第二章质点动力学习题解答

1、第2章质点动力学 2-1.如附图所示，质量均为m的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的 支持面C上。若突然撤去支持面 C,问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大? 解：在撤去支持面之前，A受重力和弹簧压力平衡 ， F弹 mg，B受支持面压力向上为 2mg，与重力和弹簧压 力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则 A:平衡，aA 0 ； B :不平衡，F合 2mg aB 2g。 2-2判断下列说法是否正确？说明理由。 （1）质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不 是向心力。 （2）质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。 解：（1）不正确。

2、不指向圆心的力的分量可为向心力。 （2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。 2-3如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人 在重力的方向上求合力，写出Tcos G 0。另有沿绳子拉力 T的方向求合力，写出 T Gcos0。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？ 解：T cos G 0正确，因物体在竖直方向上受力平 衡，物体速度竖直分量为 0，只在水平面内运动。 T G cos m 2r sin 。 T G cos 0不正确，因沿T方向，物体运动有分量， 必须考虑其中的一部分提供向心力。应为： 2-4已知一质量为 m的质点

3、在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与 质点离原点的距离 x的平方成反比，即 x 时的速 k 2， k为比例常数。设质点在 x 度为零，求x处的速度的大小。 4 解：由牛顿第二定律: ma， F dv一 m一。寻求v与x的关系，换元: dt dv dx m dx dt dv m v， dx 分离变量: vdv dx x v vdv 0 k xdx m x2 o A 当x 时，v 4 2-5如附图所示，一质量分布均匀的绳子，质量为 M，长度为L , 一端拴在转轴上，并以 恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转 解: df dm 2r 2r

4、dr T LL 2 df2r rr . 1 2 2 dr r 2 L 1 2；(L2 r2) 2 2 2 M (L r ) r 2 2L 2-6如图所示,已知两物体A、B的质量均为m = 3.0kg物体A以加速度a = 1.0 m/ s 2运 动,求物体B与桌面间的摩擦力.(滑轮与连接绳的质量不计) 习题2 6图 解：如图所示，分别对物体和滑轮作受力分析。 1 aA F T1 * aA mug 根据牛顿第二定律，运动方程为 mugFt mAaA(1) (3) FT1F f mBaB( 2) 因为mAmB Ft 2Ft1 0 m , FtFt , FT1FT1 , aB2a a，联立(1) (

5、2)( 3)式解得 Ff mg (m 4m) aA 2 7.2N 2 7 一质量为10 kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线运动，已知F = 120t + 40,式中 F的单位为N,t的单位的s.在t = 0时，质点位于x = 5.0 m处，其速度v0= 6.0 m/ s.求 质点在任意时刻的速度和位置. 解：质点作直线运动，根据牛顿第二定律，有 120t 40 mdv dt 分离变量并积分 vt ,dv0(12t 4)dt 2 得 v 6t 4t 6 由dx vdt，两边积分 xt2 50dx0(6t 4t 6)dt 得 x 2t3 2t2 6t 5 5.00 2-8质量为m的跳水运动员，从

6、10.0 m高台上由静止跳下落入水中高台距水面距离为 h.把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为 bv2 , 其中b为一常量.若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴. (1)求运动员在水中的速率v与y的函数关系； 如b /m = 0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率 v0的1/10 ?(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等) 习题2-8图 解：(1 )跳水运动员在入水前作自由落体运动，入水速度为v02gh，入水后根据牛顿 第二定律，运动方程为 mg F浮F阻 ma 即 bv2 dv m一 dt 因 dv

7、 dt dy dv v dt dy dv dy .2dv bv mv一 dy 分离变量并积分 y bdy 0 m v dv v0 v 得v vebym2ghe bym (2 )由上式代入已知条件得 5.76m mv In - bVo 2-9质量为45.0 kg的物体，由地面以初速60.0 m/ s竖直向上发射，物体受到空气的阻力为 Fr = kv,且 k = 0.03 N/( m/s ). （1）求物体发射到最大高度所需的时间. （2）最大高度为多少？ 解：（1）取竖直向上为y轴正方向，由牛顿第二定律，运动方程为 . dv mg kv m dt 分离变量，并积分 t dt 0 m dv vo

8、k mg k v t ml n 1 kv 6.11s k mg o (2 )由 mg kv dv m 一 dt dv mv dy 分离变量积分 ymax 0 dy m 0 i mgk dv k vomg k v ymax m叫i也 k kmg v0183m 2- 10如图所示，在光滑水平面上，放一质量为m的三棱柱A,它的斜面的倾角为，现把一 质量为m的滑块B放在三棱柱的光滑斜面上.试求：（1）三棱柱相对于地面的加速度；（2） 滑块相对于地面的加速度；（3）滑块与三棱柱之间的正压力。 F N1 mg 解:三棱柱A和滑块B受力如图，以三棱柱 A为参考系（非惯性系），应用牛顿第二定律, mgsin

9、ma A cosmaBA (1) mg cos FN1 maA sin0 (2) Fn1 sin m aA0 (3) F N1 F N1 (4) 以上四式联立解得 aA mgsin cos aBA 2 m msi n (m m)gsin 2 m msi n m mg cos m msi n 由加速度的矢量关系，得 F N1 aB gsin m 2(2m m m2)sin2 2 m msi n 与竖直向下方向的夹角 arctan屯 aBA si n arcta n 2- 11跳伞运动员与装备的质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞， 受空气的阻力与速率的 平方成正比，即 Fkv2。求跳伞员的运动速率

10、 v随时间t变化的规律和极限速率 Vt 。 解：由牛顿第二定律, 运动方程为 mg kv2 dv m一 dt 分离变量，并积分 t dt o dv 0 mg k v2 m Jmgk v .mg k v mg1 e2t mkg k 1 e 2t 丽 时，极限速率vT mg k m的小球 2- 12 一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为 正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的 高度。 解：小球受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为 Fn sin mRsin Fn cosmg 0 上两式消去Fn，求得 cos 小球运动水平面距离碗底

11、的高度为 h R(1 cos )R(1 2- 13在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为 m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳 子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。 习题2- 13图 解：小球A和B受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为 T sin 45maA Fna mg T cos45 0 mg T sin 45maB Fnb T cos 450 注意到T T , aB aA，上四式联立求得 F NA 2mg F NB 2 14如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为Vi，下落雨滴的速度方向偏于竖直方 向之前9角,速率为V2,若车后有一长方形物体，问车速V1为多大时，此物体正好不会被雨水 淋湿？ 解：以雨滴为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系。如图，V2为绝对速度，v1 为牵连速度，雨滴相对于汽车速度 V 2为相对速度。要使物体不会被雨水淋湿， V 2的方向应 满足 arctan-，由图可知 h v1 v2 sin arcta n v2 cos 即 v1 v2 sin丨 v2 cosh 所以 l cos v1 v2sin h 2 15 一飞机驾驶员想往正北方向航行 ，而风以60km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的 航速（在静止空气中的速率）为180km/h,试问驾驶员应取什么航向