测试技术基础习题答案-江征风

1、第二章部分题目答案 2-21求正弦信号 x(t) Asin(2 t) 的单边、双边频谱、 实频图、虚频图， T 如该信号延时 T /4 后，其各频谱如何变化？ 解： (1)由于 x(t) Asin( 2 t) A cos( 2 t ) ， 符合三角函数展开形式，则 在 处： An 1 ，所以，单边频谱图为图 1的 a)。 2 对 x(t) Asin( t) 进行复指数展开：由于 2 x(t) Asin( t) jA j2Tt j2 t T (e e 2 jA 2 jA 2 A， |C | A， ， |Cn | ， 22 AA ， |Cn | 22 所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分

2、别如图1 的 (b)、 所以，在 处： C T 2 在 处： T Cn ， CnR 0 ， ， CnR 0 ， CnI CnI (c)、 2 (d)、 (e)。 An A 02 T 2 T nR A 2 C CnI 2 T 20 T A 2 n 2 T 2 T A 2 |Cn| A 2 2 T (a)单边幅频图 双边相频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 2)当延迟 T/ 4后， x(t) 变为 x(t) Asin 2 T x(t) Asin (t ) Acos T4 展开形式，则 图1 正弦信号 (t T) ，由于 T4 T x(t)的频谱 2T 2 (t )

3、Acos t T4 2 T ，符合三角函数 在 T 处： An 1，所以，单边频谱图为图 2的( a)。 2T 对 x(t) Asin 2TT4 2A 由于 x(t) Acos( t) (e T2 2A 所以，在 2 处： CnA ， CnR T2 T 2 T 2 (t ) Asin( t ) Acos( t) 进行复指数展开， j2 tj2 t e A CnI0，|Cn| 2 ， n 2A 在 处： Cn， CnR T n 2 nR 所以，实频图、虚频图、双边幅频图、 2 ， CnI 0 ， 双边相频图分别如图 A |Cn | 2 ， n 2 的 (b)、 (c)、 (d)、 (e)。 An

4、 CnR CnI |Cn| 2 2 A A T T 2 2 0 A A 2 02 2 0 2 2 2 T T T A 2 T n 2 0 2 T T 虚频图 (c) (a)单边幅频图 双边相频图 (b) 实频图 (d) )双边幅频图 (e) 图 2 正弦信号 x(t) 延迟后的频谱 2-22已知方波的傅立叶级数展开式为 f(t) 4A0 11 cos 0t cos3 0t cos5 0t 0 3 0 5 0 求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。 4A 解：均值 a0 =0；该方波各谐波的频率分别为0、3 0 、5 0 ；对应的幅值分别为0 4A0 4A0 n1 ，即 4

5、A( 1) 2 ,n 1,3,5,. ，该方波的单边幅频谱图如图 3所示。 n An 4A 4A 3 4A 4A4A 54A 79. 0 0 3 0 50 70 90 . 图 3 方波的单边幅频谱 2-23 冲函数的卷积 )。 试求图 2.55所示信号的频谱函数 (提示：可将 f(t) 看成矩形窗函数与 (t 2)、 (t 2)脉 解： (t+2) 的卷积： w(t) 01 tt 11 0t1 即， f(t) w(t)* (t 2) (t 2)而w(t) W(jf ) 2sinC(2 f ) ，根据时移特性： (t 2) ej2f2； (t 2) e j2f2 则 f (t) 的频谱函数为：

6、f(t) w(t)* (t 2) (t 2) W(jf) F( (t 2) F( (t 2) 2sinC(2 f) (ej2f2 e j2f2) 2sinC(2 f) (ej4f e j4f) 2-24一时间函数 f (t )及其频谱函数图如图 2.56 所示，已知函数 x(t) f(t)cos 0t 设 0 m m为f (t)中最高频率分量的角频率 ，试出 x(t)和x(t)的双边幅频谱 X(j )的示意 图形，当 0 m时， X( j ) 的图形会出现什么样的情况？ 11 |F(0)|表示把 | F( ) |的图形搬移到 11 |F(0)|表示把 | F( ) |的图形搬移到 22 由于

7、x1 (t) 的频谱图用双边幅频图表示，所以 1 0 处，图形的最大幅值为|F( ) | ； 1 0 处，图形的最大幅值为 |F( ) | ； 2 x(t) 的双边幅频图 | X(j ) | 如图 4(c)所示，当 (a) f (t) 的时域波形 (b) f (t) 的频谱 图 2.56 f (t) 的时域波形及其频谱 解：令 x1(t) cos 0t，则 x(t) f(t)x1(t)，即为 f(t) 和cos 0t的乘积，所以其图形如图 4(a)所 示。 若x1(t) X1(j )，f(t) F(j )，则 x(t) f(t)x1(t)X(j ) X1(j )*F(j ) 由于 X1(j )

