应用统计学 4 随机分布与概率分布

1、本章重点：本章重点： 1 1、了解随机变量及其分类；、了解随机变量及其分类； 2 2、了解随机变量与概率分布的关系，了解分布曲线、了解随机变量与概率分布的关系，了解分布曲线 （函数）、密度曲线（函数）的含义及其之间的关系；（函数）、密度曲线（函数）的含义及其之间的关系； 3 3、理解随机变量的期望、方差及矩、理解随机变量的期望、方差及矩 4 4、了解重要的离散型和连续型概率分布、了解重要的离散型和连续型概率分布 1 1、1 1 基本概念基本概念 1、1、1 随机试验与事件 人们在生产实践和科学实验中，发现对人们在生产实践和科学实验中，发现对 自然界和社会上所观察到的现象大体分为两自然界和社会上

2、所观察到的现象大体分为两 类：类： 一类是事前可以预料的，即在一定条件一类是事前可以预料的，即在一定条件 下必然发生或必然不发生的现象，称之为下必然发生或必然不发生的现象，称之为必必 然现象然现象或或决定性的现象决定性的现象； 另一类是事前不可另一类是事前不可 预料的，即在相同条件下重复进行观察或试预料的，即在相同条件下重复进行观察或试 验时，有时出现有时不出现的现象，称之为验时，有时出现有时不出现的现象，称之为 偶然现象偶然现象或或随机现象随机现象。 在现实生活中，例如，在产品检验问题中，我们在现实生活中，例如，在产品检验问题中，我们 关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，关心的是抽

3、样中出现的废品数；在车间供电问题中， 我们关心的是某时期正在工作的车床数。对于这类随我们关心的是某时期正在工作的车床数。对于这类随 机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随 着试验的结果不同而取不同的数值。着试验的结果不同而取不同的数值。 然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也 常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每 次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系， 但我们可以通过指定数但我们可以通过

4、指定数“1”1”代表正面，代表正面，“0”0”代表反代表反 面，为了计算面，为了计算n n次投掷中出现的正面就只须计算其中次投掷中出现的正面就只须计算其中 “1”1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与 数值发生联系。数值发生联系。 一般地，如果为某个随机事件，则一定可以通一般地，如果为某个随机事件，则一定可以通 过如下示性函数使它与数值发生联系：过如下示性函数使它与数值发生联系： 这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的 性质，我们都可以建立性质，我们都可以建立样本空间样本空间和和实数空间实数空间的对

5、应的对应 关系，使之与数值发生联系，称关系，使之与数值发生联系，称x为随机变量。为随机变量。 不发生 发生 a a x 0 1 随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系 对所对所考察的随机现象，当引入随机变量以考察的随机现象，当引入随机变量以 后，随机事件即可用随机变量满足某关系式来后，随机事件即可用随机变量满足某关系式来 描述，反之，给出随机变量描述，反之，给出随机变量x满足某关系式，满足某关系式， 它将表达随机现象中的某个事件。它将表达随机现象中的某个事件。 比如：例比如：例1 1中，中， 0x 表示该试验中表示该试验中“反面朝上反面朝上”事件。事件。 1x 表示该试验中表示该试验

6、中“正面朝上正面朝上”事件。事件。 事件事件 点数不少于点数不少于3 3次次 可表示为可表示为 .3x 随机变量有三种类型：随机变量有三种类型： 一、离散型随机变量：变量的取值只能用整数表一、离散型随机变量：变量的取值只能用整数表 示的随机变量；示的随机变量； 二、连续型随机变量：随机变量只能在某个区间二、连续型随机变量：随机变量只能在某个区间 内取值，或其取值结果需要区间才能反映；内取值，或其取值结果需要区间才能反映； 三、混合型随机变量：既不是完全的离散型随机三、混合型随机变量：既不是完全的离散型随机 变量，也不是完全的连续型随机变量。变量，也不是完全的连续型随机变量。 随机变量的概率分布

7、随机变量的概率分布 随机变量随机变量x，其取值可能为，其取值可能为x1、x2、xn，对应的，对应的 概率分别为概率分别为p1、p2、pn，一一对应。，一一对应。 概率分布表由两个基本要素构成，一是随机变量的概率分布表由两个基本要素构成，一是随机变量的 取值，二是随机变量值对应的发生概率。取值，二是随机变量值对应的发生概率。 离散型概率分布和连续型概率分布，是两类最基本离散型概率分布和连续型概率分布，是两类最基本 的概率分布。的概率分布。 随机变量的概率分布函数随机变量的概率分布函数 1.1.定义：设定义：设 是是 上的随机变量，对上的随机变量，对 x rx r， 称称 = p x= p x为为

