带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

1、 入射点 入射方向 入射速度大 ： 1 出射点 1=1 : ! - 出射方向 = 类型 已知参量 类型一 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 入射点、出射点 类型四 入射方向、出射方向 类型五 入射方向、速度大小；出射方向、速度 大小； 类型六 入射点、出射方向；出射点，入射方向 （即轨道半径不确定） 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定 *片 * *片 * * I X B X* L 十？ 【分析】粒子初速度方向已知, 故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上 （如图甲）， 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解

2、题技巧 带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有 入射点、入射 速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速 度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表 ），磁场方向在一般问 题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按 已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。 所有这些问题，其通用解法是：第一 步，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步, 按一定顺序 尽可能多

3、地作不同圆心对应的轨 迹圆（一般至少5画个轨迹圆），第三步, 根据所作的图和题设条件， 找出临界轨迹圆， 从而抓住解题的关键点。 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例1】如图所示，长为 L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁 感应强度为B,板间距离也为L,板不带电现有质量为 m、电荷量为q的带正 电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A 使粒子的速度 vBm c 使粒子的速度vBmLd 使粒子的速度BqvwBrnL 在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如

4、图乙），其中轨迹圆和为临界轨迹 圆。轨道半径小于轨迹圆或大于轨迹圆的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。 图甲 图乙 X X ： - II X X : X X : * * X X i、 X X i )djc 线（即y轴）上取不同点为圆心, 半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲） ，其中轨迹圆与直线x=a 相切，为能打到y轴上的粒子中轨道半径最大的; 若粒子轨道半径大于轨迹圆 由对称性 在；xa的区域内的轨迹圆圆心均在在 X ； *!y 半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆 ，粒子将进入xa的区域, 不同点为圆心 迹圆 X 为题目所要求 評直线上，在 图甲 图乙 【解答】 AB 2

5、22 粒子擦着板从右边穿出时，圆心在 0点，有ri = L + （ri ）, 得1 = 4 由ri = 罟，得 vi= 54m，所以 v5BmL时粒子能从右边穿出 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在0点，有 2= L 由2=罟2，得V2=，所以V0, 0 x0, xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内 的磁感应强度大小均为 B。在0点处有一小孔，一束质量为 m、带电 量为q （q0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平 荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之 间的各种数值已知速度最大的粒子在0 xa的区域中运动的时间之比为 2： 5,在磁场中运动的总时间为

6、 7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为 B的匀强磁场中作圆周运动 的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。 【分析】 粒子在0 xa的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直 【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从 2a 到 X = 2a 【解答】粒子在磁感应强度为 B的匀强磁场中运动半径为: Q qB 速度小的粒子将在 xa的区域走完半圆，射到竖直屏 上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a,屏上发亮的 范围从0到2a。 轨道半径大于 a的粒子开始进入右侧磁场，考虑 r=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与 x轴在D点相切

7、（虚 线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。 速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆 弧组成，圆心分别为C和C，C在y轴上，有对称性可知C 在x=2a直线上。 设t1为粒子在0 xa的区域中运动的时间, T5T t1 612 .OCM =60；. M C 60 由此解得：ti ti A ” 1 0 所以.NCP =150 -60 -90 因此，圆心C在x轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为R,有直角LCOC可得 R a 3 2Rsi n60 =2a 由题意可知 由图可知0P=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件 所有在xa的区

8、域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上， x=a。 从而造成在xa的区域内的作图困难；另一方面，在xa的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆半径开 始取值，致使轨迹圆未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为 类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上一一所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以r = mv为半径的圆 qB 【例2】如图所示，在0Wxa 0WyF范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为 B。 2 坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为q的带 正电粒子，

9、它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向 的夹角分布在0900范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2 到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中 做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 （1）速度的大小； 速度方向与y轴正方向夹角的正弦。 【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径 r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经 过入射点0,入射点0到任一圆心的距离均为 r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆” 一一以入射点 0为圆心、r为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起一一取“

10、圆 心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹 对应弦长大于轨迹 对应弦 长一一半径一定、圆心角都较小时（均小于 180 ）弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长 R =(2 - v =(2 - ,sin 【解答】设粒子的发射速度为 v, 图甲图乙 6- .6 二二 10 粒子做圆周运动的轨道半径为 R,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得: 2 qvB = m * , 解得：R = mV RqB 当a/2R 1 X X X X （2）假设粒子源发射的粒子在0180范围内均匀分布，此时刻仍在 1 1 磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； d P 应粒子在磁场中运动

