2013年普通高等学校统一考试试题江苏卷

1、2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1.函数y 3sin （2x）的最小正周期为4【答案】n【解析】T二丨二丨二口3 I 1 212.设 z (2 i) 2i为虚数单位），则复数z的模为【答案】5O|【解析】Z二 3 4i,厂二- 1, z 二二 5.2 23 .双曲线- y1691的两条渐近线的方程为3【答案】y 3 x4【解析】令：1694 .集合 1,0,1共有个子集.【答案】8【解析】2】&n 1, a 2/输出n/I结束.（第5题）5右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是【答案】3【解析】n

2、二 1, a= 2, a= 4, n = 2; a= 10, n二 3; a= 2& n二 4.【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为:8990 9188 9290 .方差为：S (89 90)(90 90)2 2 2 2 2(91 90)(88 90)(92 90)运动员第-次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙89909188926 抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下:则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为【答案】2m, n7现在某类病毒记作 XmYn,其中正整数m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则都取到奇数的概率为5,

3、79共5种情况,【答案】2063【解析】ni取到奇数的有1, 3, 5,4 5 则m, n都取到奇数的概率为7共4种情况；n取到奇数的有1 , 3,20638 如图，在三棱柱ABGABC 中,的屮点，设三棱锥F体积为V2,则V : V2【答案】1: 24【解析】三棱遴匕为1: &F ADE与三棱锥Ai1： 3 所以,三棱锥F ADE与ABC的体积之比为D,ADE的体积为V又因三棱锥A】ABC与三棱柱AB】G三棱柱AiBiCiABC的体积之比为1：24.2（包含三角形内部和边界）.若9抛物线y x在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为点P （x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取

4、值范围是1【答案】2, 1 【解析】抛物线y x?在x 1处的切线易得为y二2x- 1,令z二xy,1画出可行域如下，易得过点 （0, 1）时，Zmin二2,过点（2 , 0）时，Zmax=y 二一 212X+ 2BE10 设D , E分别是若DE iAB ?AC （ 1, 2为实数），则12的值为【答案】1【解析】DE DB BE1 2 - -AB2312 一 A口 一“631BC1 AB2口1 9所以，6,3,12 2.11.已知f (x)是定义在R上的奇函数。当x 集用区间表示为【答案】(-5, 0) U (5,+s )2(BA AC)32AC2f (x) x 4x,则不等式f (x)

5、x的解【解析】做出f(x) x2 4x (x 0)的图像，如下图所示。由于f (x)是定义在R上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出xv 0的图像。不等式f(x) x,表示函数y二f (x)的图像在a dF，右准线为I，短轴的一个端点为 攻设原点到直线0),右焦点为BF的距离为d： , F到I的距离为d2,若&,6dj,则椭圆C的离心率为322a. ar解析】力口图.tx-d2 cCc积得：d!二。若c)2(一b?v6di,则=ac【答案】v60，解之得: 6b?0，两边同除以：a2 ,得：X16 丄(x 0 )图象上一动点,x,所以，离心率为:313.在平面直角坐标系xOy中，设定点A

6、(a, a), P是函数y若点P, A之间的最短距离为2、2,则满足条件的实数a的所有值为1a6 a? 3,则满足处 a22an a)a2 an 的【答案】1或，10【解析】14.在正项等比数列an中,a5最大正整数n的值为【答案】12【解析】设正项等比数列a*首项为弧公比为q,则:alql 2a&CI q) 3二2,an 二 26 n.记 Tnai a?an2n 1(n 1) nC 且2din2 2. Tnn,则25 , n(n 1) nIn2计2 29n,化简得：2n 122In? Un5时，n13.12112 当2 22n 二12 时,T|212,当咗时，寫13，故 nmax= 12、解

7、答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知I a=(cos , sin ), b (cos , sin ), 0(1 )若 a b 2,求证：a b ；(2)设 c (0, 1)，若 a b c,求，的值.解：(1) a一 b = (cos a一 cos 3 sin a一 sin 3,(cos a一 cos 3+(sin a一 sin 3)二 2 2(cos a cos 升 sin a sin3 = 2,所以，cos a- cos 升 sina sin 3= 0,cos cos 0 sin sin 1所