8、 的分布函数。的分布函数。 2.2.设设f f（x x）是随机变量）是随机变量 的分布函数，则具有如下的分布函数，则具有如下 性质：性质： （1 1）单调非降性：即对任意）单调非降性：即对任意x1x2,f(x1)x1x2,f(x1)f(x2);f(x2); （2 2）规范性：）规范性： （3 3）右连续性）右连续性: : 对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则 它一定是某随机变量的分布函数。它一定是某随机变量的分布函数。 )(xf 0)(lim)( xff x 1)(lim)( xff x 都有即rx )()(lim)0( 0 xfxxfxf

9、x 3.3.运算：若 ， 则有： rba)(xf ( )( ) lim( )(0) ( )(0) 1( ) 1(0) ( )(0) (0)(0) (0)( ) xa p abf bf a paf xf a papapaf af a paf a paf a p abf bf a p abf bf a p abf bf a 例例1 1：已知 的分布函数为： 求： 31 3212/11 213/2 102/ 00 )( x x x xx x xf 42,2/1,1,3pppp 解： 12/112/111)2()04(2442 4/34/11)2/1 (12/112/1 6/12/13/2)01 ()

10、 1 (1 1)3(3 ffppp fpp ffp fp 例例2 2：已知 的分布函数为： 确定a并求 11 10 00 )( 2 x xax x xf 7 . 03 . 0p 解：由右连续性知 ，而 ，a=1 即 则 1)(lim 1 xf x 2 1) 1 (af 10 ,)( 2 xxxf 4 . 03 . 07 . 0)3 . 0()07 . 0(7 . 03 . 0 22 ffp 概率密度函数的性质： 其中，f(x)为概率密度。 见课本例题。 rxxf,0)()1( 1)()()2( fdxxf )()( )()3( xfxf xxf 则 处连续，在若 0)(lim)4( xf x

11、随机变量的期望、方差及矩随机变量的期望、方差及矩 一、期望一、期望 离散型离散型 连续型连续型 .)()4( )()(),()()()3( ; )()()()2( ;)()()(1) : )()( )( 11 11 1 bxeabxa xexeyexexye xexexe bxaebaxexe dxxxfxe pxxe n i i n i i n i i n i i i ii 数学期望的性质 二、方差 离散型 连续型 .)()()var()5( );var()var()var()4( );var()var()var()3( );var()var()var()2( ; 0)var() 1 ( :

12、 )()()var( )()var( 22 22 2 2 1 2 xexex ybxabyax yxyx xabaxx c dxxfxexx pxexx i i ii 方差的性质 三、矩 矩在统计学中常用来描述随机变量的分布特征，均值等统计 参数有些可以用矩来表示。矩可分为原点矩和中心矩两种。 - - 原点矩原点矩 随机变量x对原点离差的r次幂的数学期望e（xr），称为随机 变量x的r阶原点矩，以符号mr表示，即: mr= e（xr） （r = 1，2，3，。，n） （4-3-14） 对离散型随机变量，r阶原点矩为: mr= e（xr）= 对连续型随机变量，r阶原点矩为:mr= e（xr）=

13、当r=1时，m1= e（x1）= ，即一阶原点矩就是数学期望， 也就是算术平均数（均值）。 - 中心矩中心矩 随机变量x对分布中心e（x）离差的r次幂的数学期望 ex-e（x） r，称为随机变量x的r阶中心矩，以 符号r表示，即: r = ex-e（x） r 对离散型随机变量，r阶中心矩为: r= ex-e（x） r= 对连续型随机变量，r阶中心矩为: r= ex-e（x） r= 当r=2时，2 = ex-e（x） 2= 2 ，即二阶中心 矩就是标准差的平方（称方差）。 重要的离散型概率分布重要的离散型概率分布 随机变量随机变量x只取只取两个值两个值 和和 ， 并且已知并且已知 0 x 1 x

14、 pxxppxxp)(1)( 10 称这种只取两个值的分布为两点分布。称这种只取两个值的分布为两点分布。 特别：若特别：若 , 1, 0 10 xx 则称这种分布为则称这种分布为(0-1)(0-1)分布。其分布列为：分布。其分布列为： 0 1 x k ppp1 两点分布两点分布 定义2、2、3 pqxpxe)var(,)( 在bernoulli试验中,假设每次试验成功的概率为p 那么,在n次试验中,成功k次的概率为 ),;(pnkb knkk n ppc )1( 在第k次试验中才成功的概率为 pppkg k 1 )1();( 在第k次试验时恰好成功第r次的概率为 rkrr k ppcprkf

