关于“一线三垂直”模型与 其在平面几何中的应用

1、 关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直 ”模型是 “一线三等角 ”模型的特殊情况，（关于 “一线三等角 ”模型详见 比例与相似高级教程 （六）：相似三角形的 “一线三等角 ”模型 ），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为 “一线三垂直 ”模型。“一线三垂直 ”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在 “变形 2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理 ”这里主要讨论有一对对

2、应边相等的情况。1】如图， 在等腰直角三角 abc 中， acb=rt ， ac=bc ，ae e，【于点例 形bd ce 于点 d ， ae=5cm ， bd=2cm ，则 de 的长为多少？ce- 【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性 质 ， ace cbd ， 于 是cd=ae=5cm ， ce=bd=2cm ， de=5-2=3 （ cm）【例 2】如图，在 abc 中， ca=cb ，点 d为 bc 中点， ce ad 于点 e ，交 ab 于点 f，连接 df 。求证： ad=cf+df.1 】相同，却不能照搬照抄。【解析】此题乍一看起来和【例从要证明的结

3、论来看，需要把cf 上。如图，过点b 作ad 这条线段 “转化 ”到直线g。则易证 acd cbg ，于是 ad=cg=cf+fgbg=cd=bd ， bf=bf ， dbf= gbf=45o ，；故 bdf bgf ，于是 fd=fg ，所以 ad=cf+df 。- 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直 ”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。【例 3】如图，在 abc 中， ab=ac ， bac=90o ，分别过 b，c 向过 a 点的直线作e， f。垂线，垂足分

4、别为a 的直线与斜边 bc 不相交时，求证： ef=eb+cf ；（ 1）如图 1，过点a 的直线与斜边 bc 相交时，其他条件不变，若 be=10 ， cf=3. 求（ 2）如图 2，过点ef 的长。caf；【提示】（1 ）图 1 是 “一线三 ”的基础模型， abe垂直是 “一线三垂直 ”4，和【例 1 】相同。的变形（2）图2【例 4 】如图，已知aebac 、 bd ，交于点 o，连接aeb=90o ，以 ab 为边向外作正方形 abcd ，连接中，eo 。若be=2 ， eo=32，求五边形 aebcd的面积。【解析】因为 abc= aeb=90o ，故构造 “一线三垂直 ”模型，如

5、图。- aob= aeb=90o ， a 、 e、 b、 o 四点共圆（详见题中的妙用（一）“四点共圆 ”在解）， beo= bao=45o ；同理 bpo= bco=45o ，故 eop 为等腰直角三角形； eo=32， ep=6 ， bp=4 ，根据勾股定理， ab2=16+4=20 ，即 s 正方形 abcd=20 ，s aeb=4 22=4 ， s 五边形 aebcd=20+4=24.- 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（三）【例5】已知abc 中， acb=90o ， ac=bc ， cd 为 ab 边上的中线，点 e 为 bc边上任意一点（不与 a、d、b 重合），

6、bf ce 于点 f，交 cd 于点 g，ah ce，交 ce 延长线于点 h ，交 cd 延长线于点 m 。求证：（ 1 ） cg=ae ；（ 2） de=dm 。（ 2 ）由 “一线三垂直”模型可知， ace= cbg ， bf=ch ， hcm= fbe ，又 bfe= chm=90o ， chm bfe ， be=cm ，从而 de=dm 。同时我们也应该注意到： acm cbe ；adm cde bdg ； ahe cfg ；dm=dg=de ； gem 为等腰直角三角形等。构造 “一线三垂直 ”模型，是作辅助线常用的一种手段。3， l2 到 l3 的距离角 abc 的直角顶点 c

7、在 l2 上，点 a 、 b 分别在l1 、 l3 上。求 abc 的面积。【提示】过点 c 作 l2 的垂线，分别交 l1 和 l3 于点 d 、 e ，构造 “一线三垂直 ”模型，则 cd=3 ， ad=ce=4 ， ac=5.- 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四）【例 7 】（ 2018初二希望杯练习题）如图，四边形abcd 为直角梯形， ad bc ，bcd=90o ，ab=bc+ad ， dac=45 o ，e 为 cd 上一点， 且 bae=45 o ，若 cd=4 ，求 abe 的面积。【解析】如图，过点 e 作 eg ae ，交 ab 延长线于点dc 延长线于

8、点 h ，构造 “一线三垂直 ”模gk bc过点 b 作型；过点g 作bfad 于点 f。 de=ch ，故四边形为正方形。af=4-bc ， ab=4+bc ， bf=4，（ 4+bc ） 2=（ 4-bc ） 2+42，解得： bc=1 ，所以 ab=5 ；设 de=x ，则 bk=1-x ， gk=x ， ae2=x2+42 aeg 为等腰直角三角形， ag2 =2ae2 ，（5+bg ） 2=2 （ x2+42），将 bg 代入，化简得：（7x-4 ） 2=0 ， x=4/7 ， abe 面积 = 梯形 abcd面积 - ade 面 - bce 面积积=（ 1+4 ） 42-4 4/7

