微积分的发展历程

1、微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在 18 世纪，微积分进 一步深入发展， 这种发展与广泛的应用紧密交织在一起， 刺激和推动了许 多数学新分支的产生， 从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具 有鲜明特点的数学领域。在数学史上， 18 世纪可以说是分析研究的时代， 也是向现代数学过渡的重要时期。1) 微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、 牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研 究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒( B.Taylor )、麦克劳林 ( C.Maclaurin )、棣莫弗( A.de

2、Moivre )、斯特林( J.Stirling )等。 泰勒(1685_1731)做过英国皇家学会秘书。他在 1715 年出版的正的和 反的增量方法 一书中，陈述了他早在 1712年就已获得的著名定理 其中 v 为独立变量 z 的增量， 和 为流数。 泰勒假定 z 随时间均匀变化， 故 为 常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： 。泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能， 是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在 x=0 时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到， 现代微积分教科书中一直把 x=0 时的泰勒级数称为“

3、麦克劳林级数”。 麦 克劳林( 1698_1746)是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代 表性著作流数论，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法， 试图从“若 干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论， 这是使微各分形式化的努 力，但因囿于几何传统而并不成功。 流数论中还包括有麦克劳林关于 旋转可耻椭球体的引力定理， 证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上 一个质点的引力与它们的体积成正比。麦克劳林之后， 英国数学陷入了长期停滞的状态。 微积分发明权的争论滋 长了不列颠数学家的民族保守情绪， 使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱 点的束缚。与此相对照， 在英吉利海峡的另一边， 新分析却在莱布尼

4、茨的 后继者们的推动下蓬勃发展起来。2) 积分技术与椭圆积分18 世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到 各类不同的函数上， 不仅发展了微积分本身， 而且作出了许多影响深远的 新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。当 18 世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一 片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。 例如雅各布 ?伯努利在求双纽线 （在极坐标下方程为 ）弧长时， 得到弧长 积分 。在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分 。欧拉在 1774 年处理弹性问题时也得到积分 。所有这些积分都属于后来所说的“椭圆 积分”的范畴

5、，它们既不能用代数函数， 也不能用通常的初等超越函数 （如 三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是 。勒让德后 来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。 在 18世纪，法尼亚诺、 欧拉、 拉格朗日和勒让德等还就特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。 对椭圆积 分的一般研究在 19 世纪 20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角 度发展为深刻的椭圆函数理论。3）微积分向多元函数的推广 虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念， 但将微积分算 法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是 18 世纪的 数学家。1720年，尼古拉 . 伯努利证明了函数 在一定条件下，

6、对 x,y 求偏导数其 结果与求导顺序无关， 即相当于有 欧拉在 1734 年的一篇文章中也证明了 同样的事实。在此基础上， 欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。 达 朗贝尔在 1743年的著作动力学和 1747年关于弦振动的研究中， 也推 进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号 d 表示通常导数与偏导 数，专门的偏导数记号、到19世纪40年代才由雅可比在其行列式 理论中正式创用并逐步普及，虽然拉格朗日在 1 786年曾建议使用这一符 号。多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中， 但牛顿使用了几何 论述。在 18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广。 1748年欧拉用累 次积分算

7、出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中正上方一质点的引力的重 积分： ，积分区域由椭圆 围成。到 1770年左右，欧拉已经能给出计算 二重定积分的一般程序。 而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中， 用 三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。4）无穷级数理论微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。 牛顿在他的流数论中自由运用 无穷级数，他凭藉二项式定理得到了 sinx ， cosx， tanx ， arcsinx ， arctanx 和 等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方 法。在 18 世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被 普遍用来代表函数而成为微

8、积分的有力工具。莱布尼茨也曾独立地得到了 sinx,cosx, 和 arctanx 等的级数，但他却对 微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣， 他的学生们弥补了这方面的 不足。尤其是雅各布 . 伯努利，他在 1689 1704年间撰写了 5篇关于无 穷级数的论文， 使他成为当时这一领域的权威， 这些论文的主题也是关于 函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、 求曲线下的面积和曲线长等 方面的应用。这些构成了雅各布 . 伯努利对微积分算法的重要贡献。但就 级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数 的和是 无穷的证明。他首先指出了故有 。这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和

9、都大于 1，于是我们总可 以得到调和级数的有限多项的和， 使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果， 特别 是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。 例如，斯特林在 1730 年得到一个发散的级数表示：它相当于利用它可以作 的近似计算。当 n 很大时， ，称之为斯特公式， 虽然这一极限情形是由棣莫弗得到的。5）牛顿的“流数术”牛顿（ Isaac Newton ,1642 1727）于伽利略去世那年 1642 年（儒 略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭， 是遗腹子， 且 早产，生后勉强存活。 少年牛顿不是神童成绩并不突出， 但酷爱读书

