-概率作业详解

1、第 4 章 数字特征作业 1、 填 空题1设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布，则数学期望E(X+e-2X)=22713 ka2 b.5. 设 X 的分布律为 X1 2 3 4p0.1 0.3二、计算题, 且 E(X)=3, 则 = 0.2 ， = 0.42. 设随机变量 X 与 Y 相互独立 ,且 X 服从区间 0,2上的均匀分布 ,Y服从参数为 3 的指数分布 , 则 E(XY)= 3 .3. 设随机变量的分布律为X-101/212p1/31/61/61/121/4则 E(-X+1)= 2 , E(X 2)= 353 2424设随机变量 XU(0, a), Y=kX 2+b(k，b为

2、常数 ),则 E(Y)=.假定甲、乙两队在每场比赛中1设甲乙两个排球队进行比赛，若有一队胜三场则比赛结束 获胜的概率相等 , 试求比赛场数的数学期望 .解 : 设 X 表示比赛的场数 ,则 X 的取值为 3,4,5所以 X 的分布律为X3 4 5PC2 / 15(12)3C21C31(21)4C21C42(12)5即X345133P488所以 X 的数学期望为 E(X ) 3 1 4 3 5 3 334 8 8 82. 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第i 次投中得分为( 4-i)分， i=1,2,3,，若三次均未投中不得分 .设某人投篮测试的平均次数为1.56 次 .( 1)求该人

3、投篮的命中率； (2)求该人投篮的平均得分 .解：( 1)设该人投篮的命中率为 p, 该人投篮的命中次数为 , 则 X 的分布率为X1 2 32 pkp (1-p)p (1-p)2 于是 E(X)= p2 (1-p)p 3(1-p) / 15=1.56 ,解得 p=0.6(2) 设该人投篮得分为 Y, 则 Y 的分布率为Y 3 2 1 02 3P p (1-p)p(1-p) 2 p (1-p) 3平均得分 E(Y)=3 p2 (1-p)p (1-p) 2 p2.3761 1sinx, x 03设随机变量 X 服从区间 ( , )上的均匀分布 , g(x) , 求 Eg(X)., x ( 12

4、, 122 20, x 01解: 由题意知 : f(x)0 , 其他1所以 Eg(X) g(x) f(x)dx 2 sin xdx 1 cos124. 一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为x0x01e x/4 f (x) 40,100 元，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望200 , 0 x 1 解: 售出一台设备的赢利函数为 (x)100 , x 1则 E (x) (x) f(x)dx1 1 x 1 x( 200) e 4dx 100 e 4 dx0 4

5、 1 41300e 4 20033.645设随机变量 X 与 Y 相互独立，其密度函数分别为fX (x)2x, 0 x 10, 其它 ，e (y 5) fY(y)ee0,y5y52求 E(3X+4Y 2), E(XY).解 : 由于E(X)所以因为E(Y)1 2 2xfX (x)dx02x2dx 23yfY ( y)dy 5 ye (y 5)dy 6E(Y2)y2fY (y)dy 52 ( y 5)y2e ( y 5)dy 37E(3X 4Y 2) 3E(X) 4E(Y2) 3 2 4 37 1503X 与 Y 相互独立 ,所以E(XY ) E(X )E(Y) 2 6 46.设随机变量 (X,

6、Y)的概率密度为 f (x,y)1,0,|y| x,0 x 1, 其它2, 求 E(X), E(Y), E(X2), E(XY).解 : 由题意知E(X)2xf ( x, y)dxdy 0dx x xdy 31xE(Y)yf ( x, y)dxdy 0dx x ydy 0E(X2)2x2 f (x, y)dxdyE(XY)xyf ( x, y)dxdyx1 x 2 1 dxx 2dy0 x 21x0dx x xydy 03 / 15第 4 章 数字特征作业 2、 填 空题1.2.若随机变量设随机变量1nX n 1n i 1X 服从均值为 2 ，方差为 2 的正态分布，X 1,X2, Xn 相互

