1空间向量及其运算测试题答案

1、() 1 -*1 r - B一g + b + c 2 2 1 -*1 7 D. - a-b + c 2 2 c定共面的是 B. OM =-OA+-OB + -OCr 532 D OM +OA + OB + OC =0 C MA + MB + MC =0 A. 85 C. 52 D. 50 一.选择题：在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题LI要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1. 在平行六面体ABCDA1B1G6中，M为AC与BD的交点，若AB = a , 兀可，乔=7.则下列向量中与丽相等的向量是() _1 7* A. 一a + b + c 2 2

2、1 一 1 r * Cu-b + c 2 2 2. 在下列条件中，使M与A、B、 A OM =2OA-OB-OC 3. 已知平行六面体 ABCD-ABCD 中，AB=4, AD二3, A4 =5, ABAD = 90 , ZBAA = ZDAA = 60 ,则 AC等于() 与向量a = (1,-3,2)平行的一个向量的坐标是() A(丄，b 1) B. (-1, -3, 2) 3 C(丄，,1)D(, 3, 2l2 ) 2 2 5. 已知A (-1, 一2, 6) , B (1, 2, -6) 0为坐标原点，则向量刃,与面的夹角是() A. 0B. C.冗D 2 2 6. 已知空间四边形AB

3、CD中,OA= a,OB = b,OC =二点M在0A,且0M二2MA, N为BC中点，则 W二 () 1 - 2 7 1 - A. ab + c 232 1 - 1 - 1 - C. _u + _b c 2 2 2 2 -1 r 1 - Ea + b + c 3 22 且满足ac = o.acad = o,abad = o9 则?BCD是 () A.钝角三角形 B.锐角三角形 C直角三角形 D.不确定 7设A、B、C、D是空间不共面的四点, 8.空间四边形 OABC 中，0B二0C, ?A0B=?A0C=60,则 coslOA.BC= () D. 0 9.已知 A (1, 1, 1). B

4、(2, 2, 2)、C (3, 2, 4),则 AABC 的面积为() A 、你 B. 23 C. V6 D. 76 2 10.已矢口： = (l/一/j)Z = (2,/J), 则a-b的最小值为（） 二、 11. 12. 13. 14. 三、 15. n T 填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 若方=（2,3,-1）,/； = （-2丄3）,则乔为邻边的平行四边形的面积为. 已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC, M. N分别是对边0A、BC的中点，点G在线段MN 上，Q. MG = 2GN ,现用基组莎，而,5?表示向量血，有OG=xOA+yOB + zVC

5、 ,则x、y、 z的值分别为. 已知点 A（l, ?2, 11）,、B（4, 2, 3）, C（6, ?1, 4）,则?ABC 的形状是. D. 已知向量a = （2-3,0）,乙=伙,0,3）,若成120的角，则k二. 解g题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. （12分）如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为 且IANI=3INCI,试求咖的长. （12分）如图在空间直角坐标系中BU2,原点0是应的 的坐标是 、,-,0）,点。在平面 yOz 上,且ZBDO9Q。, ZQC庆30 . （?）条向量的筠； （2）设向量而和荒的夹角为，求cos 0的值 17. （12分）

6、若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个 棱两两垂直. 18. （12分）四棱锥Z2-破些，底面宓9是一个平行四边形, 1, r4, AD = 4 2, 0, AP- 1, 2, 1. （1） （2） 19. AiBi、 16. 於为BD的中点，点川在4C上， 图 (1) 求证：丹丄底面月应D 求四棱锥Z2-力磁的体积； （14分）如图所示，直三棱柱ABCAAG中，CA二CE, Z朗二90 4力的中点. 求3亓的长；（2）求cos的值； 求证：A,BCiM. （14分）如图，已知平行六面体ABCD-AACA的底面個 （3） 20. 菱形且ZG妙ZG炉Z方G上60 3 证明：“5（2）假定炉

7、2,牙记面宓为 ，棱M=2, K N分别是 CD (3)当上工的值为多少时，能使凡CL平面 CC, CBD为队 求二面角o-BD-P的平面角的余弦值; GBD2请给出证明. 参考答案 一、1. A；解析： 丽=丽 + 丽=乔 +丄(丽+荒)二;+丄(a + b) =-La + Lb+c.评 2 2 2 2 述：用向量的方法处理立体儿何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相 等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2. A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足OP = xOA + yOB + zOC,且x+ y + z = 既可.只 有选项A. 3. B；解析：只需

8、将疋=忑+而+兀亍，运用向量的内即运算即可，丨ACf = yjAC,2 . 4. C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即 b O,a/b a = Ab . 5. C；解析：=计算结果为一1. I I IZ? I . . 1 2 . 6. B；解析：显然MN = ON OM = (O3 + OC) 二OA. 23 7. B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦”定理可得三角形为锐角三角形. 8. D：解析：建立一组基向量OAOC,再来处理页荒的值. 9. D；解析：应用向量的运算，显然 cos=-sin , ABAC 从而得 S = -ABACsm.