10、与制 作玩具。 17 岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农， 但在牛顿的舅父 W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说 下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。 史托克思校长的劝说辞 中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言， 他对牛顿的母亲说： “在 繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！” 牛顿于 1661 年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开 普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。 三一学院至今还保存着牛顿的读书笔 记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的几何学 和沃利斯的 无穷算术 对他影响最深， 正是这两部著作引

11、导牛顿走上了 创立微积分之路。1665年 8 月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡 躲避瘟疫的两年， 竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。 制定微积分， 发现 万有引力和颜色理论，,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图， 都 是在这两年描绘的。流数术的初建 牛顿对微积分问题的研究始于 1664 年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何 学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。 说在 此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。1665 年夏至 1667 年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取 得了突破性进展。 据他自述， 1665年 11月发明“正流

12、数术” （微分法） ， 次年 5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年 10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论（ Tract on Fluxions ）著称，当时虽未正式发表， 但在同事中传阅。 流数简论（以 下简称简论）是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论 反映了牛顿微积分的运动学背景。 该文事实上以速度形式引 进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在 简论中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体 A, B, C,在同一时刻内描画线段x, y ,z， 已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度 p, q, r，的关系

13、。（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比的关系方程式，求另一线段y。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。已知方程，牛顿分别以 和 代换方程中的x和y，然后利用二项式定理， 展开得消去和为零的项 ，得，以 o 除之，得这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略去这些无限小，得即所求的速度p与q的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法， 即 对多项式，问题（a）的解为对于问题（b）,牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是 逐步列出了标准算法。特别重要的是， 简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在简论 中是这样推导微

14、积分基本定理的：edacqbyxp=Ifg如上图，设ab=x, abc=y为已知曲线q=f (x)下的面积，作 de/ ab丄ad/ be=p=1。当线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面 积 abed=x，变化率；cb扫出面积厶abc=y，变化率，。由此得，这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。这就是微 积分基本定理。利用问题(b)的解法可求出面积y。作为例子，牛顿算出纵坐标为 曲线下的面积是 ；反之，纵坐标为 的 曲线真切线斜率为 。当然，简论中对微积分基本定理的论述并不能 算是现代意义下的严格证明。 牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给 出了不依赖于运动学的较为清楚的证

15、明。在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定 面积的变化率入手通过反微分计算面积。 前面讲过， 面积计算与求切线问 题的互逆关系， 以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出， 但牛顿却 能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来， 并 将其作为建立微积分普遍算法的基础。 正如牛顿本人在 流数简论 中所 说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古 希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、 反流数术亦即微分与积分， 并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一 步统一成整体。 这是他超越前人的功绩， 正是在这样的意义下，

16、我们说牛 顿发明了微积分。在流数简论的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线 切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等 16类问题， 展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。流数术的发展流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛 顿于 1667 年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10 月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分 方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到 1693 年大约四分之一世纪的时间里， 牛顿始终不渝努力改进、 完善自己的微积 分学说，先后定成了三篇微积分论文，它们分别是：（ 1）运用无限

17、多项方程的分析 （ DeAnalysi per Aequationes NumeroTerminorum Infinitas ，简称分析学，完成于 1669 年）；（ 2）流数法与无穷级数（ Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum ，简称流数法，完成于 1671 年）；（3）曲线求积术（Tractatus de Quadratura Curvarum,简称求 积术，完成于 1691 年）。这三篇论文, 反映了牛顿微积分学说的发展过程, 并且可以看到, 牛顿对 于微积分的基础先后给出了不同的解释。第一篇分析学是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而

18、作。 1668 年苏格兰学者麦卡托 （ N.Mercator ）发表了对数级数的结果, 这促使牛顿 公布自己关于无穷级数的成果。 分析学利用这些无穷级数来计算流数、 积分以及解方程等, 因此分析学 体现了牛顿的微保健与无穷级数紧密 结合的特点。关于微积分本身, 分析学有简短的说明。论文一开始就 叙述了计算曲线 下面积的法则。设有 表示的曲线,牛顿论证所求面积 为。牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为0,以 代x, 代 z ,则 用二项式定理展示后以 0除两边,略去 0的项,即得 。反过来就知曲线 下 的面积是 。牛顿接着给出了另一条法则：若 y 值是若干项之和,那么所 求面积就是由