7、独立 ,并且服从同一分布X i ,则 E(X n)a, D(X n)且 P2X4=0.3 ，则 PX0 ), 则对任意常数 C, 必有( D ). 2 2 2(A) E(X-C) 2= E(X 2)-C222 (C) E(X-C) 2Y, PX+Y1400.解 : (1) Z 1=2X+Y 仍服从正态分布 ,且E(Z1)E(2XY)2E(X) E(Y)272064020802 2 2D(Z1)D(2XY)4D(X) D(Y)43022526522即 Z1 N(2080 , 652 ) 同理 Z2=X-Y 也服从正态分布 ,且E(Z2)E(XY) E(X) E(Y)7206408022D(Z2)

8、D(XY) D(X) D(Y)3022521525即 Z2 N( 80 , 1525 )Z 2 80 0 80(2) PXY PX Y 0 PZ 2 0 P 2 1525 152580801 ( ) ( ) 0.9798(3) 因为 X+Y N (1360 , 1525 )所以 PX+Y1400 PX Y 1360 1400 13601525152515251525401 ( ) 1 (1.024) 1 0.8461 15250.15396 / 15第 4 章 数字特征作业 3、 填 空题1. 设两随机变量 D(X)=25,D(Y)=36,XY =0.4, 则 Cov(X,Y)= 12 ,D(

9、X+Y)= 85 ,D(X-Y)= 37 .2. 若 D(X)=0.004 ，利用切比雪夫不等式估计 P|X-EX|0.2 0.93. 一颗骰子连续掷 4次，点数和记为 X, 估计 P10 X 18 0.271 .二、选择题1. 设两随机变量 X 与 Y 的方差存在且不等于 0，则(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件；(D) 独立的充分必要条件。1,34D(X+Y)= D(X)+ D(Y) 是 X 和 Y( B )2. 设 D D 2 ,D( ) (B)(A) 3 (B) 16 (C)16 33. 随机变量 和 的相关系数为

10、(D) 1431. 则 和 (C)(A) 不相关(C) 以概率4. 设随机变量(A) 1三、解答题1. 设随机变量X2=aX-bY,1存在线性关系(B) 相互独立(D) 以概率 1 不存在线性关系和 的相关系数为 , 且 D4 , D1, D( ) 4. 则 =( B )(B) 0.25 (C) 0.5 (D) -0.252X 与 Y 独立同分布， E(X)=E(Y)= , D(X)=D(Y)= 2, 随机变量 X 1=aX+bY, 求 X1与 X2 的相关系数。解: E(X1) E(aX bY) aE(X) bE(Y) (a b) E(X2) E(aX bY) aE(X) bE(Y) (a

11、b) D(X1)D(aXbY)a2D(X)b2D(Y) (a2b2)2D(X2)D(aXbY)a2D(X)b2D(Y) (a2b2)2E(X1X2) E(a2X 2 b2Y2) a2E(X 2) b2E(Y2) a2D(X) E(X)2 b2D(Y) E(Y)2 a2 ( 22 ) b2( 22)(a2 b2 )( 2 2)7 / 15所以 Cov( X 1 , X2) E(X1X2) E(X1)E(X2)(aCo(vX1, X2)D(X1) D(X2)则X1 X22. 已知 (X,Y)联合分布律为 试求 (1) E(X),E(Y),D(X),D(Y);(2) Cov(X,Y), (X,Y)b

12、2)( 2 2 ) (a2b2 ) 222b)22 b2) 222 ab22 a2 b2XY-101-11/8 1/81/801/8 01/811/8 1/81/8Y13/8(a2(a2(a2 b2 ) 2的边缘分布律为 X -13/8解：X 的边缘分布律为 X -13/802/802/813/8(1) E( X)=0, E( Y)=0, D( X)=6/8,(2) Cov( X ,Y)=0, (X,Y)=0.D( Y)=6/82. 设 (X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)24(1 x)y0, 0 x 1;0, 其他yx,试求: E(X);E(Y);D(X);D(Y).Cov(X,Y)

13、及 XY1x解:E(X)E(Y)E(X 2 )3xf ( x, y)dxdy 0dx 0 24(1 x)xydy 51 x 2 2yf(x,y)dxdy 0dx 0 24(1 x)y2dy 20 0 521x 22x2 f(x,y)dxdy 0dx 0 24(1 x)x2ydy 2 0 0 51 x1E(Y2)y2 f(x,y)dxdy 0dx 0 24(1 x)y3dy 10052223 21D(X )E(X2)E(X)22(3)2155252212 21D(Y)E(Y 2)E(Y)21(2)2155251xE(XY) xyf(x, y)dxdy 0dx 02424(1 x)xy dy154