11、时间最长。这类题作图要讲一个小技巧 -b c （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。 按粒子偏转方向移动圆心作图。 【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于 小为B,沿x轴放置一个垂直于 x0y平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏比 x0y平面向外，大 上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大 * a 小不等的速度放射出质里为m、电何里+q的冋种粒子，这些粒子打到荧光 屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知 0A = 0P= l，求： (1 )若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？ * (2 )若能打到P点, 则粒子在磁场

12、中运动的最长时间为多少? Onpu 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得 2兀2 Bqv = m（ 一） R , T q 二 O m 6Bt0 依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到 0点距离相等。在to时刻仍在磁场中的粒子应位于以 园心，Op为半径的弧pw上。 由图知 5兀 乙pOw = 6 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6 (3)在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界 .日5 sin 24 12arcs in Lt b点相交，设此 粒子运动轨迹对应的圆心角为 在磁场中运动的最长时间 0,则 Y a 125 t =( arcs in)t0。 4 【易错提

13、醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹经过c点，认为轨迹 对应弦长等于轨迹对应弦长，于是将轨迹对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然 计算出来结果正确，但依据错误。 类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小(即未知半径大小)和方向 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。 所以从粒子发射到全部离开所用时间为 【分析】粒子既经过 A点又经过P点，因此 AP连线为粒子轨迹圆的 一条弦，圆心必在该弦的中垂线0M上(如图甲) 。在0M上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为 半径由小到大作出一系列圆 (如图乙)，其中轨迹对应半径最小，而轨迹 对应粒子是0i点上

14、方轨道半 径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。 v时，其在磁场中的运 【解答】(1)粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为 2 动半径为R，则由牛顿第二定律有: v qBv= m R 若粒子以最小的速度到达 P点时，其轨迹 则粒子的最小速度 2qBl v = 2m (2)粒子在磁场中的运动周期T= R= Sap 卫l Ji 2 nm 2 2 * qB 0 AP为直径的圆(如图中圆Oi所示)由几何关系知: r曰【、I 疋疋以 由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆 3 6 = n 2 上，则由几何关系有: 设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为 m 0,则

15、粒子在磁场中的运动时间为：t=T = 2 n qB O2所示，此时粒子的初速度方向竖直向 则粒子在磁场中运动的最长时间: C对称的两点 Oi、O2为圆心过0、P作 .3 nm t = 2qB 【练习3】图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间 存在一磁感强度为 B的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O是MN上的一点，从 O点可 以向磁场区域发射电量为 +q，质量为m,速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可 在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇.P到O的 距离为L,不计重力及粒子间的相互作用 . (1 )求所考察的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这

16、两个粒子从 O点射入磁场的时间间隔. 【分析】如图甲，作OP连线中垂线，然后在中垂线上取关于 出两个轨迹圆 ，如图乙所示。保留相遇前轨迹如图丙所示。 【答案】 (1 R mv ,(2) qB 4mLqBx arccos( ) qB2mv M M 图甲图乙 M mv qB 【解答】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R,由牛顿第二 定律得 2 v qvB 二 m ， R （2）如图所示，以 OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆 心分别为Oi、O2,过O点的直径分别为 OOiQi、OO2Q2，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的 射入方向，用B表示它们之间

17、的夹角。由几何关系可知， POiQi =/PO2Q2 = ”，从O点射入到相遇, 粒子i的路程为半个圆周加弧长 QiP=R0,粒子2的路程为半个圆周减弧长 PQ2=R0 粒子1的运动时间为 1 R6 t1T，其中T为圆周运动的周期。 2 v 粒子2运动的时间为 t 1 T R t2 T - 2v 、一R& 两粒子射入的时间间隔为=t = ti -上2 =2 - v 日 L 因为 Rc o s : 2 2 =2 arccos L 2R 有上述算式可解得 -t = 4m ar cc qB 类型四：已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小 （即未知轨道半径大小） 这类问题的特点是：所有轨迹