9、 2-1(4-4/7)2=50/7 。”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。在直角坐标系中构造 “一线三垂直【例 8】如图，在直角坐标系中，点直角三角形，求点 c 的坐标。a （ 1， 2），点 b（ 0， -1），已知为等腰abc- 【解析】设 c （ m， p ）。（ 1 ）当 bac 为直角时：当点 c 在 ab 右侧时，如图 1。过点 a 作 de x 轴，交 y 轴于点 d ，过点 c 作 ce de 于点 e。根据 “一线三垂直 ”模型， abd ace ，db=ae ， ce=da ，即： m-1=3 ， 2-p=1 ，解得： m=4 ， p=1 ， c （ 4， 1）；de ，

10、 db=ae ，ce=da ，即： 1-m=3 ，x 于点 e。根据 “一线三垂直 ”模型， abd ace -2=1 ，解得： m=-2 ， p=3 ， c（ -2 ，3）；p（或者用下列方法：此时，点 c 和中的 c 关于点 a 对称，故 m=2 1-4=-2 ， p=221=3. ）（ 2 ）当 abc 为直角时：当点 c 在 ab 右侧时， 如图 3。过点 a 作 ae x 轴，交 y 轴于点 e，过点 c 作 cd y 轴于点 d 。根据 “一线三垂直 ”模型， abe bcd ， db=ae ，be=cd ，即：-1-p=1 ， m=3 ，解得： m=3 ， p=-2 ， c（ 3

11、， -2 ）；- 当点 c 在 ab 左侧时，如图 4。c 作 cd de 于点 d ，过点 a 作 ae根据 “一线三垂直 ”模型， abe bcd ，（或者用下列方法：此时，点 c 和中的 c 关于点 b 对称，故 m=2 0-3=-3 ， p=-1 2（ -2） =0. ）（ 3 ）当 acb 为直角时：当点 c 在 ab 右侧时，如图 5。过点 c 作 cd x 轴，过 a 作点adcd 交 y 轴于点 e。根据 “一线三垂直 ”模型， acd cbe ，be=cd ， ce=da ，即： m=2-p ， p- （ -1 ） =m-1 ，解得： m=2 ， p=0 ，即c（ 2， 0）

12、；cd 与 x 轴重合，点 e 与 o 重合，当点 c 在 ab 左侧时，如图 6。过点 c 作 cd x 轴，过点 a 作 ad cd 于点 d，cd 交 y 轴于点 e。根据 “一线三垂直 ”模型， acd cbe ，be=cd ， ce=da ，即： 1-m= p- （ -1 ）， 2-p = 0-m ，解得： m=-1 ， p=1 ， c（ -1 ， 1）。（或者用下列方法：此时，点 c 和中的 c 关于 ab 的中点对称， ab 的中点坐标为（ 0.5 ， 0.5 ），故 m=2 0.5-2=-1 ， p=0.5 2 0=1. ）综上所述：符合条件的点 c 的坐标有 6 个：- 关于

13、“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（五）前面讨论的是关于 “一线三垂直模型 ”有两条边相等时的情况。如果不存在两条边相等，那么 “一线三垂直模型 ”的性质是必然存在一对或几对相似三角形，这个性质在经常出现的图例跟前面介绍的一样（ 关于 “一线三垂直 ”模型及其在平面几何中的应用（一） ），只是直角的两条边不一定相等。【例 9】如图，在直角坐标系中，点 a （ 1 ， 3），点 b（ 2 ， -1 ），坐标轴上是否存在点 c，使得 acb 为直角？若存在，请求出点c 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（ 1 ）当点 c 在 y 轴上时：如图 1，设 c（ 0 ， c），分别过点轴于点

14、a 、 b 作 x 轴的平行线，交 yd 、 e 。则根据 “一线三垂直模型 ”， acd cbe ，ad ce=cd be ，即： 1 (c+1)=(3-c) 2，解得： c1=1+2， c2=1- 2，故 c（ 0， 1+2）；或 c（ 0 ， 1- 2）；（ 2 ）当点 c 在 x 轴上时：- 如图 2，设 c（ c， 0），分别过点 a 、 b 作 y 轴的平行线，交x 轴于 d、e。点则根据 “一线三垂直模型 ”， acd cbe ，ad ce=cd be ，即： 3 （ 2-c ） =（ 1-c ）2，或 3（ c-2 ） =（ c-1 ） 2，综上所述，符合条件的点 c 的坐标有 4 个，分别为：（ 0 ， 1+2）；（ 0， 1- 2）；【例 10】如图，在直角坐标系中，a（ 1 ，3），点 b（ 2 ，-1 ），在一次函数点的图像上是否存在点 c，使得 acb y=x/2-1 为直角？若存在，请求出点