (b -b2)2 d r1外离 =4条公切线； d = R r2外切二3条公切线； * r2| d : r - r2 ：=相交：=2条公切线； d =r1 _2 u内切二1条公切线； 0 ：d .；卩-r2 ：二内含二无公切线9外离外切(2)两圆公共弦所在直线方程相交内切圆 G ： x2y2D! x 巳 y R = 0 ,圆 C2: x2y2D2xE2yF2 =0 ,则D1 - D2 x 巳-E2 y F1 - F

5、2 = 0为两相交圆公共弦方程补充说明： 若Ci与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程（3 ）圆系问题2 2 2 2过两圆 C1 :xyD1xE1yF0 和 C2 : xyD2x E2y F2 =0 交点的圆系方程为 x2y2D1x E1yR，：x2 y2 D2xE2yF2 = 0 （咒二-1）补充： 上述圆系不包括 C2 ； 2）当兔二-1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线Ax B y C与圆x2 y2 Dx Ey 0交点的圆系方程为X2 y2 Dx Ey F ，Ax By C =06. 过一点作圆的切线的方程:（1）过圆外一点的切线：

6、 k不存在，验证是否成立 k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y1 _丫0=冯 _Xo)|b_yiA(af)|R 二R2 1求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1， 2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为 2 2 2(2)过圆上一点的切线则过此点的切线方程为方程：圆(Xa) +(yb) =r，圆上一点为(x。，yo)，(xoa)( xa) +(yob)( yb) = r特别地，过圆X2y2=r2上一点P(xo,yo)的切线方程为xx yoy =r2 . 2 2例2.经过点P( 4， 8)点作圆(x+7) +( y+8) =9的切线，则切线方程为 7

7、. 切点弦(1)过。C： (x-a)2 (y-b)2二r2外一点P(x,y)作O C的两条切线，切点分别为A、B , 则切点弦AB所在直线方程为：(x0 - a)(x - a) (y0 - b)( y - b) = r28. 切线长：若圆的方程为(x-a)2(y-b) 2=r2 ,则过圆外一点F(X0, y)的切线长为d= .(X0a)2 + (yb)2 -r2 .9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C : X2 + y2 2x

8、 =0和圆a： X2 + y2 +4 y =0,试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例1 （06重庆卷文）以点（2,_1）为圆心且与直线3x_4y5=：0相切的圆的方程为（2 2 2 2(A)(x-2) (y 1)=3(B)(x 2) (y-1) =3(C)(x -2)2 (y 1)2 =9(D) (x 2)2 (y 一1)2 =9二、位置关系问题a的取值范例2 （06安徽卷文）直线x y =1与圆x2 y2 _ 2ay = 0 （a . 0）没有公共点，则围是（）(A) (0, .2 -1)(B) ( . 2 -1,、.

9、21)(D)(0,21)二、切线冋题225例3 （06重庆卷理）过坐标原点且与圆 x - y 4x 2v0相切的直线方程为21(A) y - -3x 或 y x3C1(C) y = -3x 或 y x31(B) y = 3x 或 y x3c1(D)y = 3x 或 y x3四、弦长问题例4 （06天津卷理）设直线axB两点，且2 2_ y 3 = 0与圆(x -1) (y -2)=4 相交于 A、弦AB的长为2 . 3，则a =五、夹角问题2 2例5 （06全国卷一文）从圆x -2x y -2y，1二0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两 切线夹角的余弦值为（1 3（A） （B）-2 5

10、六、圆心角问题例6 （06全国卷二）过点（1, ,2）的直线|将圆（X - 2）2 y2 =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心 角最小时，直线I的斜率k =.七、最值问题2 2例7（06湖南卷文）圆x y -4x-4y-10 = 0上的点到直线x y-14 =0的最大距离与 最小距离的差是（）（A） 30（B） 18（C） 6,2（D） 5. 2八、综合问题例8 （06湖南卷理）若圆x2 y2 - 4x - 4y _10 = 0上至少有三个不同的点到直线l : ax +by =0的距离为2込，则直线I的斜率k取值范围圆的方程1.方程x2+y2 2 （t+3） x+2 （1-4t2） y+16t4+

11、9=0 （tR）表示圆方程，_则t的取值范围是111A. 1tB. 1t C.t1D.1t 0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D. D+E+F=04. （ 20XX年全国H, 8）在坐标平面内，与点 A （1，2）距离为1,且与点B （3，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5. （20XX 年黄冈市调研题）圆x2+y2+x 6y+3=0上两点P、Q关于直线 kx y+4=0对称，则k=.6. （ 20XX年全国卷山，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点 P到直线3x 4y 10=0的距离的最小值为.7.

12、已知实数x、y满足方程x2+y2 4x+仁0.求（1）的最大值和最小值；（2） y x的最小值；（3） x2+y2的最大值和最小值经过两已知圆的交点的圆系2 2 2 2例1.求经过两已知圆：x y _4x_6=0和X y _4y_6=0的交点且圆心的横坐标为 3的圆的方程。例2.设圆方程为：（；，：4）x2（； ： 4）y2（2 ；，4）x （12： ： 40）y-48 -164 =0 其中:-4求证：不论，为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系 2 2例1 ：求由下列条件所决定圆 x y =4的圆的切线方程;（1）经过点PC 3,1）,经过点Q（3,0）,斜率为-1直线和圆1自点（一3 ,3）发岀的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆2 2x y -4x -4y 7