专题10 动点类综合题目探究(解析版)

1、专题10动点类综合题目探究题型一：二次函数中三角形面积最值存及平行四边形存在性问题例1.（2019巴中）如图，抛物线y=ax2+bx+5（a0）经过x轴上的点a(1,0)和点b及y轴上的点c，经过b、c两点的直线为y=x+n.（1）求抛物线解析式；（2）动点p从点a出发，在线段ab上以每秒1个单位的速度向b运动，同时动点e从点b出发，在线段bc上以每秒2个单位的速度向c运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，求t为何值时，pbe的面积最大并求出最大值.c（3）过点a作ambc于点m，过抛物线上一动点n(不与b、重合)作直线am的平行线交直线bc于q，若点a、m、n、q

2、为顶点的四边形是平行四边形，求点n的横坐标.（【分析】1）由ob=oc，得b点坐标为(5,0)，将a（1,0）及b(5,0)代入y=ax2+bx+5，可求得a、b；2）=过点e作eh垂直x轴于h，用时间t表示出线段bp、eh的长，利用pbe12bpeh求得面积最大值及t值；（3）由amnq可知，平行四边形有两种情况，amqn和amnq，即a点对点有可能是n或q，利.用平面直角坐标系中平行四边形对点横坐标和及纵坐标和相等求解【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：c（0,5），由直线y=x+n过点b、c，得：ob=oc=5，b(5,0)，将a(1,0)、b(5,0)代入y=ax2+bx+5，

3、得：25a+5b+5=0a+b+5=0，1解得：a=-12be，由题意知：ap=t，bp=4t，be=2t，eh=2t，0t52b=6，即抛物线解析式为：y=-x2+6x+5.（2）过点e作ehx轴于h，由oc=ob知，obc=45，eh=22，beh=2ehbp=2(2t4-t)1=-2(t-2)2+22，2当t=2时，beh的面积取最大值，最大值为22.2ab=22,1+m=3+x（3）由（2）知：am=2m(3,2),设n（m，-m2+6m5），q（x，x5）当平行四边形为amnq时，得：-m2+6m-5=-2+x-5，解得：x=5+415-412或x=2；2当平行四边形为amqn时，得

4、：-m2+6m-5-2=x-51+x=3+m，综上所述，n点的横坐标为5+41解得：x=1（舍去）或x=4；5-41、或4.22题型二：一次函数与圆结合及特殊三角形存在性问题例2.（2019湖州）已知在平面直角坐标系xoy中，直线l1分别交x轴和y轴于点a(3,0)，b（3,0）.（1）如图1，已知圆p经过点o，且与直线l1相切于点b，求圆p的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y=3x3分别交x轴和y轴于点c和点d，点q是直线l2上的一个动点，以q为圆心，22为半径画圆.当点q与点c重合时，求证：直线l1与圆q相切；设圆q与直线l1相交于m、n两点，连接qm、qn，问：是否存在这样的点q，使

5、得qmn是等腰直角三角形，若存在，求出点q的坐标，若不存在，说明理由.【分析】（1）连接bp、，可得：obp是等腰直角三角形，进而求得圆p的半径op；（2）过c作cel1于e，求出ce的长，利用切线定义证明；设直线l1与l2相交于点f，根据q的位置分两种情况讨论：q在线段bf上或q在线段bf的延长线上.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接bp、op，3由题意知：ob=oa=3，bao=abo=45，又ab与圆p相切于b，pba=90，obp=45，又bp=op，pob=45，bpo=90，即obp是等腰直角三角形，2ob=bp=2322，故圆p的直径为32.（2）过c作cel1于e，如下图所

6、示，yl2l12ac=22,bexaocd由题意知：eac=45，ac=4，ce=2点q与点c重合时，圆q的半径为22，4直线l1与圆q相切.设直线l1与l2相交于点f，当q在线段df上时，如下图所示，yl2l1nmbqxaocd由nmq=nqm=mac=45，得：mqx轴，nqy轴，设q(t，3t3)，则m(3t6,3t3)，n(t,t+3)，由mq=22得：t（3t6）=22，解得：t=32，3t3=632点q的坐标为：（32，632）；当点q在线段df延长线时，如下图所示，yl2l1qnmfbxaocd设q(t，3t3)，则n(3t6,3t3)，m(t,t+3)，由mq=22得：3t3（

