坐标系与参数方程_知识点

1、坐标系与参数方程 知识点、极坐标与极坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换X (0)的作用下,点P(x,y)对y (0)应到点P(x , y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐

2、标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是 平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线0M为 终边的角 xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(,).般地，不作特殊说明时，我们认为0,可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0,)( R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 无数种表示如果规定0,02 ,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴

3、,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（，）（0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标（x, y）极坐标（，）互化公式xcosy sin2 2 2x ytan (x 0)x在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02 )圆心为（r,0）,半径为r的圆2r cos ()22圆心为（r,）,半径为r的圆22r sin (0)过极点，倾斜角为 的直线(1) (R)或(R)(2) (0)和(0)过点（a,0）,与极轴垂

4、直的直线O卜人0) Ecosa()2 2过点(a，)，与极轴平行的直线2V)0?sina(0)注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(，),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(,2 )或(，2 )或(-, 等多种形式，其中，只有(，)的极坐标满足方程4 44 4444 4二、参数方程1. 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 x f(t),并y g(t)且对于t

5、的每一个允许值，由方程组所确定的点 M (x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数 x，y中的一个与参数t的关系，例如x f (t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g(t)，那么x f(t)就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的y g(t)取值范围保持一致.注：普通方程化为参

6、数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当 地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3. 圆的参数如图所示，设圆 0的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆 0上作匀速圆周运动,_“X r cos 、” ，设M (x, y)，则(为参数)。y r sin这就是圆心在原点0，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM。转过的角度。圆心为（a,b），半径为r的圆的普通方程是（x a）2 （y b）2 r2，它的参数方程为：x a r cos(为参数)。y b r sin4椭圆的参数方程2 2以坐标原点 0为中心，焦点在x轴上

7、的椭圆的标准方程为X2y21(a b 0),其参数方程为a ba cos bsin (为参数），其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2 2y2x21(a b 0),其参数方程为a bbcos asi n（为参数）,其中参数仍为离心角，通常规定参数范围为 0 , 2)。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2 的范围内），在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有0在其他象限内类似。5. 双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2

8、x2a2y21(a0,b0),其参数方程为b2asec bta n (为参数），其中0,2)且焦点在y轴上的双线的标准2方程是y2a2xb21（a0,b0）,其参数方程为bcot(为参数，其中(0,2 )e且.以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。y acsc6. 抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线寸 2px(p 0)的参数方程为 2 pt (t为参数).y 2pt7. 直线的参数方程经过点Mo(x。，yo)，倾斜角为 (2)的直线1的普通方程是yyotan (x xo),而过x x0 t cosMo(Xo, yo)，倾斜角为的直线I的参数方程为(t为参数)。y yo tsin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点Mo(Xo, yo)，倾斜角为的直线I的参数方程为x xo t cos(t为参数)，其中t表示直线I上以定点Mo为起点，任一点 M (x, y)为终点的有向线段y