微分方程练习题基础篇答案

1、求下列方程的通解1.dx xy分离变量2.xydx ,1 x2dy 03.xy4.(xy27.xy8.xdy9.dx常微分方程基础练习题答案史 xdx y y ，分离变量dyyylny 0分离变量2x)dx (x y y)dy(2x y 5)2 令 ux y，原方程变为y2arcta n ux2 y20arcta nux2Ce乏,c为任意常数xdx.1x2,yCe,C任意常数dyyln y-dx,y xCex2x包1dxydyxdx2,(1xy2)(i x2) cy 5则乎 dxy%，令u1 丫令xu In x C方程变形为2In xylnx 方程变形为dxdydxduu2 21udx ,ar

2、ctan 二.2 . 2x Ci鱼udx2u .2 du1 u2-dxx-回代得通解2arctan- xIn x10,令 ux代入得du77dxxC,u x回代得通解2xy 4x，一阶线性公式法y arcta n 丄xln xyx u(ln udu 1)dx u xCx 1e ,yCx 1 xe2xdxe (2xdx4xe dxC)2Ce x10.dxy 2x 2x ,阶线性公式法y2dx2 2dx3e x ( 2x2e x dx C) x3 Cx11.(x221)y 2xy 4x，方程变形为2x 4x2厂y厂一阶线性公式法d3 C)12.(y26唸2y 0,方程变形为dxdy31/尹一阶线性

3、公式法y2 3Cy13.y3xyxy2方程变形为隼1dz3x- x伯努利方程，令z y 1,一 ydxy 2 3代入方程得dx14.dx13y15.y5ydzdx3(13xzx 一阶线性公式法再将z回代得1 Ce2x)/，方程变形为于dx晋3ydx4 dydx1 13 y3dz代入方程得dx(1 2x)伯努利方程,令3z 2x 1, 一阶线性公式法再将 z回代得13y6y16.16y24yCex 2x 10，特征方程为y Ge 2xr2 5r 6 0,特征根为”C2e 3x2,r23,通解29y 0,特征方程为16r24r9 0,特征根为r1,233,通解3 xy (G C2x)e4217.y

4、 y0,特征方程为r r 0,特征根为* 0上1,通解yGC?e x18.y 4y 5y 0,特征方程为r2 4r 5 0,特征根为 2 i, 2 i,通解y e2x(C1 cosx C2sin x)33xy Cxx19.(x2y)dx xdy 0,全微分方程 x2dx (ydx xdy) 0 ,d d(xy) 0,通解3320.( x3y)dx (x y)dy 0,全微分方程 x3dx (ydx xdy) ydyx40,d7 d(xy)x4通解一42Vxy C221.(x22y )dx (2xy22y)dy 0 全微分方程 x dx (y dx 2xydy)ydy 0,2322 vx 2 y

5、d(xy ) d1-0，通解xy C322.(xcosy cosx)y ysinx siny 0,全微分方程0,通解(xcosydy sin ydx) (cosxdy ysin xdx) 0, d(xsin y) d(ycosx) xsi ny ycosx C23.(3x22 2 2y)dx (2x y x)dy C , 3x dx 2x ydyydxxdy 0 ,积分因子24. xdx25.( x23dx 2ydy ydx xdyd3x dy20，通解3x2 2ydy (x y )dxxdx ydy ,dxx y2y y)dx xdy 0程变 为0 d1ln(2y2)dx 0 通解In(x2

6、2y2)2 2,(x y )dxydxxdy 0 ,积分因子1 、 -22 ,方程变为x yarctan Cy,丄 x 小dx d arctan0 通解 xy26.y3xesin x,可降阶y(n)f(x)型，逐次积分得通解y9 八inx C1x C227.yy2,可降阶令p(x)y ,原方程化为p 1 p2可分离变量型，得y p tan(x G),积分得通解y ln cos(x CJ C228.yx，可降阶yf (x, y )型，令p(x) y ,原方程化为p p x，一阶线性非齐次公式法x C21得y p Gex x 1,积分得通解y Gexx23彳、dpdp 329.y y 可降阶yf(

7、y,y)型，令P(y) y,y,原方程化为p p p即 p磅(1 p2) 00就是方程的一个解，由dpdy(1 p2)0 得arctan p y C1 即 yx Cp tan(y C1),通解为 y arcsine 2 C130. y2y y 4xex,二阶常系数非齐次f(x) e xPm(x)型，1就是特征方程2 21 0的x*2x重根，对应齐次方程的通解为Y (C1 C2x)e，设特解为y x (ax b)e，代入方程得2 *23 x(6ax 2b)ex 4xex,得a -,b 0,故原方程的特解为y -xe ,原方程通解为3 32y (G C2x)exx3ex32xVQQ31. ya y

8、 e ,二阶常系数非齐次f (x) e Pm(x)型，特征方程r a0,特征值为 ai对应齐次方程的通解为 Y G cosax C2sinax,1不就是特征根，设原方程特解为*21* exy,代入方程得Ae a方程通解为G cosax C2 sin axxe1 a2yi Ax B代入此方程得 A 1,B 0,故yi x ；设y y cosx的一个特解为y2 Ex cosx Dx sin x代入此方程得E 0, D1,故y gxsinx；原方程通解为丫C1 cosx C2 sin x1 .x xsin x233.y6y9yX2e cosx,特征方程r 6r 9 0,特征值为r1,23对应齐次方程

9、的通解为、x3 x3x.* xY GeC2xe ,1 i不就是特征根，原方程特解设为y e (acosx bsinx)代入方程得a 3 ,b254*贝U y25 ,则 yx 3 e ( cosx25sin x）25,原方程通解为丫Ge3xC2xe3xx/ 3e ( cosx4 .、 sinx)25253x34.已知y1 e2xxxe , y2e2xxe ,ysxe2x就是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y()答案:y Gex C2e3x xe2x,3xxy1 y3 e ,y2 y3 e就是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数y C C2e2x xex满足的一个微分方程就是（

10、）(A)y y 2y 3xex(D)y y 2y 3exYY(B)y y 2y 3e (C)y y 2y 3xe解析：特征根为11, 22,则特征方程为（1）（2） 0即22 ,故对应齐次方程为*x彳y y 2y ；y xe为原方程的一个特解，1,为单根,故原方程右端非齐次项应具有f(x) C的形式。336.微分方程(y x)dx 2xdy 满足y6x 15的特解为(厂1 2答案：y *5x ，提示:一阶线性微分方程满足下列微分方程初始条件的特解37idxy0,分离变量y(1y)dy x(1 x)dx,通解为38.y39.y3y40.y23y_ y_23X，yx1C,由y,所求特解为23y32,令2 2y 2x (In x2y 5,yyu x则原方程化为udu程的通解为丫C)由yI,yx1 2 得 C 2dx 1 2 u x得2In x，将u回代得通解为2 2，所求特解为y 2x (ln2,特征方程r 2 3r 20特征根为r1C1exC2e2x yx2x 5yC1eC2e由初始条件得为 y 5ex7e2x5为224xex,yo,yx 01，特征方程rx 2)1,r22，对应齐次方52为非齐次的一个特解，故原方程的通解为CiCi解为 丫 C1e C2eC2 - 12解得C12C220特征根为ri 1，r25,C2f,故所求特解1，对应齐次方程的通1就是