7、t+3）=22，5解得：t=3+2，3t3=6+32点q的坐标为：（3+2，6+32）；综上所述，当qmn是等腰直角三角形时，点q的坐标为：（32，632）或（3+2，6+32）.题型三：二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存在性问题例3.（2019南充）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点a（-1，0），点b（-3,0），且ob=oc.（1）求抛物线的解析式；（2）点p在抛物线上，且pob=acb，求点p的坐标；（3）抛物线上两点m，n，点m的横坐标为m，点n的横坐标为m+4.点d是抛物线上m，n之间的动点，过点d作y轴的平行线交mn于点e.求de的最大值.点d关于点e的对称点为f

8、.当m为何值时，四边形mdnf为矩形？【分析】（1）由题意得c(0,3)，将a、b、c点坐标代入y=ax2+bx+c求得a、b、c值；（2）根据p（点所处位置不同分类讨论，借助三角函数或相似三角形性质求解；3）利用待定系数法求出直线mn的解析式，进而根据d、e的位置关系求得de的值为两点纵坐标的差；利用矩形的性质，得：mn2=df2=4de2代入求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）ob=oc，b（-3,0），c（0，-3）6可得：9a-3b+c=0c=-3a-b+c=0解得：a=-1,b=-4,c=-3.即抛物线解析式为：y=-x2-4x-3.（2）过点a作agbc于点g，如下图所示，由题

9、意知：bag=abg=45，bg=ag=absin45=2bc=2ob=32，cg=bc-bg=22，tanacg=agcg=12设p（t,-t2-4t-3），过点p作pqx轴于q，tanpoq=tanacg=1tanpoq=pqoq=-t2,即2t+7t+6=02242.当p在x轴上方时，t0则pq=-t2-4t-3,oq=-t，-t2-4t-31=23解得t=-2,t=-，1233p(-2,1),p(-,)127当点p在第三象限时，t2+4y+3即2t2+9t+6=0，-t=12，解得：t=3-9+334,t4=-9-334，p(3-9+33-9+3344,8),p(-9+339+334,

10、-8)综上所述，点p坐标为(-2,1)，(-,)，(当点p在第四象限时，pob90，而acb90，故点p不在第四象限；33-9+33-9+339+339+33244,8)，(-4,-8).（3）m(m,-m2-4m-3),n(m+4,-(m+4)2-4(m+4)-3)即n(m+4,-m2-12m-35)，设直线mn解析式为y=kx+n，km+n=-m2-4m-3可得：k(m+4)+n=-m2-12m-35解得：k=-2m-8n=m2+4m-3故mn解析式为：y=(-m-8)x+(m2+4m-3)设d(t,-t2-4t-3)，e(t,(-2m-8)t+(m2+4m-3)de=(-t2-4t-3)

11、-(-2m-8)t+(m2+4m-3)=-t2+2(m+2)t-(m2+4m)=-t-(m+2)2+4，即当t=m+2时，de最大值为4.当de最大时，点e(m+2,-m2-8m-19)为线段mn的中点.点e为df的中点，8当de最大时，四边形mdnf为平行四边形.如果mdnf为矩形，则mn2=df2=4de2,故42+(8m+32)2=442，3化简得，(m+4)2=，4解得：m=-432.当m=-4+33或-4-时，四边形mdnf为矩形22题型四：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题例4.（2019安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一

12、个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点a（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于b，c两点，点o为坐标原点，记w=oa2+bc2，求w关于m的函数解析式，并求w的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，二次函数顶点为（0,4），c=4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0即x=4-m2，设b，c两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则x+x=24-m212，9w=oa2+bc2=m2+44-m

