平面向量学案

1、第一课时 平面向融 1了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象 出向量. 2 .理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及 向量的表示 1. 向量的概念 向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量. 数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、 uuuuuu B为终点的有向线段记作 AB (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记 uuu 作| AB I书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头. A (起点) 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度

2、, 它的终点就唯一确定了. 思考1两个向量可以比较大小吗？ 提示：不能因为向量既有大小，又有方向. 2. 向量的表示法 几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就 uuuuuu 是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB |. (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，表示向量书写时，可写成 带箭头的小写字母 a，b，C，.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示， uuu 如以A为起点，以B为终点的向量记为 AB . 特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量 a不能写成a; uuu uuu (2)向量的起点、终点要搞清，女口AB与BA

3、的起点与终点正好相反. 3. 有关概念 名称 定义 记法 零冋零向量的方向是任意的；规定零向量与任 一向量是共线向量. (2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线. 第二课时 1. 理解向量加法的概念及向量加法的几何意义. 2 .熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法 则，会作已知两向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计 算. 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量. uuuuuu BC = b,则向量AC叫 uuu 做a与b的和记作a+ b, 即卩a+ b = AB + uuiu uuu BC =

4、 AC.这种求向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则. 3.向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点 0为起点的两个已知向量 a, b为邻边作?OACB，则以O为起点的对 uuu 角线0C就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么? 提示：（1）两个法则的使用条件不同. 平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 三角形法则适用于任意两个非零向量求和, 求和. (2) 当两个向量不共线时，两个法则是一致的. uuu uuuuuir 如图所示，AC = AB + AD (平行四边形法则). uuu uur uu

5、u uuu uuru 又 BC = AD , AC = AB + BC (三角形法则). (3) 在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范 围的限制及和向量与两向量的起点相同. 思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？ 提示：能.向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后 一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量. 个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则的实质是三角形法则的连续应用. 4. 向量加法的运算律 交换律 a+ b = b+ a 结合律 (a+ b)+ c= a+ (b +

6、 c) 思考3零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？ 提示：对于零向量与任一向量a,规定：a + 0= 0 + a= a. 思考4|a|b|, |a+ b|, |a|+ |b|之间的大小关系是怎样的? 提示：IB|b|w|a + b|w|a|+ |b|. 当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a + b|= |a|+ |b|; 当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，|a|b|= |a+ b|. 第三课时 1理解相反向量的意义；知道向量减法的定义. 2 掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两 个向量的差向量 1 相反向量 定义 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是

7、相反向量 性质 对于相反向量，有a+ ( a)= 0 若a, b互为相反向量，则a= b, a + b = 0 零向量的相反向量仍是零向量 特别提醒 相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解; (2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量. 2.向量的减法 定义 a b= a + ( b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 uuruuumu 在平面内任取一点 0,作OA = a, OB = b,则向量a b= BA.如图所示 几何意义 如果把两个向量a, b的起点放在一起，则 a b可以表示为从向量 b的终点指 向向量a的终点的向量 uuuuuuuuu uuu

8、 思考1若OA = a, OB = b，贝U AB , BA如何用a, b表示？ uuu uuu uurumr uuu uuu 提示：AB = OB OA = b a, BA = OA OB = a b. 思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a+ b和 |a b|的几何意义是什么？ uur uuu 提示：如图所示，设 OA = a, OB = b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的 uuuurn 三角形法则，有0C = a+ b, BA = a b. B 四边形 OA, OB为令邻 边的平行四边形的两条对角线的长. 思考3向量加法与减法的几何表示的区别？ 提示：向量的减法是加法的逆运算

9、，求a+ b时，是将b的起点放在向量a的终点，然 后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求 ab时，是把这两个向量的起点放在 一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 第四课时 ”向毘共线定理f应用 1理解向量数乘的定义及几何意义. 2 掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表 示未知向量. 3 掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量 共线 1.向量的数乘 定义 一般地，实数 入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作X 长度 |Xi|=|Xa| 方向 40 X的方向与a的方向相同 X= 0 X = 0 X：0 X的方向与a的方向相反 思考1向量数乘与

10、原向量有什么样的关系？ 提示：向量数乘与原向量是共线向量. 思考2向量数乘 七的几何意义是什么？ 提示：(1)当|入1时，有|?a|a|，这意味着表示向量 a的有向线段在原方向(Q1)或反方 向(K - 1)上伸长了 |开倍. (2)当0| ”1时，有| ?a|a|，这意味着表示向量 a的有向线段在原方向(0 X1)或反方向 (-1 ?0)上缩短了 |入倍. 思考3向量的大小与方向如何？ |a| 提示：向量的大小为1,方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位 |a| 向量. 2. 向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律： 设人为实数，则 (1) X 归)=(入)!21 ； (

11、2) ( XF p)a= X + 归； (3) ?(a+ b)= X + b 特别地，(Xa= ( X) = X a), ?(a b) = ?a ?b. 特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的 “合并同类项”. 3. 共线向量定理 向量a（a丰0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使b=?a. 思考4共线向量定理中为何要限制0? 提示：共线向量定理中，若不限制a丰0,则当a= b = 0时，入的值不唯一，定理不成立.并 且当0, a = 0时，入的值不存在. 特别提醒（1）如果非零向量a与b不共线，且 七=Q,那么匸尸0. （2）共线向量定理可以分为两个定理

12、： 判定定理：如果存在一个实数入满足b = ?a（入 R）,那么a/ b. 性质定理：如果a / b,0，那么存在唯一一个实数入使得b=扫. 4. 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a, b，以及任意实数 人 ， 比，恒有 X pia （j2b）=入i（a入 酣. 第五课时 1了解平面基底的含义，并能判断基底. 2 .理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平 面内的任一向量. 3.掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定 义 平面向量基本定理 思考1设ei, e2是平面向量的一组基底, 则ei, e2中可能有零向量吗？平面向量的基底 唯一吗? 提示：平