8、以，a b. r1 + 得：cos ( a 3 二一2 . 2所以，a 3_32a= + B,3带入得：.2sin(+3 + sin B=,31cos 供了 sin B= sin(一 +3 二所以，_+b二325所以，a=, B= 16.(本小题满分14分)AS AB,过A作如图，在三棱锥S ABC屮，平面SAB平面SBC , AB BC ,AF SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA, SC的屮点.求证:(1) 平面EFG 平面ABC ；(2) BC SA.证：因为SA二AB且AF丄SB所以F为SB的屮点.又E, G分别为SA SC的屮点，所以，EF/ AB, EG/ AC.又 ABA AC

9、= A, AB 面 SBC, AC 面 ABC,所 以，平面EFG/平面ABC .(2 )因为平面SABL平面SBC平面 SABA平面SBC= BC,AF 平面 ASB AF 丄 SB. 所以，AF丄平面SBC 又BC平面SBC所以，AF丄BC 又 AB 丄 BC, AFA AB= A,所以，BC丄平面SAB.又SA平面SAB,所以，BC SA.17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0, 3),直线1 : y 2x 4 . 设圆C的半径为1,圆心在I上.(1)若圆心C也在直线y x 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程(2)若圆C上存在点M,使MA 2M0,求圆心C

10、的横坐标a的取值范围.解：联立：y x 1，、v 2x 4设切线为：3k 3 2|r 1,得：k 0 or k故所求切线为：y 0or y(2)设点 M(x, y),由 MA2M0,知：疋厂3尸2/? v2化简得：x2 (y l)2 4 ,即：点M的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又 因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1 |CD|3,其中CD寸且2(2a 3)2 .18.(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行 到C，另一 种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C 现有甲、乙两位游客从A处下

11、山，甲 沿AC匀速步行，速度为50m/min .在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留lmin后，再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量，cos A 12 , cosC -.135(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)如图作BD丄CA于点D,设 BD= 20k,则 DC二 25k, AD- 48k,AB二 52k,由 AC= 63k 二 1260m ,知：AB二52k二 1040m .(

12、2)设乙出发x分钟后到达点M ,此时甲到达N点,9999AT + AN一 2 AM ANcosA二 7400则:AM 二 130x, AN二 50 (x + 2),(min)时,MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.其屮0wxw 8,当 x二一37(3)由(1)知：BC二 500m ,甲到C用时：126050 (min).若甲等乙3分钟，则乙到C用时：耳&5+ 3 二1412865 (min),在BC上用时：(min).此时乙的速度最小，且为:500 宁m/min .由余弦定理14000 x+ 10000.3520.此时乙的速度最大，且为:故乙步行的速度应控制在500 十罟二譽 m/min

13、.5141250625 范围内:4319.（本小题满分16nSn-2分）设办是首项为缶 公差为d的等差数列（d 0） , Sn是其前n项和记bnn N 其中c为实数.，n c 若c 0,且b, b2, b4成等比数 证明：Snk n2Sk (k, n列，N )；(2)若b J是等差数列，证明：c 0.、工 zn 社 n mil/Q n(n l)d 2a k(n l)d 2a证：右 c 0,则 an a (n 1), Sn ., bn1 2 2当,1: cb4成等比数列，b； bib4,%b2,bnj2 - , x (1,xx故：a1.g (x) ex a ,若 lw a we,则 g (x)

14、ex ao 在(1,) 恒成立，此时，g(x) ex ax在(1,)是单调增函数，无最小值，不合;)上是单调增函若* e，则g(x) ex ax在(1, In a)上是单调减函数，在(Ina,数gmin (x) g(lna),满足.故a的取值范围为：a e.(2) g (x) ex a o在(1, ) 恒成立，则a we,1 故：a w-.e1f (x) ax1(i)若 ov a w ,令 f1 ax(x 0).(x)1 o得增区间为(0,)； ea当 XT 0 时，f (x)令f (X)vo得减区间为，+s). ；当 XT + 8 时，f (x)Ta；11当 X二一时，f (-)二一Ina 10,当且仅当 aaa1二-时取等号.e1 1故：当*二