14、 Cov(X ,Y) E(XY ) E(X)E(Y)1532552758 / 15Co(vX ,Y)D(X) D(Y)12755 233. 设二维随机变量但 X 和 Y 不是相互独立的。(X,Y)在区域 G:x2 y2 1 上服从均匀分布, 试验证 X 和 Y 是不相关的，22证明 : 由于 (X,Y)在 G: x2 y21上服从均匀分布1 所以(X,Y)的联合概率密度函数为f (x, y)01 x2 1 2 1 x 21 x2 1 dy 2 1 x22, x2 y2, 其他所以 f X (x)f(x,y)dy1x1其他同理fY (y)f (x, y)dx1 y21 y2 1 dx2 1 y2

15、其他所以由于fX (x)fY(y) f(x,y) , 所以 X与 Y不相互独立 . 1 2x同理1 2x 2E(X) xfX (x)dx 1 x2dx 01E(Y)yfY (y)dy 12y 1 y2dy 01E(XY) xydxdy 所以令x2 y2 12 1 1 3则 E(XY )d 3 cos sin d 000E(XY) E(X)E(Y) 0D(X) D(Y) 0由于所以 XY所以 X 与 Y 不相关 .9 / 15x co sy si n第四章 检测题选择题11. 设随机变量 服从二项分布 ,即 B (n,p),且 E =3 , p,则 n=( C )(A) 7 (B) 14 (C)

16、 21 (D) 49 X EX2. 若随机变量 X 的方差存在 ,则 P(1) ( C )aDX 2(A) DX (B) 1 (C) 2 (D) a DXa3. E(X EX)(Y EY) 0是X与Y相互独立的 ( C )(A) 充要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D) 无关条件4. 某店有 7台电视机 ,其中 2台次品 .今从中随机地取 3台,设X为其中的次品数 ,则 EX=( B ) 6 712575. 一随机变量1(A) 126. 设随机变量(A) 9B)437 (D) 79 .用切比雪夫不等式估计 P6 X 18 ( C )4(D) 45DX34X 的 EX2 (B) 23

17、X和Y相互独立 ,方差分别为 6和3,则D(2X Y) ( D ) (B) 15(C)7. 设 X 的密度函数为 :(C) 21(D) 2711x2 x 1f (x) 1 e 42( x), 则 X 的数学期望 和标准差分别为 ( D )(A) =2, =2 (B) 、 填空题= -2, =2 (C) =2, = 2 (D) = -2, = 21. 设X和Y相互独立,且X服从参数为 的指数分布 , Y服从二项分布 b(n,p), 则 E(XY ) np , D(2X Y) 4 2+ np(1-p) .2. 设X1 N(1,2), X 2 N (0,3), X3 N(2,1), 且X1 , X2

18、 ,X3独立, 则 P 02X13X2X362.0.3413.0,x1,3. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x) a bx, 1 x 1,:1,x1则 a 1/2 , b 1/2 , E(X ) 0 , D(X ) 1/3 .4. 设X表示 10次独立重复射击目标的次数 ,每次射击中目标的概率为 0.4, 则 X2的数学期望为2E(X 2 )18.4 .10 / 155. 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且 XU0,2, Y 服从参数为 3 的指数分布 , 则 E(XY )= 3 .6. 设随机变量 X 的数学期望 E(X ) , 方差 D(X) 2 . 则由切比雪夫不等式有

19、P X E(X ) 2 3/4 .7. 设随机变量 X1,X2,X3相互独立 , 其中 X1U0,6 , X2N(0,22) , X 3服从参数 =3的泊松分 布,记Y X1 2X2 3X3, 则 D(Y) 46 .0, x 2, 0.1, 2 x 0,8. 已知离散型随机变量 X 的分布函数为 :F (x) 0.4, 0 x 1, 0.8, 1 x 3, 1, x 3.则 E(X) 0.8 , D(X) 1.96 ， E(1 2X) -0.6 , D(1 2X) 7.84 .解答题1. 某种产品表面上的疵点服从泊松分布,平均一件上有 0.8个疵点 ,若规定疵点数不超过 1 个为一等品 ,价值

