人教A版数学必修四第一章三角函数1.1.1任意角导学案

1、 .1.1.1.任意角学习目标 .1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一.角的相关概念思考 1.用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案.角的构成要素有始边、顶点、终边.思考 2.将射线 oa绕着点 o旋转到 ob位置，有几种旋转方向？答案.有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考 3.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案.不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理.(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点 o 从一个位置

2、 oa 旋转到另一个位置 ob所成的图形.点 o是角的顶点，射线 oa，ob分别是角 的始边和终边.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型正角负角零角定义按逆时针方向旋转形成的角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点二.象限角思考.把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案.终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理.在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点三.终边相同的角思考 1

3、.假设 60的终边是 ob，那么660，420的终边与 60的终边有什么关系，它们. .与 60分别相差多少？答案.它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与 60分别相差了2个周角及 1个周角.思考 2.如何表示与 60终边相同的角？答案.60k360(kz).梳理.终边相同角的表示：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 s | k360，kz，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.类型一.任意角概念的理解例 1.(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于 180的角是钝角、直角或锐角.其中

4、正确说法的序号为.(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快 20分钟，则分针转过的度数是答案.(1).(2)120.解析.(1)锐角指大于 0小于 90的角，都是第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于 180的角还有负角、零角，所以错误.(2)分针每分钟转 6，由于顺时针旋转，所以 20分钟转了120.反思与感悟.解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念 .角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练 1.写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝 2圈；(2)将时钟拨慢 2小时 30分，分针转过的角

5、.解.(1)顺时针拧螺丝 2圈，螺丝顺时针旋转了 2周，因此所表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢 2 小时 30 分，分针转过的角为900.类型二.象限角的判定例 2.在 0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. .(1)150；(2)650；(3)95015.解.(1)因为150360210，所以在 0360范围内，与150角终边相同的角是 210角，它是第三象限角.(2)因为 650360290，所以在 0360范围内，与 650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3) 因 为 95015 3360 12945， 所

6、 以 在 0360范围内，与95015角终边相同的角是 12945角，它是第二象限角.引申探究确定 (nn*)的终边所在的象限.nn解.一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次标上n1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据 所在第几象限时， 的终边所落在的n区域，如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.反思与感悟.判断象限角的步骤：(1)当 0 360时，直接写出结果；(2)当 0或 360时，将 化为k360 (kz，0 360)，转化为判断角 所

7、属的象限.跟踪训练 2.下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合s，并把 s中适合不等式360 720的元素 写出来.(1)60；(2)21.解.(1)60角是第一象限角，所有与 60角终边相同的角的集合 s | 60k360，kz，s 中适合360 720的元素是 60(1)360300，60036060，601360420.(2)21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合s | 21k360，kz，s 中适合360 720的元素是21036021，211360339，212360699.类型三.终边相同的角命题角度1.求与已知角终边相同的角例3.在与角 10 0

8、30终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角.解.与 10 030终边相同的角的一般形式为 k36010 030(kz)，. .(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为 50.(2)由 0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为 310.(3)由 360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得 k26，故所求的角为 670.反思与感悟.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边

9、相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值.跟踪训练3.写出与 1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素 写出来.解.由终边相同的角的表示知，与角 1 910终边相同的角的集合为 | k3601 910，kz.720 360，即720k3601 910360(kz)，113 k6 (kz)，故取k4，5，6.36 3611当k4 时， 43601 910470；当k5 时， 53601 910110；当k6 时， 63601 910250.命题角度2.求终边在给定直线上的角的集合例4.写出终边在直线y 3x 上的角的集合.解.终边在y 3x(x0)上的角的集

10、合是s | 120k360，kz；1终边在y 3x(x0)上的角的集合是s | 300k360，kz.2因此，终边在直线 y 3x 上的角的集合是 ss s | 120k360，12kz | 300k360，kz， 即 s | 1202k180，kz | 120(2k1)180，kz | 120n180，nz.故终边在直线y 3x 上的角的集合是s | 120n180，nz.反思与感悟.求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0 两种情况讨论，最后再进行合并.3跟踪训练4.写出终边在直线y x 上的角的集合.33解.终边在y x(x0)上的角的集合是s | 30k360，

11、kz；31. .3终边在 y x(x0)上的角的集合是 s | 210k360，kz.323因此，终边在直线 y x 上的角的集合是 ss s | 30 k360， 312kz | 210k360，kz， 即 s | 302k180 ，kz | 30(2k 1)180 ，kz | 30n180，nz.3故终边在直线 y x 上的角的集合是 s | 30n180，nz.3类型四.区域角的表示例 5.如图所示.(1)写出终边落在射线 oa，ob 上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解.(1)终边落在射线 oa 上的角的集合是 | k360210，kz.终边落在射线 ob

12、 上的角的集合是 | k360300，kz.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 |k360 210 k360300，kz.反思与感悟.解答此类题目应先在 0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练 5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解.设终边落在阴影部分的角为 ，角 的集合由两部分组成. |k36030 k360105，kz. |k360210 k360285，kz.角 的集合应当是集合与的并集，即s |k36030 k360105，kz |k360210 k360285，kz. . |2k18030 2k

13、180105，kz |(2k1)18030 (2k1)180105，kz |2k180 30 2k180 105 或(2k 1)180 30 (2k1)180105，kz |n18030 0，解得k ，3故当k9时， 240满足条件.8.如图，终边落在oa的位置上的角的集合是；终边落在ob的位置上，且在360360内的角的集合是；终边落在阴影部分 (含边界)的角的集合是.答案. | 120k360，kz.315，45 |45k360 120k360，kz解析.终边落在oa的位置上的角的集合是 | 120k360，kz.终边落在ob的位置上的角的集合是 | 315k360，kz，取k0，1得 3

14、15，45.故终边落在ob的位置上，且在360360内的角的集合是315，45.终边落在阴影部分的角的集合是 |45k360 120k360，kz.29.若 k36045，kz，则 是第象限角.答案.一或三解析. k36045，kz， k18022.5，kz.2当k为偶数，即k2n，nz时，22n36022.5，nz， 为第一象限角；当k为奇数，即k2n1，nz时，22n360202.5，nz， 为第三象限角.综上， 是第一或第三象限角.210.集合 a | k90 36 ，kz，b | 180 180 ， 则 ab. .答案.126，36，54，144解析.当 k1时， 126；当 k0时，

15、 36；当 k1时， 54；当 k2时， 144.ab126，36，54，144.三、解答题11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点p从点 a(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知 p点在 1 s内转过的角度为 (0 180)，经过 2 s到达第三象限，经过 14 s后又回到了出发点 a处，求 .解.0 180，且 k3601802 k360270，kz，则一定有 k0，于是 90 135.又14 n360(nz)，n180n180 ，从而 90135，777 21 n ，n4或 5.24720当 n4时， 当 n5时， ；7900.712.已知角 的终边在直线 3xy0上.(1)写出角 的集合 s；(2)写出集合 s中适合不等式360 720的元素.解.(1)如图，直线 3xy0 过原点，倾斜角为 60，在 0360范围内，终边落在射线 oa上的角是 60，终边落在射线ob上的角是 240，所以以射线oa，ob为终边的角的集合分别为s | 60k360，kz， 1. .s | 240k360，kz， 2所以，角 的集合 ss s | 60k360，kz | 6018012k360，kz | 602k180，kz | 60(2k1)180，kz | 60n180，nz.711(2)由于360 720，即36060 n180720， nz