8、 11 F(0 ) 表示把 F( ) 的图形搬移到 0 处，图形的最大幅值为 F( ) ； 22 111 F(0 ) 表示把 F( ) 的图形搬移到0 处，图形的最大幅值为F( ) ； 222 ( 0) (0) ，其双边幅频图如图 4(b)所示。 2 根据 x1(t)x2(t) X1(j )* X2(j )，则 1 X(j ) X1(j )*F(j ) 12 (0)(0)*F(j ) 根据 x(j )* (j ) x(j )，x()*(0)x( 0) 和x()*(0) x(0) 则 11 X(j ) X1(j )*F(j ) (0)(0)* F(j )F(0) F(0) 22 11 |X(j

9、)| |X1(j )|*F(j ) 2| (0)| | (0)|*F(j ) 2|F( 0)| |F( 0)| 0 m时， x(t )的双边幅频图 | X(j ) |如图 4(d)所示。 |X( j )| |F( j )| |F(j ) | 2 2 0 ( 0 m) 0 0 m 0 (c) x(t) 的频谱 | X1(j ) | 1 1 2 2 00 0 (b) x1(t) cos 0t 的频谱 | X(j ) | | F( j )| |F( j )| 2 2 0 00 (d) 0 m 时， x(t) 的频谱 图 4 习题 2-23 的示意图 2-25图 2.57 所示周期三角波的数学表达式为

10、 4A At T A 4At T x(t) Tt0 2 0tT 2 求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。 图 2.57 周期性三角波 解：周期三角波的傅立叶级数展开式为： x(t) 8A2 (cos 0t 12 cos3 0t 12 cos5 0t) 35 其单边频谱图如图 5 所示。 An 8A 2 2 8A 8A 32 252 2 3 05 0 8A 7 2 2 70 0 0 3 0 5 0 7 0 (a) 幅频图 (b) 相频图 图 5 周期性三角波的频谱 补充：画出 cos 0t、sin 0t 复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验 证是否满足信号的时移定理。

11、 解： cos 0t 1 e j 0t ej 0t 2 1 在 0 处： Cn， CnR 02 1， 2， 在 0 处： Cn CnR 1，C 2 1 1 nI0， |Cn | 2 ， n 0 1 CnI0， |Cn | 2 n0 1 CnR 1 CnI 1 |Cn| 1 n 2 2 2 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (b) 虚频图 (a) 实频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频 sin 0t j e j 0t e 2 在 0 处： Cn j 在 0 处： Cn j 0t 0， CnI 1， ， |Cn | 1 2 n2 0， CnI 1 ， |Cn | 图 6 n C

12、nR CnI CnR (a) 实频图 1 2 sin 0t cos( 0t 2) 在 0 处：相移： 在 0 处：相移： (b) 虚频图 cos 0 (t 20 ( 0)t0( 0) 0t00 20 |Cn | 1 1 2 2 00 0 2 0 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频 ，则 t0 20 有图 6 和 7 比较可知， sin 0t比 cos 0t在 0 、 0处的相移为 足信号的时移定理。 和 2 ，因此满 第三章部分题目答案 3-19 若压电式力传感器灵敏度为 90 pC/MPa ，电荷放大器的灵敏度为 0.05V/pC ，若压力 变化 25MPa ，为使记录笔在记录纸上的位移

13、不大于50mm ，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？ 解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2 和 S3，它们串联 后的总灵敏度为： S S1 S2 S3 y ，其中 S1=90 pC/MPa ，S2 0.05V/pC ， x=25MPa ， x y=50mm ，则 S3 y x S1 S2 50mm 4 mm 0.4444 mm 25MPa 90pC / MPa 0.05V / pC 9 V V 3-20 图 3.24 为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。 图 4.24 习题 3-20 图 解：第一个框图为一阶系统，由于 敏度为 3; 第二个框图的灵敏度为 7.3

14、; 6 6/ 2 15s 2 15/ 2s 1 3 7.5s 1 ，而 K s1 3 7.5 s 1 ，所以其灵 第三个框图为二阶系统，由于 K n2 s2 2 n sn2 3.3 n2 s2 2 n s n2 所以其灵敏度为 3.3； 系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3 7.33.3=72.27 。 3-21 由传递函数为 H1(s) 1.5 3.5s 0.5 和 H 2 (s) 2 s 100 n2 2 1.4 ns n 的两个环节，串联组成一个测 试系统，问此系统的总灵敏度是多少？ 解：显然， H1(s)和 H 2 (s)和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式

