微分的概念性质及应用

1、图2-1瞧成就是当自变量 x自xo取得增量x时，函数A相应的从上式可以瞧出A Xo2 2x Xo2xo xA分成两部分，第一部分2xo A就是A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之与，而第二部分2x在图中就是带有交叉斜线的小正方形的面积第二章第6节:函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分 作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1.微分的定义计算函数增量 y f X。 x f xo就是我们非常关心的。 一般说来函数的增量的计 算就是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计 算方法。先分析一个具体问题

2、，一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0x（图2-1）,问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x ,面积为 A,则A就是x的函数：A x。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以增量 A,即x o时,第二部分2 2x 就是比 x高阶的无穷小，即 x o x。由此可见，如果边长改变很微小，即| x很小时，面积的改变量 A可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数y f x满足一定条件，则函数的增量 y可表示为y A x o x ,其中A就是不依赖于 x的常数，因此A x就是 x的线性函数，且它与 y之差y A x o x ,就是比 x高阶的无穷小。所以，当A o,且| x很

3、小时，我们就可近似地用 A x来代替定义 设函数y f x在某区间内有定义，x0x及x0在这区间内，如果函数的增量y f xox f xo可表示为y A x 0 x,其中A就是不依赖于x的常数，而0 x就是比 x高阶的无穷小，那么称函数y fx在点X。就是可微的，而A x叫做函数y f x在点X。相应于自变量增量x的微分，记作dy ,即dy Ax。定理1函数f X在点xo可微的充分必要条件就是函数f x在点xo可导，且当f x在点xo可微时，其微分一定就是dyxo X。设函数y fx在点xo可微，则按定义有式成立。式两边除以 X，得 亠A。XX于就是，当xo时，由上式就得到Xo 。因此，如果函

4、数f X在点xo可微，则f X在点xo也一定可导（即fxo存在），且A f xo 。反之，如果y f x在点xo可导，即lim -x o x存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成f X o（当x o）。由此又有其中XoXoy f xo因 x o x，且不依赖于X，故上式相当于式，所以f X在点Xo也就是可微的。f X在点xo可导，且当由此可见，函数f X在点xo可微的充分必要条件就是函数f x在点Xo可微时，其微分一定就是dy f x0 x。xe cosx,求 dyxxe cosx e sin xdyex(cosx sin x)dx微分在近似计算中的应用：在fX00的条件下，以微分dyf X

5、x f X时,相对误差当x 0时趋于零。因此，在)x近似代替增量X很小时，有精确度较好的近似等式y dy。即 f x0 xf x0x0X或 f (x)f(x)f(X。)x特别地，当 x00, x很小时，有 f (x)f(0)f (0)x式就是计算零点附近的函数值当 x很小时,有下列近似计算公式n1 x 1-xnsin xtgx xln(1 x) x(当x很小时)f(x)因为f(0)1 f (0)11(1 x)n nf(x)f(0) f(0)x故，当x很小时，帖例2 一个充好气的气体 积增加了多少？43解:因为Vr3,r1 !xn4 m,升空后,因外面气压降低，气球半径r增大了 10cm,求体所

6、以 V dv (4 r3)4 3.14420.120(m3)例3求,4.2的近似值.解设 f (x)x，取 X。4,0.2，则4.2 f (x)所以.4.2f(4)f (4)(4.2 4)2.05或者:.4.24(1 0.05)2(1 0.5 0.05)2 1 0.052.052.微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中到曲线上另一点N,则一个确定点M X。,过M点作曲线的切线，它的倾角为QPMQ tanx f Xody QP。由此可见，当y就是曲线yf x上的M点的纵坐标的增量时,dy就就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当x很小时，| y dy

7、比| x小得多。因此在点 M的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。3.微分运算法则及微分公式表由dy f x dx ,很容易得到微分的运算法则及微分公式表(当u、v都可导)：du v du dv,CuCdu ,vdu udv ,vdu udv。2v微分公式表：x 1dx,sin xcos xdx,cosxsin xdx ,tan xsec2 xdx ,cotxesc2 xdx,secxsecxtan xdx ,cscxcscxcot xdx,logaIn xax ln adx ,exdx,1 .xdx,xln a】dx,xarcs in xy 1 dx,1 x2arccosx1dx,1 x

8、2arcta nxarc cotxJ dx,1 x2dx。1 x2注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处 ，而且上述公式要从右向左背。例如1 dx 2d .x, xdl,x丄dxx1 dx daaxdx1. xda。In a4.复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下x都可导，则复合函数yx的微分为dy yxdxf u x dx。由于 x dx du ,所以,复合函数y f x的微分公式也可以写成dy f u du 或 dy yudu。u du保变量的由此可见，无论u就是自变量还就是另一个变量的可微函数 ，微分形式dy f 持不变。这一性质称为微分形式不变性。 这性质表示，当变换自变量时(即设u为另 任一可微函数时)，微分形式dy f u du并不改变。例4求y esinx的微分解 dy d(esinx) esinxdsinx esinx cosxdx自