完整word版,《线性代数》中的证明题集

1、1利用行列式展开定理证明：当ab时，有a+bab0l1a+babl0000d=n01a+blmmmo0m0m=an+1-bn+1a-b000000lla+bab1a+bn-2，则证：将行列式按第一行展开，得d=(a+b)dnn-1-abdd-bdnn-1=a(dn-1-bdn-2)=a2(dn-2-bdn-3)所以d-bdnn-1=l=an-2(d-bd)=an-2(a+b)2-ab-b(a+b)=an，21=an（1）由d关于a与b对称，得d-adnnn-1=bn（2）a-ban+1-bn+1由（1）与（2）解得d=n2已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的

2、值，证明能被13整除1326274350053874=27427435005c4+1000c15005005证：132613213262743c+100c3874c4+10c323873874由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除3证明:1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)证：构造5阶行列式1ad=a25a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，x3x4则d=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x

3、-d)（1）5将d按第5列展开，得511111111a2d=a5bb2cc2dd2x4+(-abcdb2c2d2a2)x3+l（2）a3b3c3d3a4b4c4d4比较（1）与（2）右边x3的系数，知结论成立x+2x+x+x=0,2=4b时，齐次线性方程组114证明：当(a-1)x+x+x+ax=0,1234234x+x-3x+x=0,234x1+x2+ax3+(a+b)x4=0有非零解证：方程组的系数行列式111ad=12111-311=(a-1)2-4b，11aa+b证：因为(ptap)t=ptat(pt)t=ptap，所以ptap为对称矩阵当d=0，即(a-1)2=4b时，方程组有非零解

4、5若a为n阶对称矩阵，p为n阶矩阵，证明ptap为对称矩阵at=a6设a,b,c都是n阶矩阵，证明：abc可逆的充分必要条件是a,b,c都可逆证：abc可逆abc0abc0a0,b0,c0a,b,c都可逆7设n阶方阵a满足a2-3a=o，证明a-2e可逆，并求a-2e)-1(证：由a2-3a=o，得(a-2e)(a-e)=2e，即(a-2e)a-e2=e，所以a-2e可逆，且(a-2e)-1=a-e2（2）设ap=pb，且p=2-10,b=000，求a与a2011p-1=2-10,b2011=000=b，所以a=200,a2011=pbp-1=a6-1-18设a为n阶矩阵，且a3=o，证明e-

5、a及e+a都是可逆矩阵证：由a2=o，得(e-a)(e+a+a2)=e及(e+a)(e-a+a2)=e，所以e-a及e+a都是可逆矩阵9（1）设p-1ap=b，证明bk=p-1akp10010000-1211证：（1）bk=(p-1ap)k=p-1a(pp-1)a(pp-1)l(pp-1)ap=p-1akp（2）由ap=pb，得a=pbp-1，且a2011=pb2011p-1又10010000-1-411100oboc-1（101）设a=，且m阶矩阵b和n阶矩阵c均可逆，试证明a-1=cob-1o00a0n-10（2）设矩阵a=mna10m000a2m00llll0m，其中a,a,l,a为非零

6、常数，求a-112na0oboc-1bb-1oeo证：（1）因为=e，所以a可逆，且cob-1oocc-1oeoc-1a-1=b-1o（2）将矩阵进行如下分块：0m0manm0=，coa00m0ma=lla0l10al2mm00llll00l0mobn-1l又b-1=diag(a1-1,a2-1,l,an-11),c-1=(an-1)，所以oc-1则a-1=b-1oa-1=0a-1000a-1000a-1012mmllll0a-1n000mmn-111设a为n阶矩阵，满足a2+5a+6e=o，证明：r(a+2e)+r(a+3e)=n证：由a2+5a+6e=o，得(a+2e)(a+3e)=o，所