18、圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。 【例4】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度大小为 B.个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点 开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30 （如图所示），已知P到0的距 离为L,不计重力的影响。 （1 ）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可 能值； （2）若粒子速度大小为 v，试求该圆形磁场区域的最小面积。 6m QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同 的点为圆心，由小到大作出一系0 的，其对应的粒子速度也最大。 屈械迹

19、圆（如图乙），其中以C点为圆心 y 是可能的轨迹圆中半径最大 A A C Q O O 【分析】初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径） 相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线 图甲 图乙 【解答】过P点作末速度所在直线，交 x轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆 心必在 OPQ的角平分线QC上，如图甲所示。 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第 二定律，有 2 v qvB = m一 r mv r qB 由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度 最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的

20、C点。 （1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ 相切于A点。 由几何关系有 0Q= Lan 30 n=OQta n30 % 由、求得 qBL v = 3m (2)将v =豐代入式，可得D 6m =6，粒子的运动轨迹是 如图丁所示的轨迹圆 ，该轨迹圆与x轴相切于D点、与 PQ相切 于E点。连接DE,由几何关系可知 DE - 3r2 由于D点、E点必须在磁场内，即线段 DE在磁场内, 故可知 磁场面积最小时必定是以 DE为直径(如图丁中所示)。 即面积最 小的磁场半径为 则磁场的最小面积为 【练习4】如图所示, 沃心仔2煜 xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场. 一个质量为m

21、,带电荷量为+ q 的粒子从坐标原点 O以速度vo沿x轴正方向开始运动.当它经过图中虚线上的M(2,3a, a)点时，撤去电 场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y 轴负方向运动并再次经过M点.已知磁场方向垂直 xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为 B，不计粒子 的重力，试求： (1) 电场强度的大小； (2) N点的坐标； (3) 矩形磁场的最小面积. 【分析】粒子在电场中偏转后进入 MN右侧，初速度方向已知，另一方 面，粒子末速度由 N指向M。初速度、末速度所在直线交于点 M,过M点 作 NMP角平分线MO,粒子轨迹圆的圆心必在直

22、线 MO上。取其上一点 O为圆心作出轨迹圆(如图所示) 2 【答案】E二严 xN =2、3a Smin 2 2 4m v0 2 2 q b N I i I I i I i i I t M(2尽 【解答】 粒子从O到M做类平抛运动，设时间为 t，则有23a二v0t a =丄 2 m 为，则 设粒子运动到 2 mvo 6qa 点时速度为V，与x方向的夹 佳t 3 m 3 *VyVS t a n = V03 Vy v v0 vy 即二=30 2,3 一Vo N点离开磁 由题意知，粒子从 P点进入磁场，从 场，粒子在磁场中以 O点为圆心做匀速圆周运动，设 2 V qvB = m r 半径为R,则 解得

23、粒子做圆周运动的半径为 ZqB mv 2、一 3mv0 3qB 1 由几何关系知，PMN =30 2 R 所以N点的纵坐标为 yNa tan 横坐标为 Xn = 2.3a 2mv0 + a qB 当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为 L2 二 R Rsin-3mV qB 4m2v0 Smin = Li L2= q b L5垮 所以矩形磁场的最小面积为 类型五：已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速 度方向平移一个半径距离的曲线上。 【例5】如图所示，长方形 abcd的长ad=0.

24、6m，宽ab=0.3m， O、e分别是ad、 bc的中点，以e为圆心eb为半径的圆弧和以 O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域 内有垂直纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场）磁感应强度B=0.25T。一群不计重 _7_3 力、质量 m=3X10 kg、电荷量q=+2 X10 C的带正电粒子以速度 v=5 Xl02m/s沿垂直 ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（） Oa边 ab边 A. B. C. D. 从Od边射入的粒子, 从aO边射入的粒子, 从Od边射入的粒子, 从ad边射人的粒子, 出射点全部分布在 出射点全部分布在 出射点分布在 出射点全部通过 X X X X B X 汗 【分析】所有进入磁场的粒子的入射点均在 ab边 b点 dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移一个半径 =mv 后 qB 得到曲线 Oaf,此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线, 在该曲线上从下到上取点作为圆心 f mv r =为半径作一系列轨迹圆，其中为从d点射入粒子的轨迹（圆心在0点）,为从0点射入粒子 qB 的轨迹（圆心在a点），为从a点射入粒子的轨迹，从 d、0之间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb 边界作直线运动最终汇聚于 b点，从0、a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易 【练习5】