13、22=m2-2m+8=（m-1）+7当m=1时，w取得最小值7.题型五：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题例5.（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形oabc的边长为4，边oa、oc分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形oabc的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点p为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数；（2）当m=3时，求该抛物线上好点坐标；（3）若点p在正方形oabc内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围.（【分析】（1）（2）分别作出图形，可求得好点的个数及坐标；3）根据抛物线顶点

14、坐标，作出图形，分析m的取值范围.【答案】见答案.【解析】解：（1）当m=0时，二次函数的表达式为y=-x2+2，画出如下函数图象，当x=0时，y=2;当x=1时，y=1,抛物线经过点（0,2）和（1,1）.10好点有：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0）和（1,1），共5个.（2）当m=3时，二次函数的表达式为y=-(x-3)2+5，画出函数图象,当x=1时，y=1;当x=2时，y=4;当x=4时，y=4.该抛物线上存在好点，坐标分别是（1,1），（2,4）和（4,4）.（3）抛物线顶点p的坐标为（m,m+2）,故点p在直线y=x+2上.由于点p在正方形内部，则0m2.解得：m=5

15、-13m=5+132m1时，顶点p在正方形oabc内，恰好存在8个好点.由图知：点e(2,1),f(2,2).当顶点p在正方形oabc内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段ef有交点（点f除外）.当抛物线经过点e（2,1）时，-(2-m)2+m+2=1,12，22（舍去）.当抛物线经过点f（2,2）时，-(2-m)2+m+2=2,解得：m3=1,m4=4(舍去).当5-1311题型六：二次函数中双动点及图形存在性问题例6.（2019连云港）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线l1：yx2+bx+c过点c（0，3），与抛物线l2：y13x222x+2的一个交点为a，且点a的横坐标为2，点p、q

16、分别是抛物线l1、l2上的动点（1）求抛物线l1对应的函数表达式；（2）若以点a、c、p、q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点p的坐标；（3）设点r为抛物线l1上另一个动点，且ca平分pcr若oqpr，求出点q的坐标【解答】解：（1）将x2代入y1【分析】（1）先求出a点的坐标，用待定系数法求出函数解析式；（2）设点p的坐标为（x，x22x3），（分三种情况讨论：平行四边形为acpq、acqp或apcq，列出方程求解；3）当点p在y轴左侧时，抛物线l1不存在点r使得ca平分pcr，当点p在y轴右侧时，设点p在ca的上方，点r在ca的下方，过点p、r分别作y轴的垂线，垂足分别为s、t，过点p作

17、phtr于点h，设点p坐标为（x1，y1），点r坐标为（x2，y），证明pscrtc，由相似比得到x1+x24，进而得tanprh的值，过点q作qkx轴于点k，由tanqoktanprh求解【答案】见解析.1x2x+2，得y3，故点a的坐标为（2，3），22将a（2，3），c（0，3）代入yx2+bx+c，得c=-34+2b+c=-3，解得：b=-2c=-3，抛物线l1：yx22x3；（2）设点p的坐标为（x，x22x3），q(n,当四边形acpq为平行四边形时，可得：13n2n+2)，22122+x=n13-3+x2-2x-3=-3-2n2-2n+2，解得：x=0（舍去）或x=1，即p点坐标

18、为（1,0）.当四边形acqp为平行四边形时，可得：2+n=x13-3-2n2-2n+2=-3+x2-2x-3，解得：x=3（舍去）或x=43，13即点p的坐标为（3，0）或（43，13综上所述，点p的坐标为：（1,0）或（3，0）或（43，9）；当四边形aqcp为平行四边形时，可得：2+0=n+x13，-3-3=+x2-2x-3-2n2-2n+2解得：x=0（舍去）或x=3，即点p的坐标为（3，12）；9）或（3，12）.（3）当点p在y轴左侧时，抛物线l1不存在点r使得ca平分pcr，当点p在y轴右侧时，不妨设点p在ca的上方，点r在ca的下方，过点p、r分别作y轴的垂线，垂足分别为s、t，过点p作phtr于点h，则有pscrtc90，由ca平分