7、以r(a+2e)+r(a+3e)n.又r(a+2e)+r(a+3e)=r(-a-2e)+r(a+3e)r(e)=n，所以r(a+2e)+r(a+3e)=n.12证明：（1）设a,b为矩阵，则ab-ba有意义的充分必要条件是a,b为同阶矩阵（2）对任意n阶矩阵a,b，都有ab-bae，其中e为单位矩阵（证：1）设a为mn矩阵，b为st矩阵，则n=s,t=m,ab-ba有意义m=s,t=n.m=n=s=t，即a,b为同阶矩阵（2）设a=(a)ijnn,b=(b)ijnn，则ab-ba的主对角线上元素之和为ab-ba=ab-ab=0，nnnnnnnnikkisttsikkitssti=1k=1s=1

8、t=1i=1k=1t=1s=1而e的主对角线上元素之和为n，所以ab-bae13证明：任意n阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和证：设a为任意n阶矩阵，则a+ata-ata=+，22a+ata-at（其中为对称矩阵，为反对称矩阵你是否能联系到函数可以表示为奇函数22与偶函数之和）14已知n阶矩阵a,b满足ab=a+b，试证a-e可逆，并求(a-e)-1证：由ab=a+b，得(a-e)(b-e)=e，所以a-e可逆，且(a-e)-1=b-e15设a为元素全为1的n(n1)阶方阵，证明：(e-a)-1=e-1n-1a证：(e-a)(e-1n1a)=e-a+a2又a2=na，故n-1n-

9、1n-1(e-a)(e-1a)=e，n-1所以(e-a)-1=e-1an-116设n阶矩阵a与b等价，且a0，证明b0证：a与b等价，则存在n阶可逆矩阵p与q，使得b=paq，有b=paq=paq0注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性17设a为n阶方阵，且a2=a，证明r(a)+r(a-e)=n证：因为a(a-e)=a2-a=o，所以r(a)+r(a-e)n又r(a)+r(a-e)=r(a)+r(-a+e)r(e)=n，所以r(a)+r(a-e)=n18设a是nm矩阵，b是mn矩阵，其中nm若ab=e，其中e为n阶单位矩阵证明方程组bx=o只有零解证：由ab=e，得r(ab)=n又nr

10、(b)r(ab)=n，得r(b)=n，所以方程组bx=o只有零解19（1）设arn，证明：a线性相关当且仅当a=0（2）设a,arn，证明：a,a线性相关当且仅当它们对应的分量成比例1212证：()a线性相关ka=0,k0a=0（2）a,a线性相关ka+ka=0，其中k,k不全为零不妨设k0，则121122121ka,a线性相关a=(-k2)a12112=la，即a,a对应的分量成比例21220任取a,a,a,arn，又记b=a+a,b=a+a,b=a+a,1234112223334b=a+a，证明b,b,b,b必线性相关4411234证：显然b+b=a+a+a+a=b+b，即13123424

11、b+(-1)b+b+(-1)b=0，1234所以b,b,b,b必线性相关123421设a,a,l,arn为一组非零向量，按所给的顺序，每一a(i=1,2,l,s)都不能由12si它前面的i-1个向量线性表示，证明向量组a,a,l,a线性无关12ssa证：用数学归纳法证明=1时，0，则a线性无关设s=m时成立，即a,a,l,a1112m线性无关当s=m+1时，若a,a,l,a,a12mm+1线性相关，则am+1可由a,a,l,a线性12m表示，矛盾，所以向量组a,a,l,a线性无关12s22设非零向量b可由向量组a,a,l,a线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12sa,a,l,a线性无关1

12、2s证：b可由向量组a,a,l,a线性表示r(a,a,l,a)=r(a,a,l,a|b)12s12s12s则表示法唯一xa+xa+l+xa=b有唯一解1122ssr(a,a,l,a)=r(a,a,l,a|b)=s12s12sr(a,a,l,a)=sa,a,l,a线性无关12s12s23设a,a,l,arn，证明：向量组a,a,l,a线性无关当且仅当任一n维向量均12n12n可由a,a,l,a线性表示12n证：必要性：a,a,l,a线性无关，任取brn，则a,a,l,a,b线性相关，所以b12n12n可由a,a,l,a线性表示12n充分性：任一n维向量均可由a,a,l,a线性表示，则单位坐标向量

