常用微分公式

1、-3微分公式 (甲)基本函数的微分公式 / 八 dxnn 1X/cdVx1 (1)dx =nx ,n N。(2)x dxdx n dc dx =0,其中 c 为常数。(sinx)/=cosx (5)(cosx)/= sinx _ 1 1 1 另一种表示：(xn)/= nx 1(n x)/=nx 证明： 设a为f(x)= n x定义域中的任意点, 则 f /(a)=limf(xf) X a x a = lim=lim x a x ax a 1 1 . n(n a)n1 n 丿 n 设a为任意实数,f(x)=sinx sinx sina = 2sin_2 x ax a x a x a 2sinco

2、s 2 2 = lim ()=cosa。 x ax a f(x) f(a) x a 计算fa)= (1)(3)(5)自证 (Vx 1 . 1 n 1 ,n N。 (c)/=0 nJ n . r.： x a na)(n.x)n1 (nx)n 2 n a . 1 ) a x a cos 2 (na)n1 limf(xf) x a x a (乙)导数的四则运算 (1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数 d_d_d_、 且 dx(f(x)+g(x)= dx(f(x)+ dx(g(x)成立。 另一种表示:(f(x)+g(x)/=f /(x)+g/(x) 证明:令 h(x)

3、=f(x)+g(x),设a为h(x)定义域中的任一点 h/(a)= lim x a h(x) h x a g(x) f(a) g(a) x a =叫巴晋+咛)=怏严書)+代(狀 =f /(a)+g/(a) gia) a 例:求Vx)？ dx dx 推论：& (f1(X)+ f2(X)+、 +fn(x)=警 dx df2 (x) dx dfn(X) dx 设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数 且急吩沪機,特别c= 1时，忽f(x)=嚟。 /c、d 护f(X) g(X) df(x) dx 哑)，另一种表示：(f(x) g(x)/=f /(x) g/(x) dx dx(cifi(x)+

4、df2(x)+、 ddd +cnfn(x)= Cdx(f1(x)+C(f2(x)+ +C(fn(x) 例如：(1)dx (anxn+an ixn 1 + +a1x+ao) (2)(3x5 2x3+45 x )/ =？ f(x),g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数 .ddd 且 dx(f(x) g(x)= dx(f(x) g(x)+f(x) dx(g(x) 另一种表示：(f(x) g(x)/=f/(x) g(x)+f(x) g/(x) 证明： d 22 例如:试求一 (x x 3)(3x 2x 1) dx 下面我们要推导例2的一般情形： (a) 刍(fdx) f2(x) f3

5、(x) = f (归3&) f1(x)(x) f3(x) dxdxdx (b) d( f1f2fn) 並f2 fn什彳2 並(逐次轮流微分) dxdxdx (c) 如果 f1f2fnf ,则可得(f(x)n n(f(x)n1f dxdx 例如:试求(x2 2x 3)5的导数。 f1(X)f2(X)警 dx 例題1证明 dxr dx rxr 1, r Q 。 若f(x),g(x)在x=a可微分，且g(a) 0, 则 d ( f(x)f/(a)g(a) f (a)g/(a) 则嬴(丽)lxa丽产 因此可得：(丄凶)/f/(x)g(x) f2(x)g/(x) g(x)(g(x) 若 f(x)=1,W

6、(比卜-2 g/(x) g(x丿(g(x) x2 i 例如:试求一-的导函数。 x2 x 1 1 例如:求(x2+x+1)/= ？ dxr 例如:设r为负有理数证明rxr 1。 dx rx r 1。 结论:若设r为有理数,则乞 dx 例題2求下列各函数的导函数： (1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x 2)3(x2 1) (3)(x2+x+1)(4x3+x 4)(x+3) 3(x+1)2 x3(x 1)3 Ans:(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x 2)2(5x2 4x 3) (3)(2x+1)(4x3+x 4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)

7、+ (x2+x+1)(4x3+x 4) 3(3x2+2)(x+1)(x+5) (x3；2x+1)2 (5)(x 1)4 例題3请利用(sinxjJcosxlcosx)： sinx的结果证明： (tanx)/=sec?x,(se(x)/=secx tanx (練習1.)试求下列的导函数： (1)x3 6x2+7x 11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5 2323 An s:(1)3x2 12x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x) (3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1) (4

8、x) (3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2) (6x+1) 5(2x3+x+1)4 (6x2+1) (練習2.)求下列各函数的导函数。 3 x +x+13x11 二?(2)f(x)= 4322 2x4+2x3+7x2 4x+23x2+3 An s:(1)(2x2+x+3)2(2)(x2+3x+1)2 123x2 2 (3) (4x3+3x2+2x+1)2 (12x +6x+2)(4)(x3+2x+1)2 2 d csc x, (cscx) dx cscx cotx -J (練習3.)证明 一(cotx) dx (丙)连锁法则 (1)合成函数： (a) 设 f (x)x2 x 1, g(

9、y) 3 y ,则 g( f (x)3 x2 x 1。 x fx2 x 1 9 3 x2 x 1 ,(g f )(x)畅x1 所以(g f )(x)为x的函数。 (b) g f f g 连锁法则：既然(g f)(x)为x的函数，我们就可以讨论 (g f )(x) dx 例：设 f (x) x2 2,g(x) y3,则(g f )(x)g(f(x) (x2 2)3 利用(f (x)n n(f (x)n 1d凶,可得 dx (x22)3) dx dx 3(x 2) 2x = d g(y)|y x2 2 d() dydx 上式并不就是巧合，一般的情形亦就是如此 定理:(连锁法则 Chai n Rul

