【高考数学考点冲刺】专题03++函数性质灵活应用【理科】(教师版)

1、 专题 03 函数性质灵活应用一陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“ ”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数 是增函数；若 则函数 是减函数。（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。（3）单调区间使用“ ”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“ ”符号，只能用“和”“，”连接。分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱，求函数的单调区间

2、必须在函数的定义域范围内讨论。等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含 和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。2.定义域限制陷阱3.特殊的函数值问题4.利用性质解决抽象函数问题5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用6.函数性质与导数综合7.数形结合求参数8.恒成立求参数9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）10. 分段函数的连接点（等价转化）11.主变元问题（迷惑性）二陷阱例题分析及训练（一）函数图象问题2例 1函数 f(x)lnx x 的图像大致是() abcd【答案】b【

3、点评】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复练习 1【湖南省长沙市一中 2019 届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若p 处有一棵树与两墙的距离分别是 4m 和 am(0a12)，不考虑树的粗细.先用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩2形花圃 abcd，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位：）m的图象大致是()abcd【答案】c【解析】设

4、 ad 长为 ，则cd长为，又因为要将 p 点围在矩形abcd内，a x 12，x16- x( )16- x则矩形 abcd的面积为 x，当0 a 8时，当且仅当x = 8时，u = 648 a 1时，由 g x 在2,4上单调递增，根据对数函数的，且a( ) 2 0g( )4 0( )a 1，当0 a 1时，由 g x在定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性可得 g，解得1 22a g 2 02,4 上单调递减，可得 g 4 0，解得a，综上可得a 1，故选 b.142a考点：1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性；2、不等式的解法.【方法】本题主要考查对数函数的定义域

5、、复合函数的单调性及二次函数的单调性、不等式的解法，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.练习 1.【河南省名校联盟 2019 届高三年级 11 月调研】已知定义在 r 上的函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，且函数 f（x）在（，0上单调递减，则不等式f（x）f（2x1）的解集为a （， ）（1，）b（，1）（ ，）d（1， ）c（ ，1）【答案】a【分析】函数图像关于 轴对称，故

6、函数在不等式.上递增，由此得到上单调递增，两边平方后可解得这个【解析】依题意，函数是偶函数，且在故，故选 a.【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.4.利用性质解决抽象函数问题例 4【2019 山东模拟】给出下列说法：集合与集合是相等集合；若函数f(x)的定义域为0,2 ，则函数 f(2 x)的定义域为0,4 ；1y函数的单调减区间是；x2m不存在实数 ，使为奇函数； (1) = 2若，且 f，则.其中正确说法的序号是（）a【答案】dbcd(x) 定义域为0,2,【解析】中 a集合与 b集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.中若函数 f由1

7、2x 0,2 x 0,1得f (2x) 0,1y =， 故 错 误 . 函 数即 函 数的 定 义 域 为的 单 调 减 区 间 是x2故错误.函数的定义域为 r，若函数为奇函数，则不会是奇函数，故错误.若矛盾，所以对任意实数 m,函数则所以满足，故正确.选 d.练习 1已知定义在区间上的函数，且当时，.（1）求的值；为单调增函数；（2）证明：（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）最小值为2，最大值为 3【解析】（1）利用赋值法进行求的值；在（2）根据函数的单调性的定义判断上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函数

8、 （ ）满足 （ ）=f（ ）+ （ ），f xf x xxf x1212令 = =1，则 （1）= （1）+ （1），解得 （1）=0x xffff12（2）证明：（2）设 ， （0，+），且 ，则x x x x1，1212 （f）0， f（x ）f（x ）=f（x）f（x =f x +f） （ ） （）f（x ）=f（）0，122222即 f（x ）f（x ），12f（x）在（0，+）上的是增函数（3）f（x）在（0，+）上的是增函数，则 f（ ）+f（ ）=f（ ）=2，若即 f（ 5）=f（1）=f（ ）+f（5）=0，即 f（5）=1，则 f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）