13、e,e,l,e可12n12n由a,a,l,a线性表示，有12nn=r(e,e,l,e)r(a,a,l,a)n，12n12n所以r(a,a,l,a)=n，即a,a,l,a线性无关12n12n24.设a：a,l,a和b：b,l,b为两个同维向量组，秩分别为r和r；向量组c=aub1s1t12r的秩为r证明：max,r312r3r+r12ir1ir2ir1ir2ir1ir2100m证：由(a,a,a|b)=10-5m6010m-8，r31-1m31001m-证：先证maxr,rr显然a组与b组分别可由c组线性表示，则rr，且rr，1231323所以maxr,rr123次证rr+r设a,l,a为a组的

14、一个极大无关组，b,l,b为b组的一个极312i1i1大无关组，则c组可由a,l,a,b,l,b线性表示，有i1i1rr(a,l,a,b,l,b)r+r3i1i11225设b为n阶可逆阵，a与c均为mn矩阵，且ab=c试证明r(a)=r(c)证：由ab=c，知c的列向量组可由a的列向量组线性表示，则r(c)r(a)因为b可逆，则a=cb-1，知a的列向量组可由c的列向量组线性表示，则r(a)r(c)所以r(a)=r(c)26设a为mn矩阵，证明：a=o当且仅当r(a)=0证：必要性显然，下证充分性：r(a)=0a=o设a为a的任一列向量，则r(a)r(a)=0，所以r(a)=0a=0由a的任意

15、性知a=o27设a=(-2,1,3)t,a=(-1,0,1)t,a=(-2,-5,-1)t证明向量组a,a,a是r3的一123123组基，并求向量b=(2,6,3)t在这组基下的坐标7-2-1-2m2212322271得a,a,a是r3的一组基，且b在这组基下的坐标为(,-8,-)12328设x,x,l,x是齐次线性方程组ax=0的基础解系，求证x+x,x,l,x也是12m122max=0的基础解系证：显然x+x,x,l,x是ax=0的解，只需证明它们线性无关122m10011(x+x,x,l,x)=(x,x,l,x)122m12mm0l1lm0l0m=(x,x,l,x)k12mmm由k=10

16、，得r(x+x,x,l,x)=r(x,x,l,x)=m，所以x+x,x,l,x122m12m122m线性无关29设a是n阶方阵证明：存在一个n阶非零矩阵b，使ab=o的充要条件是=0证：存在bo，使得ab=oax=0有非零解a=030设a是n阶方阵，b为ns矩阵，且r(b)=n证明：（1）若ab=o，则a=o；（2）若ab=b，则a=en证：（1）ab=o，则r(a)+r(b)n又r(b)=nr(a)=0a=o（2）ab=b(a-e)b=o由（）得a-e=oa=e31设a,a,l,a为n维非零向量，a为n阶方阵，若12saa=a,aa=a,l,l,aa1223试证明a,a,l,a线性无关12s

17、s-1=a，aa=0，ss证：设xa+xa+l+xa1122s-1s-1+xa=0该式两边左乘以a，得ssxa+xa+l+xa=01223s-1s依此类推，得xa=0由a0，得x=01ss1同理可证x=0,l,x=0所以a,a,l,a线性无关2s12s32设aa=a,aa=a+a,aa=a+a，其中a为3阶方阵，a,a,a为3维11212323123向量，且a0，证明a,a,a线性无关1123证：设xa+xa+xa=0（1）112233（1）式两边左乘以a，得(x+x)a+(x+x)a+xa=0（2）12123233（2）减去（1），得xa+xa=0（3）2132（3）式两边左乘以a，得(x+

18、x)a+xa=0（4）23132（4）减去（3），得xa=0因为a0，所以x=03113代入（），得xa=0，所以x=0代入（1），得xa=0，所以x=0212111所以a,a,a线性无关123a33设a为n阶方阵，为n维列向量证明：若存在正整数m，使ama=0，而am-1a0，则a,aa,l,am-1a线性无关证：设xa+xaa+l+x01m-1am-1a=0，该式两边左乘以am-1，得xam-1a=00因为am-1a0，所以x=00同理可证x=l=x1m-1=0所以a,aa,l,am-1a线性无关34设向量组a的秩与向量组b相同，且a组可由b组线性表示，证明a组与b组等价证：设r(a)=r

