人教B版新编高中数学必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

1、 .2.1.2平. 面直角坐标系中的基本公式学习目标.1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.知识链接1.在直角坐标系中,a(1,0),b(3,0)两点的距离为 2；c(0,1),d(0,3)两点的距离为 4.2.在直角三角形 abc 中,b90,ab3,bc4,则 ac5.预习导引1.两点间距离公式两点 a(x ,y ),b(x ,y )间的距离公式表示为 d(a,b) (x x )2(y y )2；11222121当 ab 垂直

2、于 y 轴时,d(a,b)|x x |；21当 ab 垂直于 x 轴时,d(a,b)|y y |；21当 b 为原点时,d(a,b) x2y2.112.坐标法(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成几何关系.3.中点坐标公式已知 a(x ,y ),b(x ,y ),设点 m(x,

3、y)是线段 ab 的中点,则中点坐标公式为1122 x x y y12， 12 .22要点一.两点的距离公式的应用例 1.已知abc 三个顶点的坐标分别为 a(a,0),b(a,0),c(0, 3a).求证：abc 是等边三角形. .证明.由两点的距离公式得|ab| (aa) (00) 2|a|,22|bc| (0a) ( 3a0) 2|a|,22|ca| (0a) ( 3a0) 2|a|.22|ab|bc|ca|,故abc 是等边三角形.规律方法.1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解.2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直

4、角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.跟踪演练 1.本例若改为：已知 a(1,1),b(3,5),c(5,3),试判断abc 的形状.解.d(a,b) 3(1)25(1)2 4262 522 13,d(a,c) 5(1)23(1)2 6242 522 13,d(b,c) (53)2(35)2 2222 82 2.所以|ab|ac|bc|,且显然三边长不满足勾股定理,所以abc 为等腰三角形,要点二.中点公式的应用例 2.已知平行四边形abcd 的两个顶点坐标分别为a(4,2),b(5,7),

5、对角线交点为e(3,4),求另外两顶点 c、d 的坐标.解.设 c 点坐标为(x ,y ),则由 e 为 ac 的中点得：114x31，210，6.x11得设 d 点坐标为(x ,y ),则由 e 为 bd 的中点得 2y22y41，25x32，211，1，x2得 7yy42，22故 c 点坐标为(10,6),d 点坐标为(11,1).规律方法.1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标. .2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.跟踪

6、演练 2.已知平行四边形abcd 的三个顶点坐标分别为a(0,0),b(2,0),d(1,3),求顶点c 的坐标.解.平行四边形的对角线互相平分,平行四边形对角线的中点坐标相同.设 c 点坐标为 c(x,y),则0 2x 2132 ，20y 03 3 ，2223，3.x即 c(3,3).y要点三.坐标法的应用例 3.已知正三角形 abc 的边长为 a,在平面上求一点 p,使|pa|2|pb|2|pc|2 最小,并求此最小值.解.以 bc 所在直线为 x 轴,bc 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系如图.则 a 0，3 2 a2a,b ，0 ,c ，0a 2设 p(x,y)则|pa|2|pb

7、|2|pc|23 2a2a2x2 2 2y2 2y2yax x 5a43 23x23y2 3ay 3x23 2a2a2,ay63当且仅当 x0,y a 时,等号成立,63 6a所求最小值为 a2,此时 p 点坐标为 p 0，是正abc 的中心.规律方法.(1)也可以 b 为原点,bc 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,计算也不复杂.(2)配方法求最值是重要方法,应掌握好.(3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.跟踪演练 3.已知abc 是直角三角形,斜边 bc 的中点为 m,建立适当的直角坐标系.证明：am1 bc.2. .证明.如图所示,以 rtabc 的直角边 ab 所在直线为 x 轴,

8、ac 所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,设 b、c 两点的坐标分别为(b,0)、(0,c),b c点 m 是 bc 的中点,故点 m 的坐标为 ， .2 2由两点的距离公式,得|bc| (0b) (c0) b c ,222212b c |am|0 0 b c ,2222 221am bc.21.已知 a(8,3),b(5,3),则线段 ab 的中点坐标为(.)3232a. ，2b. ，33232c. ，3d. ，3答案.b解析.由中点坐标公式可以求得.2.已知 a(1,2),b(a,6),且|ab|5,则 a 的值为(.)a.4b.4 或 2d.2 或 4c.2答案.d解析. (a1)2(6

9、2)25,解得 a2 或 4.3.已知线段 ab 的中点在坐标原点,且 a(x,2),b(3,y),则 xy 等于(.)a.5b.1d.5c.1答案.d解析.易知 x3,y2,xy5.4.以 a(5,5),b(1,4),c(4,1)为顶点的三角形是(.)a.直角三角形b.等腰三角形. .c.等边三角形答案.bd.等腰直角三角形5.点 a(2,3),b(5,4)之间的距离为_.答案. 10解析.|ab| (52)2(43)2 91 10.1.a,b 两点的距离与 a,b 两点的顺序无关,即 d(a,b)d(b,a).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即 d(a,b) (x x )2(y y )2 (x x )2(y y )2.212112122.在平面直角坐标系内,若已知点 a(x ,y ),b(x ,y ),线段 ab 的中点 m 的坐标为(x,y),则有1122x xx12，2yy y2.12对于 a,b,m 三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标.3.坐标法应用的注意点：一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要