20、为 10元;疵点数大于 1 不多于 4 的为二等品 ,价值 8元;疵点数在 4个以上者为废品 . 求( 1)产品为废品的概率； (2)产品的平均价 .解: 设X 表示产品表面上的斑点数 ,则由题意可知 X 0.80.8k0,1,2,3,且其分布律为 PX k e 0.8 kk!(1) 若产品为废品 ,则所求概率为PX 4 1 PX 0 PX0.8 0.81 e 0.8 0.8 e 0.81) PX0.8 0.8e22 PX 3 PX 4 0.8 0.8e3!0.8 0.8e4!0.001411(2) 设 Y 表示产品的价格 ,则由题意知10 Y80x11x4x4E(Y) 10 PX10 e 0

21、.80 PX 1 8 PX0.8 e0.8 8 0.28 e 0.82 PX0.83 0.8e3!3 PX 40.84 0.8 e 0.8 4!9.6062. 设 E(X) 2,E(Y) 4,D(X) 4,D(Y) 9, XY 0.5 ，求：11 / 15(1)U 3X2 2XY Y2 3的数学期望；(2)V 3X Y 5的方差 . 解：( 1)因为E(X 2) D(X) E2(X) 4 22 8,2 2 2E(Y 2) D(Y) E2(Y) 9 42 25,Cov( X ,Y ) XY D(X ) D(Y) 0.5 2 3 3E(XY ) Cov(X ,Y ) E(X)E(Y) 3 2 4

22、11所以 E(U) 3E(X 2) 2E(XY) E(Y2) E(3) = 3 8 2 11 25 3 24 (2)D(V ) D(3X Y 5) D(3X Y) 3333D(X) D(Y) 2Coc(3X ,Y ) 33 D(X) D(Y) 6Coc(X,Y)33 4 9 6 3 2712 / 15第 5 章 大数定律与中心极限定理数字特征 作业一、 填空题1设 X1, X2, Xn是 n 个相互独立同分布的随机变量，其中E(Xi)= ，方差 D(Xi)=8, 对于1 n 8X n 1 X i ，写出所满足的切比雪夫不等式 P| X | 82，并估计ni 1 n 21P| X | 4 12n

23、2设 Xn表示 n次独立重复试验中事件 A出现的次数，事件 A 在每次试验中出现的概率为p, 则 Pa X n b ( b np ) ( a np )np(1 p) np(1 p)二、解答题1卡车装运面粉，设每袋面粉重 X(单位： kg)服从 N(25, 2.52), 问最多装多少袋面粉使总 重量超过 2000kg 的概率不大于 0.05.解: 假设装 n 袋面粉能使总重量超过 2000kg的概率为 0.05, 又设每袋面粉Xi (i 1,2, ,n) , 据题意 Xi N(25,2.52)(i 1,2, ,n) , n所求满足 P X i 2000 0.05i1 n 亦即 P X i 200

24、0 0.95i1显然 X1,X2, ,Xn独立同分布 ,且 E(Xi) 25 D(Xi) 2.52 (i 1,2, ,n) 于是 nE(Xi) 25n nD(Xi ) 2.5 n则由中心极限定理有n2000 25n2.5 nn X i 25nn i 1 i 2000 25nP Xi 2000 Pi 1 i 1 2.5 n 2.5 n查表得解得 :2000 25n2.5 n0.952000 2.5n 1.652.5 n n 782即 n2 160n 6400 0即最多装80 袋面粉能使总重量超过 2000kg 的概率为 0.0513 / 152计算机在进行数学计算时，遵循四舍五入原则. 为简单计

25、，现在对小数点后面第一位进行 舍入运算，则可以认为误差服从 0.5,0.5上的均匀分布 . 若在一项计算中进行了 100 次数字 计算，求平均误差落在区间 203, 203上的概率.1 100 解：令 Xi表示第 i次运算中产生的误差， i=1，2，100. 则平均误差为 X 1100i 1Xi而 X1,X2, ,X100 相互独立，且均服从 0.5,0.5上的均匀分布， 1E(Xi) 0,D(X i), i 1,2, ,10012100由中心极限定理3 1003 Xi N (0,1)5 i 1X i 100 0i1100 /123 3 100203 P 3 53i1Xi 3 (3) ( 3) 0.9973于是，333 1 100P X P X i2