经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

1、1.在极坐标系中，已知曲线C： P=2cos6,将曲线C上的点向左平移一个单位， 然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线Ci, 乂已知直线I过点 P（1,0）,倾斜角为冬，且直线I与曲线Ci交于A, B两点.3（1）求曲线Ci的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；0).(1) 设t为参数，若x=2卫2t,求直线I的参数方程；2(2) 已知直线 I 与曲线 C 交于 P、Q,设 M ( 2, - 4), fi|PQ|2=|MP|*|MQ|, 求实数p的值.9.在极坐标系中，射线I： e-2L与圆c： P=2交于点a,椭圆的方程为6p求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程； 在曲线C上是

2、否存在一点P,使点P到直线I的距离最小若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.=匚一以极点为原点，极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系xOy l+2si n.2 8（I）求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；（口）若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求工?的取值范围.10-已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为伫;囂参数），现 以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为11.已知曲线Cl的参数方程为fx=2t_1 （t为参数），以原点0为极点，以x轴 y=-4t-2的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p二. 1-cos y（I）求曲线

3、C2的直角坐标系方程；（II）设Mi是曲线Ci上的点，M2是曲线C2上的点，求|MiM2|的最小值.12设点A为曲线C： p=2cos0在极轴Ox上方的一点，且00,以极点为4原点，极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B在A的右下 方），求B点轨迹的极坐标方程.13.在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci： $二&+?眾。（4）为参数，实数a0）, 曲线C2：卩彩COS。（为参数,实数b0）.在以O为极点，X轴的正y=b+bsin$半轴为极轴的极坐标系中，射线I： 6=a （pNO, OWaW兀）与Ci

4、交于0、 2A两点，与C2交于0、B两点.当*0时，|OA|=1；当a=2L时，|0B|=2. 2（I ）求a, b的值；（n 求 2|OA|2+|OA|OB|的最大值.14.在平面直角坐标系中，曲线C1：（X=3+3cOSa（a为参数）经过伸缩变换_3I y=2sina/ _yy =T后，曲线为C2，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建极坐标系.（I）求C2的极坐标方程；（H）设曲线C3的极坐标方程为psin （2L.e）=1,且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值.15.已知半圆C的参数方程为（X=C0Sa , a为参数，aG-2L, 2L.（1+sina22（I）在直角坐标

5、系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，求半圆C的极坐标方程；（口）在（I）的条件下，设T是半圆C上一点，且0*馅，试写出T点的极坐标.16.已知曲线Ci的参数方程为|X=4+5cOSt （t为参数），以坐标原点为极点，x （y=5 +5sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin6.（I）把Ci的参数方程化为极坐标方程；（II）求C1与C2交点的极坐标（pNO, 062n）极坐标与参数方程综合测试题答案一.解答题（共16小题）1.在极坐标系中，已知曲线C： p=2cos6,将曲线C上的点向左平移一个单位， 然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来

6、的2倍，得到曲线Ci, 乂已知直线I过点P（1,0）,倾斜角为冬，且直线I与曲线交于A, B两点.3（1）求曲线Ci的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； 2）求l-pF 1 厂.|PA| |PB|【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y22x=O即（xl） 2+y2=l. 2c曲线Cl的直角坐标方程为宁+y 2“，4曲线C表示焦点坐标为（亦，0）,0）,长轴长为4的椭圆2 c（2）将直线I的参数方程代入曲线C的方程兰厂中，得2+4/-12 = 0. 4设A、B两点对应的参数分别为ti，t2，亠亠5.|Px| |PB| 32.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程卩二1+c宇Q（4）为参

7、数），以0为极y=sin点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线I的极坐标方程是2psin（8+字）=3血,射线0M： 8二与圆c的交3 3点为0、P,与直线I的交点为Q,求线段PQ的长.【解答】解： 利用cos24）+sin24）=l,把圆C的参数方程（X=1+cS（P仲为参数）I尸sin化为（x - 1） 2+y2=l,/. p2 - 2pcos0=O,即 p=2cos0.P 1=2cos 0 （II）设（pi，01）为点P的极坐标，由 兀ei=Tp L=1解得0 兀P 2 (sin 8 2+JCQS7T 92-3设（P2, 02）为点Q的极坐标，ll卜兀

8、e2=T 、V61=02 a |PQ| = |pi - P2l=2.|PQ|=2.3.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：p2=4p （cosO+sinG） - 6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（I）求圆C的参数方程；（H）在直角坐标系中，点P （x, y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求 出此时点P的直角坐标.【解答】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程解：（I ）因为 p2=4p （cos0+sin0） - 6,所以 x2+y2=4x+4y - 6,所以 x2+y2 - 4x - 4y+6=0,即（x2） 2+ （y - 2） 2=2为圆C的普通