13、面向量基本定理的前提条件是 ei, e2不共线，若ei, e2中有零向量，而零向量 ei, e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以 不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数 和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故 心h的值也不相同. 思考2向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 提示：向量的夹角a的范围为0 a i80，两条直线的夹角 B的范围是090 第六课时 1. 平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解. 2. 平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i, j作为 基底. 坐标：对于平面内

14、的一个向量 a,有且只有一对实数 x, y,使得a= xi + yj，我们把 有序实数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a= (x, y)，其中x叫做向量a在圣轴上的坐标， y叫做向量a在y轴上的坐标. 坐标表示：a= (x, y)就叫做向量的坐标表示. 特殊向量的坐标：i = 4Q, j = (01), 0= (0.0). 思考1由向量的坐标定义知，当且仅当两向量a= (xi, yi), b =(X2, y2)满足什么条件时 相等？ 提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a = b? xi = X2且yi = y2. 3. 向量与坐标的关系 uuum 终点A的坐标(x, 设OA = x

15、i + yj,则向量OA的坐标(x, y)就是终点A的坐标；反过来, ULU y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实 数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的. 思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？ 提示：(1)区别： 表示形式不同，向量a= (x, y)中间用等号连接，而点的坐标A(x, y)中间没有等号. 意义不同，点 A(x, y)的坐标(x, y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a = (x, y) 的坐标(x, y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x, y)既可以表示点，也可以表 示向量，叙述时应指明点(x

16、, y)或向量(x, y). 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 第七课时 课程目标 学习脉络 1理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则， 能熟练进 行向量的坐标运算. 2 .能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量. 平血向站的坐标 加法运算减法运算数乘运算 用已知向暈表示其他向凰 平面向量的坐标运算 设向量a = (xi, yi), b=(X2, y2),入 R，则有下表: 文字描述 付号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a + b =(X1 + X2, y1 + y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a

17、b =(X1 X2, yj y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ?a=(入x入y 向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标 已知 A(X1 , y1), B(X2, y2), uuu 贝U AB =(X2 X1, y2 y1) uuur 思考如何区别a b的坐标运算与 AB的坐标运算？ uuu 提示：a b的坐标是对应的坐标相减，AB的坐标为终点坐标减去始点坐标. 第八课时 课程目标 学习脉络 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2 .能用向量的坐标表示判疋向量是否共线.证明 三点共线. 平面向量的坐标 向量

18、共线 1 |应用| 平面向量共线的坐标表示 设 a = (xi,yi),b=(X2,y2),其中 0,当且仅当xw X2yi = 0时，向量a,b 共线. 思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同 为零时，反向. 例如：向量(1,2)与(1, 2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(一1,2)与(3,6)同向； 向量(1,0)与(3,0)反向等. 思考2已知a= (X1, y1), b = (x2, y2),则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？ 提示：在讨论向量共线时，规定

19、零向量可以与任一向量共线，当b工0时，a和b共线 条件的表示方法有以下三种形式： (1) 当b丰0时，a = %.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2) X1 y2 X2y1 = 0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征. (3) 当X2y2工0时，鱼=必,即两个向量的对应坐标成比例.这种形式是较容易记忆的 x2y2 向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 第九课时 学习脉络 课程目标 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2 掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义.

20、 3 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 4 .会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量 积解决向量的垂直问题 1.平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 0叫做a与b的数量积(或内积), 其中0是a与b的夹角 记法 记作 a b,即卩 a b= |a|b|cos 0 规定 零向量与任一向量的数量积为0 投影 |a|cos 0|b|cos 0)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影 几何意义 数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘积 思考1向量的数量积的运算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向? 如

21、果是实数，如何确定它的符号？ 提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之 积.当a, b为非零向量时，由a b = |a|b|cos B, a b的符号由a与b的夹角B的余弦值来确 定.当0 00;当90180时，a b0 0 0, 2 a b= 0 0 2 a b0 01, 夹角公式 a b cos 0 |a|b| 思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗? 提示：不一定垂直.当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直. 第十课时 1掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形 式求数量积、向量的模及两个向量的夹角. 2会用两个向量的数量积判断它

22、们的垂直关系 平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量a= (xi, yi), b =(X2, y2), a与b的夹角为0,则有下表: 提示: 由于|a|=x2y2丰0,且单位向量 ao= a |a| 所以a=旦=1 |a|, x2 y2 (x, 坐标表小 数量积 a b = X1X2 + y1 y2 模 |a|= JX2y：或|a|2= x2 + yf UULULI 设 P1(X1, y1), P2(X2, y2)，则 |PP2 = i22 V X1X2y1y2 垂直 a丄b? a b= 0? x1X2+ y1y2= 0 夹角 a bX1X2 yy cos 0=f t |a|b|

23、 Jx2 y2jx2 y2 思考1与非零向量a同向的单位向量的坐标如何表示? y)= Xy，此为与非零向量 a= (x, y)同向的单位向量的坐标. 2 2 2 2 x y x y 思考2对任意的向量a与b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？ 提示：不一定.当a = (0,0)时，|a|= 0，此时, cos 0= X1X2yiy2 无意义，但 夹角为0同时，a b=X1X2+ yiy2= 0,但向量a与b不垂直，而是a/ b.故向量夹角的坐标 公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a丰0且b丰0. 课程目标 学习脉络 i会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度冋题. 2.掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” FiifJLKl 1 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可 用向量方法解决平面几何中的一些问题. 2.用向量方法解决平面几何问题的三步曲： 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何 问题转化为向量问题； 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系.