15、 的形式，则 H1(s) K s1 1.5 3.5s 0.5 7s 1 K=3 H2(s) K n2 s2 2 n sn2 100 n2 s2 1.4 nsn2 而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为 100 n2 s2 2 0.7 n sn2 3*100=300. K=100 3-22 用时间常数为 2s 的一阶装置测周期为 2s、4s 的正弦信号，试求周期为 4s 装置产生的幅 值误差和相位滞后量分别是 2s 装置的几倍？ 解：由题知，一阶装置的时间常数 =2，正弦信号周期为 2s 时， A( 1) 1 2 1 ( 1)2 1( 2 2T1) 1 1 (2 22 )2 0.1572 (

16、 1) arctan( 2 ) arctan(2 2 )80.97o T12 正弦信号周期为 4s 时， 1 A( 2)2 1 ( 2 )2 1 ( T2) 1 0.3033 1 (2 24 )2 arctan(2 2 ) 72.32o 4 ( 2 ) arctan( ) 解：由题知，一阶装置的时间常数 =2，输入信号的周期为 160s，最大幅值 1000 ，最小幅值 500 ， 则该装 1000 A( 1) 1000 置所指示 1000 的最大值为 500 1000 1 ( 1)2 996.93 500 A( 1)2 1 ( 1)2 500 T) 22 1 (2 160) 最 500 498

17、.465 22 1 (2 160)2 T2 由于 A(2)2， ( 2)72.320.8936，则周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后 A(1) ( 2)80.97 量分别是 2s装置的 2和 0.8936倍。 3-23 用时间常数为 2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s 作正 弦规律变化， 且温度在 500 1000范围内变化， 试求该装置所指示的最大值和最小值各是多 少？ 3-24 设用时间常数为 0.2s的一阶装置测量正弦信号： x(t)=sin4t+0.4sin40t (K=1)，试求其输出 信号。 解：由题知， 一阶装置的时间常数 =0.2，输入信号

18、x(t) 为正弦信号 x1(t)=sin4t 和 x2(t)=0.4sin40t 的叠加。 对 x1(t)：角频率 1=4，幅值 A1=1，初相位 1=0；则 11 A( 1 ) 2 2 0.78 1 ( 1)21 (0.2 4) 2 ( 1 ) arctan( 1 )arctan(0.2 4) 38.66o 其输出信号的幅值为： A( 1)*A 1=0.78*1=0.78 相位为： 2 1=(1) 2=(1)+ 1=-38.66o 其输出信号为： y1(t)=0.78sin(4t-38.66o) 对 x2(t) ：角频率 2=40，幅值 A2=0.4；则 11 A( 2 )2 2 0.124

19、 1 ( 2)21 (0.2 40)2 ( 2 ) arctan( 2 ) arctan(0.2 40) 82.875o 其输出信号的幅值为： A( 2)*A 2=0.124*0.4=0.05 相位为： 2 1=(1) 2= (1)+ 1=-82.875o 其输出信号为： y2(t)=0.496sin(4t-82.875o) 所以， x(t)为输入信号时，输出信号为： y(t)= y1(t)+ y2(t)= 0.78sin(4t-38.66o )+0.05sin(4t-82.875o ) 3-25 用一阶系统对 100Hz 正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5% 以内，则时间常数应 取多少？

20、如用具有该时间常数的同一系统作 50Hz 正弦信号的测试， 问此时的振幅误差和相位 差是多少？ 1解：(1) 因为 1 A( )，故当 | |5% 0.05时，即要求 1 A( )0.05，所以 1 2 1 1 0. 0 5。化简得 ( )2 1 2 1 0.108 ，则 ( )2 1 0.95 11 1.08 1.08 5.23 10 4s(2 分) 2 f 2 100s (2) 当作 50Hz信号测试时，有( 4 分) 11 11 2 ( )2 1 arctan( (2 f )2 1 ) ar ctfan ( 2 1 0.9868 1.32% (2 50 5.23 10 4 )2 1 )

21、arctan( 2 4 50 o5. 23 10 ) 9 19 50 3-26 已知某线性装置 A( ) 1 0.01 2 试求系统的输入信号 ( ) arctan0.1 ，现测得该系统稳态输出 y(t)=10sin(30t- 45)， 解：根据频率保持特性：输入信号的频率 1 x(t)。 =30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为： A( ) 2 0.3162 1 0.01 302 则输入信号的幅值和相位分别为： A=10/ A( )=10/0.3162=31.6256 则输入信号为： x(t)=31.6256sin(30t+26.5651o ) ( ) arctan(0.1 30) 71.

