三角函数中辅助角公式的应用

1、 ab+ cosx22a2222abab上式中的与的平方和为 1，故可记a22a2222a2222则22由 此 我 们 得 到 结 论 ： asinx+bcosx= a22aba22a22辅助角公式的应用，举例分类简析。pp44pp解：44p2p6 例 2. 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若 x，求 f(x)的最大值和最小值。4pp0x - 2x - 由当。2444pp-最小值444p p3p2x - = ，即x = p sin(2x - )时当4 284p0, 2ppxxxx = (2 cos ,tan( + )， = ( 2 sin( + ) tan( -

2、 )，2 4a22 42 4bababx2xx2x22= 2 2 cos (x2222xxx222p4p0xp x + 先由。444px + 0x ； x + xp。反之再由44242444pp上单调递增，在44 评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=asin(x+j )+k 的形式，是求单调区间的通法。四. 求值域pp + 2x) + cos(例 4. 求函数 f333解：ppp333pp33pppp3636p2所以函数 f(x)的值域是-4，4。五. 图象对称问题例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关

3、于直线 x=p-)8（a） 2解：可化为 yp（b）= 1+ a2 sin(2x + )。 1+ 2时，y 取得最值 a ，即知 x8psin 2(- ) + a cos 2(- ) = 1+ a288221222213例 7 已知函数y = cos2+sin xcos x +1,x r。 y= sin x(x r)该函数的图象可由的22图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 13sin 2x + 1441pp5216p52p661psin(2x + )的26图象；11p226514213sin xcos x +1综上，依次经过四步变换，可得22a 1。设 （ ， ），f( )= -3例 8. 已

4、知函数 f(x)= -3 sin2 x +sinxcosx024231p3解：f(x)= -(1- cos 2x) + sin 2x =sin(2x + ) -。2232ap由 f( )=sin(a + ) -= -，2324p 1得 sin(a + )= 。3 4p又 （0， ） a + 。3p而 sin =3p pp，则cos( + )= -。243234ppppppsin =sin(a + ) - =sin(a + ) cos -cos(a + ) sin3333333= - (-4 2)=。428 评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin 时，巧用凑角法：pppp3333程方向明确，计算简捷。八. 求系数1+ cos 2xxx-a sin cos(p - )的最大值为 2，试确定常数 a 的值。p2222 cos xx24 cos x21a= cos x + sin x22=+sin(x + j)，4 41a其中角j由 sinj=来确定。222由已知有 += 4 ，解得 a= 15 。例 10. 已知函数 f(x)=sin x+sin2x，x2p解：f(x)=1-cos2x+sin2x