9、 2 10. C； % 11. 6厉；解析：cosva,Z= f ?=-二,得sin = -,可得结果. ab77 1 1 * 1 12一OA + OB + OC； 633 解析： 13. 直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：IAB|2=IBC|2+IAC|2. 14. 一解析：cosv“E= f l = _* =一丄,得 = 7 aAb /T3v9 + 22 三、 15. 解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为,所以B (“，a, 0) , A (a9 0, a) , C (0, a, a) , T (0, 0, a) 由于M为BD的中点，取AC中点6 所以M(-,-)

10、,Or(-, -,a).因为I AN 1=31 NCI, 2 2 2 2 2 所以N为/VC的四等分，从而的中点，故N (Z -6/, G 根据空间两点距离公式，可得I MN 1= JR _G _半尸+ G _ a） =“ V 242424 ,16.解：（1）过 D 作 DE丄BC,垂足为 E,在 RtABDG中，由 ZBDC=90 ,ZDCB=30 , BC=2, 1 1 得 BD=, C=%/3 , :.DE=CD sin30 = .OE=OB-BE=OB-BD cos60 =1-= 2 2 2 D点坐标为（0, ，斗），即向量OUTXf的坐标为0, *, （2）依题意：OA = ,-,0

11、,= 0-1,0,OC = 0,1,0, 设向量AD和BC的夹角为久则 長折打)，長由条件EHMH-MN得: :斤(3_心)=0， t ri盘6, MB*III 17证：如图设SA = rSB = r2,SC = r3 ,则SE,SF,SGSH,SM,S2V分别为一斤，一也+G，（斤+勺）， 2 2 2 展开得斤r2=r2厶=斤厶 打丄(心一d)艮卩SA丄BC. 同理可证SB丄AC, SC丄AB. 18.（1）证明：V AP 43二一2一2+4二0, :.APAB. 乂 I AP AD =-4+4+0=0, :.AP丄4D TAB、4D是底面ABCD上的两条相交直线,:.AP丄底面ABCD.

12、(2)解：设AB与AD的夹角为久则 8-2 I丽丨而1一、/4 + 1 + 16 J16 + 4 一 VI05 叫泅加丽二 9 105 J1 + 4 +1 =16 (3)解: (ABXAD) AP 1=1-4-32-4-81=48 它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍. 猜测：I (入丽)乔I在儿何上可表示以A3、AD. 4P为棱的平行六面体的体积(或以 AB. AD.为棱的直四棱柱的体积). 评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间 向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等. 要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及

13、空间想 能力. 19.如图，建立空间直角坐标系O-xyz. (1) 依题意得 B (0, 1, 0)、N (1, 0, 1) I BN l=7(l-O)2+(O-l)2+(l-O)2 = V3 . 主 象 (2) 依题意得 Ai (1, 0，2)、B (0, 1，0)、C (0, 0, 0)、Bi (0, 1, 2) / BA = 1, 19 2) CBl =0t 1 2, , BAX =3 I1= V6 , ICBJ=y/5 csv两，CB宀誅衞=卜莎 .I I I I (3)证明：依题意,得 Ci ( 0, 0, 2)、M ( , 2) , AB = 1,1, 2), 0. 丽 丽二一丄+

14、 -+0=0, 1 1 2 2 A A.B 丄 GM, :.AiB 丄 CM 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识考查空间两向量垂直的充要条件. 20. (1)证明: 设 CB =a , CD =b y CCj =c 9 则G i=i力, BD = CD CB =b a , BD CC = b a c = b c a c=b I |c Icos60 a Ic Icos60 =0 CiC丄BD (2)解：连AC. BD,设连OC,则ZCiOC为二面角a _BD 0的平面角. IIf f.Ii f V CO = -(BC + CD) = - (a+b ) , CXO = CO-CCX =- (a+b ) c 2 2 1 1 2 11fif =4缶22S皿-”. 3133 cos60 2 cos60 = 2222 COCQ V3 L 3 则ICO 1=, IC.O l= , /.cosCiOC= r 2ICOIgOI3 CD2 (3) 解：设=x9 CD=2 则 CCi= CCx BD丄平面AAiCiC, BD丄AiC