9、+f（25）=f（125）=3，即 f（x）在上的最小值为2，最大值为 3【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键练习 2已知函数f(x)是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意实数x ，y 满足：r，考查下列结论：f(1)=1；f(x)为奇函数；数列a nb 为等差数列；数列为等比数列。n以上命题正确的是【答案】f(x)x = y =1，得 （f 1）= 0，【解析】因为对定义域内任意 ， y ，满足，令x= y = -1，得 （f -1）= 0；令y = -1，有，代入（f

10、 -1）= 0得故错误；令x( )f 2n，故 （f x）是（-，+ ）上的奇函数故正确；若a (n n*)，则2nn为常数，a （为等差数列，故正确； f 2）= 2 ，=，当 x y 时，故数列n ，则，则，若，则 为常数，则数列为等比数列， 故正确，故答案bn为：【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如，它的原型就是y = kx ；可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，

11、结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用( ) ( )f x = x 0,1xr例 5. 已知函数 f x 的定义域为 的奇函数，当 x时，3 ，且，r则（ ）18180-a.b.c.d. 1【答案】b( )【解析】 f x 的定义域为 的奇函数，即，r把 x 换成 x-2，可得：，又，故函数周期为 t=4，又 ( )f x = x3 ， 0,1，当 x时，18 ( )【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数 f x 周期为 t；( )（2）若（3）若，则 f x 函数周期为2a，则函数的周期为；2a.（4）若，则函数的周期为( )( )(

12、)-2,2 0,2练习 1. 已知偶函数 f x 与奇函数 g x 的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于x 的不等式成立的 x 的取值范围为（）a.b.d.c.【答案】c( )( )( )f x 0，【解析】如图所示：当0 x 0 g x 0，；当1 x 0，( )( )( )，故当 x 0时，其解集为 1, 2 ， y = f x 是偶函数， y = g x 是奇函( ) ( )( )-1,0，综上：不等式 g x 是奇函数，由奇函数的对称性可得：当x c ba b cb c ab a ca.b.c.d.【答案】a ( )练习 3 .已知 f x 是定义在 上的偶函数，并且，当2

13、x 3时，r( )2017.5则 f的值为_.【答案】3( )【解析】由，得，所以 f x 是周期为 4的周期函数.( )又 f x 是定义在 上的偶函数，所以.r所以.6.函数性质与导数综合例 6【2018 雅安模拟】已知函数，实数 ， 满足 m n 0 ，若mn x m ，n ，使得b 2 3成立，则 - 的最大值为（n m）1a4c.4 3d2 5【答案】ag x( )1 时 ， ( ) 0 ，【 解 析 】， 则 当 0 x 1 时 ， g x.，作函数 =( )的图象如图所示，当 ( )= 2 时，方程两根y f x f x( )分别为 -5 和 -1，则 - 的最大值为-1- -5

14、 = 4 .故选 a.n m 考点：函数的图象和性质.【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结 合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.在(-，+ )练习 1若三次函数上是减函数，则m 的取值范围是（）( )( )-，0-，1acbd( -，0( -，1【答案】a【解析】试题分

15、析：因为三次函数在(-，+ )上是减函数，所以有，得故选 a.考点：利用导数研究函数的单调性.练习 2已知函数，若对任意的，且 时，x x12a，则实数 的取值范围为（ ）a b c e2e2e2e2e2e2- ,4 4- ,- ,3 3- , d e e222 2【答案】b【解析】由题意得 y 1,2( ) 1,2( )= f xa 0f x在上单调递增 ;当时,在上单调递增 ,所以由 ( )f x 0;当 a时,由,因此实 数 的 取 值 范 围 为a的 单 调 增 区 间 为, 所 以 由; 综 上e2e2- ,选 b.2 2( )练习 3设函数为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 f x 满足：r( )f x x，若存在 0，且当 x时，使得，则实数 的取值范围为（a）1b(-,e+ 2-, +eacd2【答案】b( )-,0上【解析】设，则，故函数是区间的 单调递减函数，又；，则函数(-,+)上的单调递减函数；由题设是奇函数，所以函数是区间( -,1在中可得：，所以问题转化为，则( -,1= e + 2x上有解，即a在上有解，令，故x( -,1在上答单调递增，则，应选答案 b。点睛：解答本题的关键是对题意的理解，求解时先构造函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，然后将问题进行