19、(b)=r，a,a,l,a为a组的一个极大无关组，b,b,l,b为b组12r12r的一个极大无关组由a组可由b组线性表示，得(a,a,l,a)=(b,b,l,b)k12r12rrr.又rr(k)r(a,a,l,a)=r，则r(k)=r，即k为可逆矩阵，有12r(b,b,l,b)=(a,a,l,a)k-1，12r12r即b,b,l,b可由a,a,l,a线性表示，所以b组可由a组线性表示.故a组与b组等12r12r价35设向量组a：a,a,l,a线性无关，向量组b：b,b,l,b能由a线性表示为12s12r(b,b,l,b)=(a,a,l,a)k12r12ssr，其中rs，证明：向量组b线性无关当

20、且仅当k的秩r(k)=r证：向量组b线性无关(b,b,l,b)x12rr1=0只有零解(a,a,l,a)(k12ssrxr1)=0只有零解ka,a,l,a线性无关12ssrxr1=0只有零解r(k)=r证：(b,b,b)=(a,a,a)110（）01136设a,b都是mn矩阵，试证明：r(a+b)r(a|b)r(a)+r(b)证：先证r(a+b)r(a|b)显然a+b的列向量组可由a的列向量组和b的列向量组线性表示，则r(a+b)r(a|b)此证r(a|b)r(a)+r(b)设r(a)=r,r(b)=s，a与b分别为a与b的列向量组的一个极大无关组，则(a|b)的列向量组可由a与b线性表示，有

21、r(a|b)r+s=r(a)+r(b)，即r(a|b)r(a)+r(b)37设a,a,a是r3的一组基，b=a+a，b=a+a，b=a+a123112223331（1）证明b,b,b是r3的一组基；123（2）求由基a,a,a到基b,b,b的过渡矩阵；123123（3）若向量g在基a,a,a下的坐标为(1,0,0)，求向量g在基b,b,b下的坐标123123101123123011y=p-1x=1100=10（2）由（）式，得由基a,a,a到基b,b,b的过渡矩阵110-1110=(,-,)t011021-1101（）由110=20，得r(b,b,b)=r(a,a,a)=3，则b,b,b线性无

22、关，123123123011所以b,b,b是r3的一组基123101123123（3）g在基b,b,b下的坐标123101-1111-11111122238设a为mr矩阵，b为rn矩阵，且ab=o求证：（1）b的各列向量是齐次线性方程组ax=0的解；（2）若r(a)=r，则b=o；（3）若bo，则a的各列向量线性相关证：（1）令b=(b,b,l,b)由ab=o，得12n(ab,ab,l,ab)=(0,0,l,0)，12n即ab=0,j=1,2,l,n，所以b的各列向量是齐次线性方程组ax=0的解j（2）若r(a)=r，则ax=0只有零解，所以b=o（3）若bo，则ax=0有非零解，所以a的各列

23、向量线性相关39设a为n阶方阵（n2），证明：（1）当r(a)=n时，r(a*)=n；（2）当r(a)=n-1时，r(a*)=1；（3）当r(a)n-1时，r(a*)=0证：（1）当r(a)=n时，a0a*=an-10，所以r(a*)=n（2）当r(a)=n-1时，由aa*=ae=o，得r(a)+r(a*)n有r(a*)1又a中至少有一个n-1阶子式不为零，则a*or(a*)1，所以r(a*)=1（3）当r(a)0，则l2=1，所以l=142设矩阵a与b相似，试证：（1）at与bt相似；（2）当a可逆时，a-1与b-1相似证：a与b相似，则存在可逆矩阵p，使得b=p-1ap（1）bt=(p-1ap)t=ptat(p-1)t=ptat(pt)-1因为pt也可逆，所以at与bt相似（2）b-1=(p-1ap)-1=p-1a-1(p-1)-1=p-1a-1p，所以a-1与b-1相似43设a,b都是n阶实对称矩阵，证明a与b相似的充要条件是a与b有相同的特征值证：必要性：a与b相似，则存在可逆阵p