三个数的均值不等式

1、 平均值不等式导学案 2学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;3.初步掌握不等式证明和应用一、课前准备（请在上课之前自主完成）1定理 1 如果 a,b r, 那么a + b 2ab.22= b当且仅当 a时, 等号成立.2. 定理 2(基本不等式) 如果 a,b r, 那么.+当且仅当时, 等号成立.利用基本不等式求最值的三个条件推论 1 . 两个正数的算术平均数, 几何平均数,平0方平均数从小到大的排列是:课前热身：,调和平均数，(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利= -(x - 6

2、) +11(x n ),* 则每辆客车润 y（单位：10 万元）与营运年数 x 的函数关系为 y2营运多少年，其运 营的年平均利润最大（）a3b4c5d6(2) 在算式“ 4d+ 1o = 30 ”中的，中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步，则这两个数构成的数对（，）应为.y21+ 2(3) 设 x r+且，求 x= 1y 的最大值.x2+2二、新课导学请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：a + b如果 a,b r+ , 那么a = b时, 等号成立.ab .当且仅当.当且仅当2如果a,b,cr+ ,那么时, 等号成立.时, 等号成立.建构新知：问题：已知a,b,cr+ ,

3、 求证：a + b + c 3abc.当且仅当a = b = c333+ b + c -3abc =证明: a333a + b + c定理 3 如果a,b,cr+ , 那么语言表述：3 个数的, 当且仅当a = b = c时, 等号成立.3 abc3平均数不小于它们的平均数,a , ,a推论 对于 个正数 a, 它们的n12n = b = c即当且仅当 a平均数不小于它们的时, 等号成立.语言表述：n 个数的平均数案例学习：例 1 已知 x, y,zr+, 求证：x y z y z x+ y+ z) 27xyz(x+ y+z)(x + y +z )9xyz(1)(x; (2); (3)3( +

4、 + )( + + ) 9y z x x y z222例 2 用一块边长为 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖a的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？3= 2x + ,(x 0)例 3 求函数 y2的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.x31 11 2= 3 4解一:. yy = 2x + = 2x + + 3 2x = 3 4322233xx xx xmin331233解二:正解:22当即312 时,2=2 6=2 3 12 2 324y=2x + 2 2x =2 6x2x2 =yminx =36xxx2例 4、已知 0x0，当 x取什么值

5、时？2x +的值最小？最小值是多少？x2四、课堂小结2 个数的均值不等式3 个数的均值不等式n 个数的均值不等式等号成立的条件等号成立的条件等号成立的条件五课后作业 基本不等式 2 姓名日期1年月日1(- 1)(- 1) 0,b 0,a + b = 1，则的最小值是（）1.若 aab22a. 6b.7c.8d.92.若 a,b,c0 且 a (a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为（a 3 -1 b 3 +1 c 2 3 +2）d 2 3 -23.若关于 x 的不等式(1+ k )x 44 的解集是 m，则对任意实常数 ，总有（）2kka.2m，0m； b.2 m，0

6、m； c.2m，0 m； d.2 m，0mx2 - 2x + 24. 若 - 4 x 0时, 求 y =+ 3x的最小值1 、 xx21x ,27y = loglog (3x)的最大值2 、设 x，求927333 、若0 x b 0a +4 、若a，求的最小值为.b(a - b)某单位建造一间地面面积为 12m 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面28的长 度 x 不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/m ,房屋侧面的造价为 150 元/m ，屋顶22和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用（1）把房屋总造价 表示成 的函数，并写出该函数的定