14最短路径问题学案

1、13.4 课题学习 最短路径问题 【学习目标】 1. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 , 2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用 . 【重点难点】 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【学习过程】 一、自主学习： 如图所示， 从 A地到 B 地有三条路可供选择， 走哪条路最近？你的理由是什么？ 二、合作探究： 探究点一 探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程 拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的 A 地出发， 到一条笔直的河边

2、 l 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线 全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为 “将军 饮马问题 ” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问 1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 问题 2：如图，点 A， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 3：对于问题 2，如何将点 B“移 ”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长

3、度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？你能用所学的知识证明你 的作法正确吗？ 探究点二 选址造桥问题 如图，A和 B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥 最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） MN，桥造在何处可使从 A到 B的路径 AMNB 三、尝试应用 P、Q两地供水，现有如 1. 如图，直线 l 是一条河， P、Q是两个村庄 . 欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） 2.如图，牧童在 A处放马，其家在 B处， A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且 AC=BD,若点 A到河 岸

4、CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水 再回家，所走的最短距离是米 . 4、如图所示， M、 N是 ABC边 AB与AC上两点，在 BC边上求作一点 P，使 PMN的周长最小。 四、补偿提高 5、如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径 学后反思】 参考答案： 探究一、 追问 1、 答：将 A， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线 追问 2 答： (1)从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点 与 A，

5、B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地，再回到 B 地的路程之和； (3)现在的问 题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l上的点设C 为直线上的一个动点， 上面的问题就转化 为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小 (如图 ) 追问 3 作法： (1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B； (2)连接 AB，与直线 l 交于点 C. 则点 C 即为所求 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C 与(点 C 不重合 )，连接 AC， BC， BC由.轴对称的性质知， BC BC，BC BC AC BC AC BC AB， ACBC AC BC 在 A

6、BC中，AB ACBC， AC BC AC BC. 即 AC BC 最短 . 探究二、 分析： 从 A 到 B 要走的路线是 A MN B，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AM BN 最短即可 解：在直线 a上取任意一点 M，作 MNb于点 N，平移 AM，使点 M移动到点 N的位置，点 A 移 动到点 A的位置，连接 AB交直线 b于点 N，过点 N作 MNa于点 M，则路径 AMNB 最短 理由如下：如图，点 M为直线 a上任意一点 （不与点 M 重合 ）， 线段 AN是线段 AM 平移得到的 AAMN，ANAM AMMNBNANAABN MN 平行 AA且 MN AA MN 可以看作是 AA经过平移得到的 ANAM AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得 ANNB ABANBN AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得 ANNB ABANBN AM NBAM BN MNMN AM MNNBAM M N N B，即路径 AMNB 最短 尝试应用： 1、D； 2、1000； 3、A 4、答案如图所示： P点就是所求做的点 补偿提高 5、思路分析： 由于两点之间线段最