9、方程.（4分）所以所求的圆C的参数方程为（沪（0为参数&分）（口）山（I ）可得,x+y=4+J（si:n B+cos 6 ）二4+2sin（ e+）（7 分）当eJL时，即点P的直角坐标为（3, 3）时，.（9分）x+y取到最大值为6. 4（10 分）4. 若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐 标系，得曲线C的极坐标方程是P咛 .sin2 6（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线I的参数方程为卜l+t 为参数），p l,ol当直线I与曲线C相交于A, B两点，求船.2【解答】解:（1） p=，/. p2sin26=6p

10、cos0,sin2 9曲线C的直角坐标方程为y2=6x.曲线为以（亘，0）为焦点，开口向右的抛物线.丄丄乂_2 Z 1代入 y2=6x 得 t2 - 4t 12=0.（2）直线I的参数方程可化为|v=_ +y 2解得 ti= -t2=6I AE-| = |ti - t2|= 8M2 _2|PA|-|PB|35. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线C1的参数方程为f = 3COS（为参数），曲线C2的极坐标方程为y = 2 sin 0P cos 8 -V2P sin 9 -5=0.（1）求曲线Cl的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲

11、线Ci上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极 坐标.【解答】解：（l）|llX=2C0Sa消去参数a,得曲线Ci的普通方程为尊+#二1.（y=2sina84|f|p cos9 -V2P sin 9-5=9得，曲线C?的直角坐标方程为x-/2y-5= 0. 2）设 P （2V2cosa 2sina）,则点 P至IJ曲 线 C2 的 距 离 为|2血cosa-2Vina-5|专）一5丨 _5-4cos（a 诗）d= 1+2=77=75当C0S（Ct+）=1时，d有最小值痹，所以IPQI的最小值为孚4 OO6. 在极坐标系中，曲线C的方程为p2=，点R （2血，）.l+2sin2

12、84（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的 极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标：（口）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴, 求矩形PQRS周长的最小值.【解答】解：（I ）由于x=pcos0, y=psin0,o2则：曲线C的方程为p2 ,转化成生-+/二1l+2sin 63点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2, 2）.（II）设 P （0 , sin9 ）根据题意,得到Q（2, sinB）,则：|PQ| = 2-V3cos9 , |QR|=2 - sin0,所以：IPQ| + |QR|=4-2sin（6屮；）当

13、 时，（|PQ| + |QR|） min=2,6矩形的最小周长为4.7.已知平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为（x+3cos（P（4）为参数），y=T+3sin.e以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 p=2cos0.（I）求曲线Cl的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（H）若直线8=王 （pWR）与曲线Cl交于P, Q两点，求|PQ|的长度.6【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为卩帥为参数），利用平方关，尸-系消去 4）可得：（x3）2+（y+1）2=9,展开为：x2+y2 - 2V3x+2y - 5=0,可得极 坐标方程：p 2 -2A/3pcos0

14、+2psin6 - 5=0.曲线C2的极坐标方程为p=2cos6,即p2=2pcos0,可得直角坐标方程：x2+y2=2x.0）（1）设t为参数，若x=2誓,求直线I的参数方程；（2）已知直线I与曲线C交于P、Q,设M （2,4）, H|PQ|2=|MP|*|MQ|, 求实数p的值.【解答】解：（1）直线I的极坐标方程为pcos6 psin0=2,化为直角坐标方程：x-y - 2=0.直线丨的参数方程为:(t为参数）.(2)曲线 C 的极坐标方程为 psin20=2pcos0 (p0),即为 p2sin20=2ppcos0 (p 0),可得直角坐标方程：y2=2px.把直线I的参数方程代入可得

15、：t? - (8+2p) V2t+8p+32=0./.ti+t2= (8+2p) V2，tit2=8p+32.不妨设 |MP|=ti，|MQ|=t2.IPQI = Iti t21(t L +1 2) 2 -4121 2=a/2(8+2p ) 2-4 (8p+32)=V8p2+32p -v |pq|2=|mp|*|mq|,A 8p2+32p=8p+32, 化为：p2+3p - 4=0, 解得p=l.9.在极坐标系中，射线I： 与圆c： P=2交于点a,椭圆的方程为6p2=匚一，以极点为原点，极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系xOy l+2si n.2 8（I ）求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；

