免费内部资料1221秋分数裂项.学生版.docx

1、家家学I名师网络小班 JIAJIAXUE.COM中小学名师网络小JM田壕幵定师2灯2补尢答孩 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 林提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分數裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或

2、多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔纳的 观.察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的題目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1) 对于分母可以写作两个因数来积的分数，即一!一形式的，这里我们把较小的数写在前面，即abt axb 那么有斗=亠(丄一 axb b a a b (2) 对于分母上为3个或4个连续自然数来积形式的分數，即： , 形式的，我们有： n X (/? + l)x (n + 2) n x (n + l)x (n + 2)x(n + 3) =- n x (n

3、+ l)x (/i + 2)2 zjx (n +1)(” + l)(n + 2) J=1_1 nx(n +1)x(n + 2)x(n + 3)3 nx(n + l)x(n + 2) (n + l)x(n + 2)x(n + 3) 裂差型裂项的三大关键特征： (1) 分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将X 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2) 分母上均为几个自然数的乘枳形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接 (3) 分母上几个因敷间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 八、a + ba b 1

4、1 川、a +b a2 b2 a b (1) =+= _ + (2) =+= - + - ab axb cixb b aaxb axb axb b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的, 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例1 11111 + 1x22x33x44x55x6 【巩圉】 10 x9 2 98 + 2 2 + 5x44x3 【巩困】1111 1 10 x1111x12 59x60 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版page 2 of 8 91 1 1 1 + + 4.1 I

5、1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 L. L. 1 + 2 + L +100 【例3 1 1 1 + + + L + 1 1x33x55x7 99x101 【巩固】计算: 25x丄+丄+丄+ L 11x3 3x55x7 251251 +十 4x8 8x12 251251 1 2000 x 20042004 x 2008 家家学I名师网络小班 JIAJIAXUE.COM I中小学名师网络小JM田坊幵宅师珂补尢答踐 1 2-2-1.分数裂项.题库学生版page 4 of 8 【巩圍计算: 3丄2丄 4 丄 5 丄 6 丄 7 丄1 25577x1111x1616x2222x29* 方一 【

6、例4 计算：（丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）如2 8244880120168224288 111 11111 【H 】一+ + + + + + + = 612203042567290 【巩固】 J +丄+丄+丄+丄+丄= 3610152128 【巩固计算: 丄_丄_丄_丄_丄_丄_丄_丄_丄 26122030425690 【巩固】 11111 + + + 104088154238 【例5】计算：侥+命+嘉硕島嚴 【例6】 討.5 +。“ 禺 3.75x3.2 *+丄+丄+ U 1535 0家家学I名師网络小班 JIAJIAXUE.OOME - 中小学名师网络小JW国络幵定师2灯2补尢备及 【

7、例7计算：4+呂+百+哙+L +2哙 1 2-2-1.分数裂项.题库学生版page 6 of 8 【巩固】计算: 200畤+ 2009占 + 201 + 2011 + 2012 【巩固计算: 11224 + + -t- + = 26153577 【巩固计算: 11111 1 1 一 + + + + + + 3 15 3563 99 143195 【巩固计算: 1+5 + ll +19 + 29+L +9701 + 9899 2612203097029900 1 1 _1_ 一 _1_ 1 1 1i L. 1x2x32x3x4 1 7x8x9 【例8 【巩固】计算: 1 + 1x2x3 2x3x

8、4 1 98x99x100 【巩固计算: 1 1 + 1x3x52x4x6 1 3x5x7 20 x22x24 【巩酊 侥+肩h+莎总h 扁丽 家家学I名师网络小班 JIAJIAXUE.COME J 中小学名师颇络小JW国壕幵宅师2灯补尢备孩 3 17x18x19x20 【例10计算: 5 1x2x3 7 2x3x4 + 19 8x9x10 【巩固】计算: 3x4x5 + L + 8x9x10 19 9x10 x11 【巩圃计算: 3+“+5 +l *12_ Ix2x4xi 2x3xix6 3x4x6x /10 x11x13x14 【例111 1总+三+ 9 2x3x4L xlO 【巩固】旦+

9、亠+亠+L +! 1x2x3 2x3x4 3x4x599x100 x101 9 + H+ Ix2x3x4 2x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10 【巩園】-+- Ix2x3x4 2x3x4x5 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版page 8 of 8 【例12】 1 2 + 1x21x2x3 Ix2x3x4 Ix2x3x4x5 Ix2x3x4x5x6 Ix2x3x4x5x6x 7 【巩町计伞f + L+益二 家家学I名师网络小班 JIAJIAXUE.OOME J 中小学名师网络小JM国場幵宅师2灯补尢备及 1 2-2-1.分数裂项.题库学生版page 10 of 8 【例

10、13 23 4 lx(l + 2) (l + 2)x(l + 2 + 3) (l + 2 + 3)x(l + 2 + 3 + 4) 50 (1 + 2 + 3 + L +49)x(l + 2+L +50) 【巩固】 lx(l + 2) * (l + 2)x(l + 2 + 3) + (l + 2 + 3)x(l + 2 + 3 + 4) + L 100 (1 + 2 + L +99)x(1 + 2 + L +100) 【巩町-15一(1+2)7 + 2 + 3)7 10 (1+2 + 3 + L +9)x(1 + 2 + 3 + L +10) 【例141亠亠亠亠 3-15-1719一 1 IT

11、-1 13-1 【巩固】计算:(I-)x(l-)x(l-)x(l-)xL x(l-)x(l-)= 【巩圃计算: 3 丄 5 丄 7 r x2- 2- x3- 3- x4-7x8 【巩固】计算: Ll + l + Ll + _ + 1993-4-11995-+ 1 3-15-17一119931199亍一 1 【巩固计算: P+32 22-1 + 二 3-14-1 98,+100： 99-1 【巩固】计算: 丄+工+丄+ L+一 1x3 3x55x799x101 囱家家学I名怖网络小班 JIAJIAXUE.COME * 中小学名肺网络小JW国垮幵定师2灯妨卜尢备孩 1 2-2-1.分数裂项.题库学

12、生版page 12 of 8 m 心 5 + 6 6+7 7 + 8 8 + 9 9+10 【例15】一+ 5x66x77x88x99x10 【巩固】 365791113 + + + + + + 57612203042 【巩固】计算: 132579101119 -H_+_ + _ +kkk一 = 3457820212435 【巩固】 12379111725 一 + _ + _ + _ + 一 + 一+一 + 一 3571220283042 【巩團】出+ 1 + 30 1 + 31 1 20 + + 4151 10 + 119 2638 + 120123 27 124 j35 49 63 77 91 105 3 + -1- LI 6 12 20 30 42 56 J 8 【巩固】 8 【巩固】计算： 9111315 + + 20 30 4256 1719 + 7290 【巩固】 【例 16 4+0+ 1x22x3 181 2+19219:+202 + 18x1919x20 0家家学I名师网络小班 JIAJIAXUE.OOM*中小学名歸网络小国逐幵定师2珂2补尢答疫 【巩固】(亠+_+.+_+_(+_+.+_) 1x20072x20062006 x 22007 x 12008 1x20062x20052006x1 1 2-2-1