10、e) 若f(x),g(y)都就是可微分的函数，则合成函数(g f)(x)亦可微分， k厂 ddg(y)df (x)亠/ 而且二(g f )(x)|或(g f)/(x) g/(f(x)f/(x) dxdydx 例題4求(廿x2x 1)/? 般情形:n N ,f(x)可微分,求(nf (x)l? 例題 5求 f(x)=sin2x 的导函数。Ans:2sinx cosx 例題6求下列函数的导函数 3 f(x) tan X (2) f (x) csc5x x sec2 1 x2 (3) f (x) tan . 1 x2 2 2 Ans:(1)3tan x secx (2) 5csc5x cot5x 常

11、用微分公式 (練習4.)设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x)n的导函数。 An s: n(f(x)n 1 f /(x) d , 1 (練習 5.)求d(5 (x4 3x2x 5) = ？ Ans: (x4 3x2 x 5卢(4x3+6x 1) (練習 6.)务(x2 x 1)2 /? Ans: 3 Vx2 2(2x1) x 1 (練習7.)求下列各小题y/ (1) y xs inx (2)y cos3 x (4) y sinxcos4x (5) y . 1 sin2x 2 Ans:(1) sinx xcosx (2) 3cos xsinx 5cos(2x 1) (3

12、) 10si n(2x 1) sin xcosx (4) cosx cos4x 4sinxsin4x (5) v1 sin x (練習8.)计算下列各小题： 3x 1 (1)(x 2x 1 )/=? Ans: 2x 1 6x 23 =？ An s: 2p3x 5(3x 5) -仪2+1 求 f(x)= 3x+1 的导函数。 Ans:f /(x)= (3x+1)2 ,x2+1 x 1 (練習9.)设可微函数f(x)满足f(d)=x,则f /(0)= ? An s:2 例題7试求4 / ? (練習10.)试求4 x 的导函数 Ans:. 44 x3 (3x 1)5 (練習11.)求f(x)= 2x

13、 - x2 1的导函数 An s:f /(x)= 241x2 1 27 4 2 32 (練習 12.) f (x)4 2x x 1,求 f )= ? 1 3 1 2 1 例題8求斜率为2,而与曲线y=f(x)=x3 qx2+3相切之直线方程式。 Ans:4x 2y+3=0,2x y 3=0 1 (練習14.)求过曲线y=f(x)=x3+x2 2的点,而斜率最小的切线方程式。 4 An s:y+=( 1)(x+1) (練習15.)求通过y=x3 3x2 4x 1上x=1处之切线与法线方程式。 Ans:7x+y=0,x 7y 50=0 x2 1 (練習16.)函数f(x)=x2+x+1的图形上以(

14、0, 1)为切点的切线斜率为 。Ans:1 例題9设拋物线y=ax2+bx+c与直线7x y 8=0相切于点(2,6),而与直线x y+1=0相切, 求a,b,c之值。 Ans:a=3,b= 5,c=4 （85 日大 自然） 例題10直角坐标上,给定一曲线：y=x3 3x2，自点P(2, 5)向所作的切线方程式。 Ans:3x+y 1= 0,15x 4y 50=0 (練習17.)过原点且与曲线y=x3 3x2 1相切之直线方程式。Ans:y= 3x,y=4X。 (練習18.)设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1),且与直线x y=3相切于(2, 1)。求a,b,c之值 An s:a=3,b

15、= 11,c=9 例題11设a,b,c为实数,已知二曲线y=x2+ax+b与y= x3+c在点A(1, 2)处相切丄为两曲线在A 点的公切线，试求(1)a,b,c求L的方程式。 An s:(1)a= 5,b=2,c= 1 3x+y 1=0 (練習19.)拋物线：y=p(x)的对称轴平行于y轴且 与x轴交于点(2,0),并在x=1时与函数y=x4+1 的图形相切 试求 p(x)= ？ Ans:p(x)= 6x2+16x 8 (練習20.)求y=x3 3x,y=x3 3x+32两曲线的公切线方程式。Ans:9x y+16=0 综合练习 1.(1) y 3 3x 5 4x2 ，求娱? (2)f(x)

16、 jx，求 f 6=? (3)f(x)=x3(x3+5x)10,求 f /(x) A:労 2 2 3 3x 512x2 40 x 3 2 4 4x21 4 ：3 (2)丁 (3) x3 5x 9 33x5 65x3 2.求下列各函数的导函数:(1) f (x)3 (x2 Ans:(1) f (x) 10 x 3 (x21)2 3 f(x) x 2 1)5 (2) f(x) r)5 (3) f(x) x 1 24 10 x(x 2) 7277 (x 1) (2x 1)4 /25 (x 1) 常用微分公式 32 / 2 6 (x 1) (3)f(x) (2x 1)(8 10 x 12x) 3.试求

17、下列个函数的导函数：(1)f(x) sin. x f (x) f(x) 1 tan- x (6) f (x) tan2 x set? x cosx ( x )(3) f (x) 2 2 sin(x2 1) (5) f (x)sin2(x3) 2 sin x . 1 cos2 x (8) f (x) cosx Ans:(1) cos=x sin x q seV 丄 2xcos(x21) 2Jx 2jcosx x x (5) 6x2 sin(x3)cos(x3) (6)0 (7) sin 2：(8) sin xsec x sinx 2(1 cos x f (x) 4.设f (x) 13、5 10 .ax2 1 若 f /(1)=2,则 a=? 设 f (x)J-1，则 f /(2) =? Ans:(1)2 3x 5 5. 设 y u3 4 ,u x2 2x,求dy =? Ans:6x2(x 2)2(x 1) dx 6. 求f (x