17复数的概念

1、南京商业学校教案授课日期2015 年 月 日第 周 时 数课型新课课题 17.1 复数的概念教学目标知识目标： 了解数集扩展的方法与过程，知道复数产生的原因 和虚数单位的意义，理解纯虚数、虚数、复数的概念，知道复数 的分类。理解共轭复数、 相等复数的概念 掌握复数集内实系数 一元二次方程的解法。 能力目标：能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系；会求负实 数的平方根；能利用复数及其相等的有关充要条件， 建立相应的方程，转化复数问题； 会在复数集内解实 系数一元二次方程。情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的 作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点复数及其

2、相关概念教学难点复数及其相关概念的理解教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析 （含更新、补 充、删节内容）考虑到学生对复数概念的理解有一定困难，本节课要使学生了 解数的概念的发展和扩充实数集的必要性， 知道实数系扩充到复 数系的过程。板书设计17.1 复数的概念1数集的扩展例 1例 42. 虚数3复数例 2例 54. 在复数集内解实系数一元二次方程 例 3教后记教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动一、复习引入学生通过计算发看下面的数学问题：设 x 1 1,求 x2 12 的值。现：xx21x 2 1学

3、生计算： x2 12 （ x 1）2 2 1。 xxx21从中可以知道，满足 x 1 1的数是存在的，那么 x 一种怎x样的数呢？本节将学习这种新的数复数。二、讲授新课1数集的扩展我们回顾一下数集的扩展过程就可以知道，数集的每一次扩展，都是为了解决实际问题或数学存在的问题， 例如，方程 x2 2 在实数集 R中有解： x 2 ，数的范围扩充到实数集 R以后， 还不能完全解决解方程的问题，如 x2 1 0 这样的方程在实数集 中仍然无解，所以，需要引进新的数，扩展实数集，使得 x2 1 0 这类方程有解。2. 虚数引进新数 i1 ，称之为虚数单位 ，规定： i2 1，并且 i与实数一起按照实数的

4、运算法则进行运算。根据上述规定，对于负实数 a ，有a a （ 1） ag 1 agi这样， i就是-1 的一个平方根， -i是-1 的另一个平方根。因此，引进虚数单位 i后，方程 x2 1 0就有解 x i ，从而解决了 x2 a 0（ a 0）这类方程求解问题。想一想： i3 ?,i 4 ?,i5 ?,i6 ?一般地，虚数单位 i 有下面的性质：4n 4n 1 4 n 2 4n 3i 1,i i ,i 1,i i虚数单位 i 与非零实数 b 相乘得到的数 b i 不可能是任何实数， 我们把 b i（ b R,b 0 ）这类数叫做纯虚数。把纯虚数 b i 与实 数形式地进行加法运算，得到形如

5、 a bi（ a,b R,b 0） 的数叫做虚 数，所有虚数构成的集合叫做虚数集。学生思考并回答教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动例 1 下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？3 4i ，2 2i3 0 0， 0.2i ， ， i ， 3 i ， cos300 i sin 30 0 5解：实数有 3 ；虚数有 3 4i ， 2 2i 0.2i ， i ， 3 i ，5cos 30 0 isin300；纯虚数有 0.2i ， i3. 复数（1）复数的定义：形如 a bi（a,b R ）的数叫做复数，通常用小写字母 z 表示，即 z a bi（a,b R）其中 a,b

6、分别叫做复数的实部和虚部。学生口答全体复数构成的集合称为复数集，通常用大写字母 C 表示，即C= zza bi ,a,b R实数 a 可以写成a 0i , 所以实数也是复数 , 复数集包含了实数集。（2）复数的分类: 对于复数 z a bi（a,b R），当 b 0时，z a 为实数；当 b0时，称复数 z a bi 为虚数；当a 0而b 0时，称复数 z bi 为纯虚数。因此，复数集就是实数集和虚数集的并集。复数的分类 （ 下面的 a，b 均为实数 ）想一想：复数集、实数集和虚数集之间的关系怎样用图形表示？例 2实数 m取怎样的值时，复数 z （m 2）（m 1）i 是（1）实数；（2）虚数

7、；（3） 纯虚数？解：复数 z 的实部为 m 2 ，虚部为 m 1师生共同完成（1）当m 1=0，即 m 1时，复数 z 是实数；（2）当m10 ，即 m 1 时，复数 z 是虚数；（3）当m 2=0 时，即 m 2 时，复数 z 是纯虚数（此时m 1 0）。（3）复数相等与共轭复数学生思考并画出 图形如果两个复数 a bi 与 c di（a,b,c,d R）的实部和虚部教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动分别相等，则称这两个复数相等，即 a bi = c di a c,b d师生共同完成特别地，有 a bi 0 a b 0 。利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问

8、题来解决。例 3已知（x 2y） i 6x （x y）i,其中 x,y R，求x、y的值。解：根据复数相等的意义，得方程组师生共同完成x 2 y 6x1xy解得 x 2 , y 533注意： 任何两个实数都可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。 例如，2i与 0， 2i与3i ，4与4 i都不能比较大小。当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，复数 z 的共轭复数记为 z 。例如，复数 z a bi的共轭复数是 z a bi。3 i与3 i 、2i 与 2i 互为共轭复数。4在复数集内解实系数一元二次方程因为（ ai）2 a，所以 ai 都是-a

9、 的平方根，即复数集内，负数可以开平方根，由此可知，实系数 一元二次方程ax 2 bx c 0（ a 0）在复数集内总有解。师生共同完成当b2 4ac 0 时 ， 有 两 个 不 相 等 的 两 实 根 ，b b2 4ac1,21,2 2a当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实根， x1 x 2 b ；1 2 2a当b 2 4ac 0 时 ， 有 两 个 共 轭 虚 根 ，2师生共同完成b（b2 4ac） ix1,21,2 2a例 4 在复数集内解下列方程：（1） x 2 5 0 ，（2） x2 x 1 0教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动解：（1）由 x2 5 0得 x25 ，所以方程的解为 x 5i（2）由因为b2 4ac 1 4 3 0 ，1 3i 1 3 所以 x i2 2 2即方程 x2 x 1 0有两个共轭虚根： x11 3i ，1 2 213x2i2 2 2例 5 在复数范围内分解因式：（1） x2 5（2） x2 4x 5解：（1） x2 5=x2 （ 5）=x2 （ 5i）2 x 5i x 5i （2） 设 x2 4x 5 =0，则由求根公式得b 4ac b2 ix1,22 i1,2 2a所以 x2 4x 5= x 2 i x 2 i x 2 i x 2 i想一想：例 5（2