人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二导学案

1、 .1.2.1.任意角的三角函数(二)学习目标 .1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域 .2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一.三角函数的定义域2思考.正切函数 ytan x为什么规定 xr且 xk ，kz?答案.当 xk ，kz时，角 x的终边在 y轴上，此时任取终边上一点 p(0，y)，因为2py0p无意义，因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 ytan x，必须要求 xr 且 xk 2，kz.梳理.正弦函数 ysin x的定义域是 r；余弦函数 ycos x的定义域是 r；正切函数 ytan2x

2、的定义域是x|xr且 xk ，kz.知识点二.三角函数线思考 1.在平面直角坐标系中，任意角 的终边与单位圆交于点p，过点 p作 pmx轴，过点a(1,0)作单位圆的切线，交 的终边或其反向延长线于点t，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到 sin ，cos ，tan 与 mp，om，at的关系吗？答案. sin mp，cos om，tan at.思考 2.三角函数线的方向是如何规定的？答案. 方向与 x轴或 y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考 3.三角函数线的长度和方向各表示什么？答案. 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.梳理. .图示角 的终边与单位圆交于点

3、 p，过点 p 作 pm 垂直于 x 轴，有向线段 mp 即为正弦线正弦线余弦线 有向线段 om 即为余弦线过点 a(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于 y 轴，设它与t，有向线段 at 即为正切线正切线 的终边或其反向延长线相交于点类型一.三角函数线5例 1.作出 的正弦线、余弦线和正切线.8解.如图所示， 5 mpsin ，8 5 omcos ，8 5 attan .8反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点 a(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一

4、点 t，. .即可得到正切线at.跟踪训练1.在单位圆中画出满足sin 的角 的终边，并求角 的取值集合.1211 1解.已知角 的正弦值，可知mp ，则p 点纵坐标为 .所以在y 轴上取点 0， ，过这点222作x 轴的平行线，交单位圆于p ，p 两点，则op ，op 是角 的终边，因而角 的取值集1212656合为 | 2k 或 2k ，kz.类型二.利用三角函数线比较大小24523452345例2.利用三角函数线比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小.32323234545解.如图，sinmp，cosom，tanat，sinmp，cosom，4tan at.

5、5显然|mp|mp|，符号皆正，2 4sin sin ；352345|om|cos ；2345|at|at|，符号皆负，tan m p ，且符号皆正，112 2sin 1 155sin(1 654).类型三.利用三角函数线解不等式(组)命题角度1.利用三角函数线解不等式(组)例3.在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集合.31(1)sin ；.(2)cos .223解.(1)作直线y 交单位圆于a，b 两点，连接o a，ob，则oa 与ob 围成的区域(如图(1)2所示的阴影部分，包括边界)，即为角 的终边的范围.323故满足要求的角 的集合为 |2k 2k ，kz.

6、1(2)作直线x 交单位圆于c，d 两点，连接oc 与od，则oc 与od 围成的区域(如图(2)所2示的阴影部分，包括边界)，即为角 的终边的范围.2343故满足条件的角 的集合为 |2k 2k ，kz.反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02 内满足条件的角 的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.13跟踪训练3.已知 cos ，利用单位圆中的三角函数线，确定角 的取值范围.22解.图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，即2662 |2k 2k 或2k 0，221cos x ，2即2sin x .2则不等式组

7、的解的集合如图(阴影部分)所示，334x|2k x2k ，kz.反思与感悟.(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练 4.求函数 f(x) 2sin x1的定义域. .解.要使函数 f(x)有意义，必须使 2sin x10，1则 sin x .21如图，画出单位圆，作 x轴的平行直线 y ，2交单位圆于点 p，p，连接 op，op，1212分别过点 p，p