19、其中每一项得到的面积之和,这相当于逐项积分定理。由上述可知,牛顿分析学以无限小增量“瞬”为基本概念,但却回避 了流数简论 中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量, 有时 直截了当令为零,从而带上了浓厚的不可分量色彩。第二篇论文流数法可以看作是 1666 年流数简论的直接发展。牛 顿在其中又恢复了运动学观点, 但对以物体速度为原形的流数概念作了进 一步提炼,并首次正式命名为“流数”（ fluxi0n ）。牛顿后来对流数 法中的流数概念作了如下解释：“我把时间看作是连续的流动或增长,而其他量则随着时间而连续增长, 我从时间的流动性出发, 把所有其他量的增长速度称之为流数, 又从时间 的瞬息性

20、出发,把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬”流数法以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为：已知表示量的流数间的关系的方程， 求流量间的关系” 流数语言的使用，使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功。无论是分析学还是流数法都是以无限小量作为微积分算法的谁基 础，所不同的是：在流数法中变量 x， y 的瞬 ， 随时间瞬 o 而连续 变化；而在分析学中变量 x， y 的瞬则是某种不依赖于时间的固定的 无限小微元。大约到 17世纪 80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上 发生了新的变革， 这就是“首末比方法”的提出。 首末比法最先以几何形 式在自然哲学的数学原理 一书中发布， 其详尽

21、的分析表述则是在其第 三篇微积分论文曲线求积术中给出的。曲线求积术 是牛顿最成熟的微积分著述。 牛顿在其中改变了对无限小 量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬 o 的做法：“在数学中， 最微小的误差也不能忽略。在这里，我认为数学的量不是由非常小的 部分组成的， 而是用连续的运动来描述”。 在此基础上定义了流数概念之 后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成 的流量的增量比。 确切地说， 它们构成增量的最初比”。 牛顿接着借助于 几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。 他举例说明自己的新方 法如下： 为了求 的流数，设 x 变为 ， 则变为，构成两变化的“最初

22、比”：，然后“设增量0消逝，它们的最终比就是”，这也是x的流数与的流 数之比。这就是所谓“首末比方法”， 它相当于求函数自变量与因变量变化之比的 极限，因而成为极限方法的先导。牛顿在曲线求积术中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号： ， 表示变量 x， y， z 的一次流数（导数）， ， 表示二次流数， ， 表示三次流数，等等。牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。 除了两篇光学著作， 他的大多数 菱都是经朋友再三催促才拿出来发表。 上述三篇论文发表都很晚， 其中最 先发表的是最后一篇曲线求积术，1704年载于光学附录；分析学发表于 1711 年；而流数法则迟至 1736 年才正式发表，当时牛

23、 顿已去世。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在 1687 年出版的力学名 著自然哲学的数学原理（ Philosophiae naturalis principia mathematica ，以下简称原理）之中，因此原理也成为数学史上 的划时代著作。原理与微积分 原理中并没有明显的分析形式的微积分， 整部著作是以综合几何的语 言写成的。但牛顿在第一卷第 1 章开头部分通过一组引理（共 11 条）建 立了“首末比法”， 这正是他后来在 曲线求积术 中作为流数运算基础 而重新提出的方法，不过在原理中，首末比方法本身也强烈地诉诸几 何直观。第一卷引理 1：“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，

24、并在 该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终也变为相 等”，可以看作是初步的极限定义。 在随后的引理中牛顿便借极限过程来 定义曲边形的面积：如图6.6，在曲线acE与直线Aa, AE所围成的图形 AacE中内接任意个数的矩形 Ab, Be, Cd,，同时作矫形akbl , bLem, eMdn。牛顿首先设所有的底 AB, BC CD DE皆相等，证明了“当 这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时 内接形 AkbLcMdD 外接形AalbmcndoE与曲线abcdE相互的最终比是等量比”。然后指出当 矩形之宽互不相等（如图设最大宽度为 AF）但都无限缩小时，上述最终 比仍是等

25、量比。牛顿还证明书了：给定曲线弧 以及相应的弦和切线段 当点A与B “相接近而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”等等。MdoAB F CDEaKLcnl f牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评 并意识到争论的焦点将在于“最 终比”概念 于是在前述引理的评注中对什么是“最终比”作了进一步说 明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比 而是无限减小的量之比所 趋向的极限。 它们无限接近这个极限 其差可小于任意给定的数 但却永 远不会超过它 并且在这些量无限减小之间也不会达到它。” 尽管原理表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向 但并不意味 着牛顿完全摒弃无限小观点。 在第二卷第 2