22、5 6 o5 1=2-()=-45o+71.565o=26.5651o 3-27 将温度计从 20的空气中突然插入 100的水中，若温度计的时间常数 =2.5s，则 2s 后的温度计指示值是多少？ 3-28 某测量装置的频率响应函数为 H( j ) ，试问： 1)该系统是什么系统 ? 2) 1 0.05 j 若输入周期信号 x(t) 2cos10t 0.8cos(100t 30 ) ，试求其稳态响应 y(t) 。 答: 1) 一阶系统， 2) 一阶系统 当 =10 时， 当 =100 时， : A( ) ( ) arctan( ) 1 ( ) 2 A( ) A(10) 0.8944 1 ( )

23、21 (0.05*10) 2 ( ) (10) arctan( ) arctan(10*0.05)26.57o 1 A( ) A(100) 0.1961 1 ( )2 1 (0.05*100) 2 ( ) (100) arctan( ) arctan(100*0.05)78.69o 所以， y(t) 2 A(10) cos(10t (10) 0.8A(100) cos(10t 300 (100) 1.78cos(10t 26.560) 0.156cos(10t 108.690 ) 3-29 用时间常数为 0.5 的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示 值的幅值误差小于 2

24、% ，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和 5s， 问幅值误差是多少？ 解：由题意可知 =0.5s, =|1-A(2 f)| 100 =(1-A(2 f) 100 2% 则 1 1 (0.5 2 f )2 0.02 , 即 f0.4 。当为半桥单臂时， K=1/4=0.25 ；当为半桥双臂时， K=1/2=0.5 ；当为全桥时， K=1 。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。 10 半桥双臂接法时， Uo K RUi K 2.5 10 3 Ui 0.5 2.5 10 3 10 12.5(mV ) R0 R 全桥法时， Uo KUi K 2.5 10 3 Ui 1 2.5

25、10 3 10 25(mV ) oR0 i i 图略。 5-23 以阻值 100 ，灵敏度 S=2 的电阻应变片与阻值 100 的固定电阻组成电桥，供桥电 压为 4V ，并假定负载电阻无穷大，当应变片上的应变分别为1和 1000 时，半桥单臂、 半桥双臂及全桥的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解： 1)应变为 1时， dR / R R / R S 2 1 10 6 2 10 6 半桥单臂时，输出电压：UoR1 Ui2 10 6U i2 10 6 4 0.002( mV ) o 4R0 i 44 半桥双臂时，输出电压：UoRU2 106Ui2 10 6 4 0.004( mV ) o 2R

26、0 22 R 全桥时，输出电压： UoUi 2 10 6 Ui 2 10 6 4 0.008(mV) o R0 i i 2)应变为 1000时， dR /R R / R S 2 1000 10 6 2 10 3 半桥单臂时，输出电压： 半桥双臂时，输出电压： R13 U i 3 4 1 U i 2 10 3 i 2 10 3 2(mV) 4R0 i 4 4 R 3 U i 3 4 3 i 2 10 3 4(mV) 22 全桥时，输出电压： U 半桥单臂、半桥双臂和全桥时， 5-24 设一滤波器的传递函数 U 2 10 3 2R0 R3 Ui 2 10 3 Ui R0 电桥的灵敏度分别为 H (

27、s)= 1 ， (1)试求上、下截止频率； (2)画出其幅频 0.0036s1 2 10 3 4 8(mV) Ui/4,Ui/2 和 Ui ，仅与输入电压有关。 特性示意图。 解：滤波器传递函数符合低通滤波器的传递函数形式，因此，该滤波器为一低通滤波器。其 中，0.0036。其下截止频率 fc1=0Hz ，上截止频率为： 44.2097 Hz。 2 2 g 图略。 5-25 如图 5.38 所示的周期性方波信号，让它通过一理想带通滤波器，该滤波器的增益为 fc2 1 1 0dB，带宽 B=30Hz ，中心频率 f020Hz，试求滤波器输出波形的幅频谱及均值x 。 解: 20lg x 0dB，则

28、 Ax A0 ，即滤波器的增益为 1。 A0 2 方波的周期为： T/2 1/ 24 ，所以T 1/12 ， 0 2 24 4A 1 1 周期性方波信号的三角函数展开为： y(t) (sin 0tsin3 0tsin5 0t) 35 带宽 B=30Hz ，中心频率 f020Hz，则 f0 fc1 fc2 20， B fc2 fc1 30 2 11 1 3 0 对于的频 率为： f 36 Hz。因此，滤波器仅能使得 y(t) 的基波输出，而高于基波的谐波被全部衰减掉。 解上述两式，则 fc2=35Hz ， fc1=5Hz 。而 0对于的频率为 故滤波器的输出为： 4A y(t) sin24 t 因此，输出波形的均值即为 0。 第六章部分题目答案 6-16