8、作 x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，121易知这两条正弦线的长度都等于 .25 1在0,2 )内，sin sin .6 261因为 sin x ，所以满足条件的角 x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，2656所以函数 f(x)的定义域为x| 2k x 2k ，kz.1.下列四个命题中：当 一定时 ，单位圆中的正弦线一定；在单位圆中，有相同正弦线的角相等； 和 有相同的正切线；具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.则错误命题的个数是(.)a.0 b.1 c.2 d.3答案.b解析.由三角函数线的定义知正确，不正确.2.如图在单位圆中，角 的正弦线、正切线完全正确的是(.)a.正弦线

9、为 pm，正切线为 at. .b.正弦线为 mp，正切线为 atc.正弦线为 mp，正切线为 atd.正弦线为 pm，正切线为 at答案.c2727273.设 asin ，bcos ，ctan ，则(.)a.abcc.bca答案.db.acbd.bac 2 4 7 227272727解析. ，作 的三角函数线，则 sin mp，cos om，tan at，ommpat，bac，故选 d.4.函数 y 2cos x1的定义域为 .kk k答案. 2 ， 2 ， z335.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角 的区域，并写出角 的集合：231(1)cos ；(2)tan ；(3)|sin

10、 | .2323434解.(1) |2k 2k ，kz.26(2) |k sin 1.2sin 1.5b.sin 1sin 1.5sin 1.2c.sin 1.5sin 1.2sin 1d.sin 1.2sin 1sin 1.5答案.c 解析.1,1.2,1.5 均在 0， 内，正弦线在 0， 内随 的增大而逐渐增大，sin221.5sin 1.2sin 1.3.若 0 2 ，且 sin ，则角 的取值范围是(.)3122 a. ，b. 0，3 335 5 c.，2d. 0， ，2 3 33答案.d解析.角 的取值范围为图中阴影部分， 5 ，2 .即 0， 334.若角 的余弦线是单位长度的有

11、向线段，那么角 的终边在(.)a.y轴上b.x轴上c.直线 yx上答案.bd.直线 yx上解析.由题意得|cos |1，即 cos 1，则角 的终边在 x轴上.故选 b.5.在下列各组的大小比较中，正确的是(.). .7 54 5b.cos cosa.sin sin779 9c.tan tand.sin tan5 587答案.b 56 6 43 3 54 46.有三个命题： 和 的正弦线长度相等； 和 的正切线相同； 和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为(.)a.1 b.2 c.3 d.0答案.c 56 6 43 3 54 4解析. 和 的正弦线关于 y轴对称，长度相等； 和 两角的正切线

12、相同； 和 的余弦线长度相等.故都正确，故选 c.7.点 p(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为(.)a.第一象限c.第三象限答案.db.第二象限d.第四象限5解析.因为 3 ，作出单位圆如图所示.6设 mp，om分别为 a，b.sin 3a0，cos 3b0，所以 sin 3cos 30.因为|mp|om|，即|a|b|，所以 sin 3cos 3ab0.故点 p(sin 3cos 3，sin 3cos 3)在第四象限.二、填空题38.不等式 tan 0的解集是.362答案. |k k ，kz解析.不等式的解集如图所示(阴影部分)，. .62 | k k ，kz.125

13、559.把 sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为.1271251255答案.cos sin sin 0，115sin mp0，12225tan at0，125cos om0.73而 0mpmpat，112 212550sin sin tan .1212551255而 cos 0，cos sin sin 0，所以 是第一或第二象限角.sin |cos | cos |sin |12.若角 的终边落在直线 xy0上，则.答案.0三、解答题13.在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边.23(1)sin ；(2)cos .352解.(1)作直线 y 交单位圆于 p，q两点，3则 op，oq为角 的终边，如图甲.3(2)作直线 x 交单位圆于 m，n两点，5则 om，on为角 的终边，如图乙.四、探究与拓展14.函数 ylog (2cos x1)的定义域为.sinx222答案.x|2k x2k 或 2k x0且sin x1，则需2cos x10，如图所示，阴影部分(不含边界与 y轴)即为所求. .所以所求函数的定义域为222x|2k x2k 或 2k x2k ，kz.315.若 ， 是关于 x 的一元二