26、 章中 人们可以看到无限小瞬 方法的陈述：“任何生成量（ genitum ）的瞬 等于生成经的各边的瞬乘 以这些边的幂指数及系数并逐项相加。 ”此处所谓“生成量” 即函数概 念的雏形。牛顿说明这类量的例子有“积、商、根、”等，并把它们 看成是“变化的和不定的”； 生成量的瞬则是指函数的微分。 因此上述陈 述实际上相当于一些微分运算法则。例如牛顿分别以 a b c 表示任意量A, B, C,的瞬，他证明了 AB的瞬等于，的瞬等于，的瞬等 于，一般幕 的瞬等于，等等。原理在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬， 这种做法常常被认为 自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格时，坚持 对

27、微积分基础给出不同解释， 说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃 洞察和谨慎态度。原理被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。 全书从三条基本的 力学定律出发， 运用微积分工具， 严格地推导证明了包括开普勒行星运动 三大定律、 万有引力定律等在内有一系列结论， 并且还将微积分应用于流 体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具 的威力。原理中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、 证明，但正如牛 顿本人后来解释的那样： 发现原理中的绝大多数命题是依靠使用了“新分 析法”，然后再“综合地证明”。事实上，我们在前面已经看到，牛顿发 明微积分主要是依靠了高度的归纳算法的能力。

28、 并没有多少综合几何的背 景。他 1664 年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩 不佳差一点未能通过。 而几乎是在同时， 他开始研究微积分并在不到一年 的时间里就做了邮基本发现。 牛顿后来才重新钻研了巴罗译注的几何 原 本，弥补了这方面的不足，其结果是原理中的力学综合体系。然而 就数学而言，牛顿在原理中给微积分披上的几何外衣，使他的流数术 显得僵硬呆板。 固守牛顿的几何形式， 在 18世纪阻碍了英国数学的发展。牛顿的科学贡献是多方面的。在数学上，除了微积分，他的代数名著普 遍算术，包含了方程论的许多重要成果，如虚数根必成对出现、笛卡儿 符号法则的推广、 根与系数的幂和公式等等；

29、 他的几何杰作 三次曲线枚 举，首创对三次曲线的整体分类研究，是解析几何发展新的一页；在数 值分析领域，今天任何一本教程都不能不提到牛顿的名字： 牛顿迭代法(牛 顿拉弗森公式)、牛顿格列高里公式、 牛顿斯特林公式、 ； 牛顿还是几何概率的最早研究者。牛顿是一位科学巨人， 但他有一次在谈到自己的光学发现时却说： “如果 我看得更远些， 那是因为我站在巨人的肩膀上”。 还有一次， 当别人问他 是怎样作出自己的科学发现时， 他的回答是：“心里总是装着研究的问题， 等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明！ ”据他的助手回忆， 牛 顿往往一天伏案 18 小时左右，仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口

30、 未动。偶尔去食堂用餐，出门便陷入思考，兜个圈子又回到住所 . 惠威尔(W.Whewel)在归纳科学史中写道：“除了顽强的毅力和失眠的习 惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别”可能是由于早年经历所致， 牛顿性格沉郁内向， 不善在公众场合表述思想， 但这却并没有影响他后来出任伦敦造币局局长和皇家学会连选连任， 领导 这个最高学术机构长达四分之一世纪。牛顿终身未婚，晚年由外甥女凯瑟琳协助管家。牛顿的许多言论、轶闻， 就是靠凯瑟琳和她的丈夫康杜德的记录留传下来的。 家喻户晓的苹果落地 与万有引力的故事， 就是凯瑟琳告诉法国哲学家伏尔泰并被后者写进 牛 顿哲学原理一书中。牛顿 1727 年因患肺炎与痛风而逝世，葬于威斯特敏斯特大教堂。当时参 加了葬礼的伏尔泰亲眼目睹英国的大人物争抬牛顿的灵柩而无限感叹。 剑 桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身雕像。 牛顿去世后， 外甥女凯瑟琳夫 妇在亲属们围绕遗产的纠纷中不惜代价保存了牛顿的手稿。 现存牛顿手稿 中，仅数学部分就达 5000 多页。6）牛顿与莱布尼茨牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人。 就微积分的创立而言， 尽管在背景、 方法和形式上存在差异、 各有特色， 但二者的功绩是相当的。 他们都使微 积分成为能普遍适用的算法， 同时又都将面积、 体积及相当的问题归结为 反切线（微分）运算。应该说，微积分能成为独立的科学