16、（口）若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求IS血的取值范围.【解答】解：（I）射线I： 与圆C： p=2交于点A （2,兰），点A的直角6 6坐标（岛，1）:2 2椭圆的方程为P求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程； 在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线I的距离最小若存在，求出距离 的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理山.【解答】解：（1）曲线的c参数方程为（x=H2cosJ（4）为参数），普通方程为（x - 1） 2+ （y - 1） 2=4,直线I的极坐标方程为p=,直角坐标方程为xy4=0：cos y -sin y（2）点P到直线I的距离d。訓辛in-4 |_sm（:

17、,V2V2/4 丄J2kn -4=2kn - （k$Z）,距离的最小值为 2/2 2,点 P 的424直角坐标（1+近，1-V2）.=，直角坐标方程为斗参数方程为l+2sin26沪届小（6为参数）；y=sin 8（II）设 F（VScos0, sin。）,VE (0, - 1),/. AE=( 2), AF= (a/3cos0 - sinO - 1), : AEe AF= - 3cos0+3 - 2 (sin0 - 1) =V13sin (0+a) +5,A AEAF的取值范圉是5 - V13, 5+V13.10-已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为需鹭囂环为参数），现 以原点为极点，X轴的

18、正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为11.已知曲线Cl的参数方程为（x=2t_1 （t为参数），以原点0为极点，以x轴 y=-4t-2的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =_.i-cos y（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设Ml是曲线C1上的点，M2是曲线C2_h的点，求|M1M2|的最小值.【解答】解： 由P _ 可得p=x-2, Ap2=（X2）2,即yM（X- 1）; i-cos y（H）曲线Ci的参数方程为（X=2t_1 （t为参数），消去t得：2x+y+4=0. （y=-4t-2曲线Cl的直角坐标方程为2x+y+4=o.TM1是曲线Ci上的点，M

19、2是曲线C2上的点，AlMiMzI的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.设 M2 (r2 - 1, 2r), IVh到直线 2x+y+4=0 的距离为 cb则小沖一2咛泮V512设点A为曲线C： p=2cos0在极轴Ox上方的一点，且00,以极点为4原点，极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，A0为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B在A的右下 方），求点B轨迹的极坐标方程.【解答】二爲唏。为参数）P 12 P o7T即2兀百(2)：设 A (po，0o且满足 po=2cos0ot B (p, 0),po=VpT罟代入 po

20、=2cos0o 并整理得p 二262兀,所以点B的轨迹方程为p二2近cos（e+）晋ve0）, 曲线C2： fx=bcos （4）为参数，实数bo）.在以o为极点，x轴的正半轴y=b+bsin$为极轴的极坐标系中，射线I： e=a （p$0, OWaW）与Cl交于0、A两点，2与C2交于0、B两点.当*0时，|OA|=1；当a=2L时，|0B|=22（I ）求a, b的值：（H）求 2|OA|2+|OA|OB|的最大值.【解答】解：（I）由曲线C1：孑二&+严字Q（4，为参数，实数a0）, y=asin,P化为普通方程为（xa） 2+y2=a2,展开为：x2+y2 - 2ax=0,其极坐标方程

21、为p2=2apcos0即p=2acos0,由题意可得T1 0=0时，|OA|=p=l, /. a=-i-2 曲线C2： （X=bcos （4）为参数，实数b0）,y=b+bsin0化为普通方程为x2+ （yb） 2=b2,展开可得极坐标方程为p=2bsin0, 由题意可得当6且时，|0B|=p=2, .b=l.2（口）由（I）可得Ci, C2的方程分别为P=cos6, p=2sin0. 210A12+10A | | OB | =2cos2e+2sin6cos0=sin20+cos26+l=V2sin （2 0 +-）+1, V2e+e 2L9 i|L, /.V2sin（2 9+）+1 的最大值

22、为近+1， 当28住 时，e 时取到最大值.42814.在平面直角坐标系中，曲线Ci：(x=3+3cosa|ky=2sina（a为参数）经过伸缩变换7 2后的曲线为C2,以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求C2的极坐标方程；（H）设曲线C3的极坐标方程为psin （2L-0） =1,且曲线C3与曲线C2相交于6P，Q两点，求|PQ|的值.【解答】解：（I）C2的参数方程为/ =1+cosCl （a为参数），普通方程为（x， y =sinCt-1） 2+y，2=l,AC2的极坐标方程为p=2cos0；（H）C2是以（1, 0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为psin （2L6-0） =1, J=L角坐标方程为 x - V3y 2=0圆心到直线的距离dlQ 丄|PQ|=2&I|Yi15.已知半圆C的参数方程为（X=C0S, a为参数，aG芈，二.