15、)1(),;( 1 1 二项分布二项分布 几何分布几何分布 负二项分布负二项分布 二项分布：在独立试验概型中，重复进行二项分布：在独立试验概型中，重复进行n次次 试验时试验时a发生发生k次的概率已知为：次的概率已知为： ), 1 , 0(,)1 (),(nkppcpknp knkk n y 如果用随机变量如果用随机变量 表示表示 发生的次数，则发生的次数，则 的的 可能取值为：可能取值为： 相应的分布列为：相应的分布列为： ya nk, 2 , 1 , 0 ), 1 , 0(,)1 ()(nkppckyp knkk n 容易验证：容易验证： 1)1 ()( 0 n n k ppkyp 这种分布

16、称为二项分布，又称这种分布称为二项分布，又称y y服从参数服从参数 为为 和和 的二项分布，记为：的二项分布，记为： ).,(pnbynp k , 2 , 1 k 如果如果a在在第第 次发生，则前次发生，则前 次次1k ) ,2, 1(,)1 ()( 1 kppkxp k 都是都是 发生，从而发生，从而 的概率为：的概率为：akx 称称 服从参数为服从参数为 的几何分布。的几何分布。p x 例例1 1 在事件在事件a 发生概率为发生概率为 的贝努利试验的贝努利试验 中，如果用中，如果用 表示事件表示事件a 首次首次发生时的试验次发生时的试验次 数，则数，则 为一随机变量，可能的取值为：为一随机

17、变量，可能的取值为： p x x 二项分布的性质二项分布的性质 0 kxp(1) 1)( 00 n n k knkk n n k qpqpckxp(2) 当n=1时,x的可能取值只有0和1,可以用来描述只有 成功和失败的试验.此时称x服从0-1 分布分布 ),(pnbx若则其分布函数为 )0( )( 0 0 xqpc kxpxxpxf x k knkk n x k 的图象如右图)(xf 02468101214161820 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 例例1.八门炮同时向某一个目标各射击一发炮弹八门炮同时向某一个目标各射击一发炮弹,有不有不 少

18、于两发炮弹命中时少于两发炮弹命中时,目标被摧毁目标被摧毁.假设每门炮是否假设每门炮是否 命中目标相互独立命中目标相互独立,且命中目标的概率都是且命中目标的概率都是0.6,求求: (1)命中目标命中目标 的炮弹数的概率分布的炮弹数的概率分布; (2)目标被摧毁的概率目标被摧毁的概率. 解:设x为命中的炮弹数 由于每门炮是否命中目标相互独立 且命中目标的概率都是0.6 bernoulli试验 (2) “目标被摧毁”这一事件等价 于 2x 所以,目标被摧毁的概率为 212xpxp 101xpxp 711 8 800 8 4 . 06 . 04 . 06 . 01cc=0.991 )6 . 0 , 8

19、( bx 8 ,2 , 1 ,0,4 . 06 . 0),;( 8 8 kcpnkbkxp kkk (1) 其概率分布为 所以 例例2.某车间有某车间有10台耗电各为台耗电各为7.5千瓦的机床千瓦的机床,每台机床每台机床 的工作情况相互独立的工作情况相互独立,且每台机床平均每小时工作且每台机床平均每小时工作12 分钟分钟,求求: (1) 某一时刻正在工作的机床数的概率分布某一时刻正在工作的机床数的概率分布 (2) 全部机床用电超过全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？千瓦的可能性有多大？ 解: 设某一时刻同时工作的机床数为x 每台机床工作与否相互独立,工作的概率为12/60=0.2 所以)2

20、 . 0 ,10( bx (1)同时工作的机床数的概率分布为 10,2 , 1 ,0,8 . 02 . 0),;( 10 10 kcpnkbkxp kkk (2) 48千瓦可供6台机床同时工作 “用电超过48千瓦”等价于“有7台或以上的 机床同时工作”其概率为: 10 7 107 k kxpxp 01010 10 199 10 288 10 377 10 8 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 0cccc =0.00086 二、几何分布和负二项分布二、几何分布和负二项分布 在bernoulli试验中,每次试验成功的概率为p,若 以x表示首次成功时的试验次数

21、表示首次成功时的试验次数,则x的概率函数为 ,2 , 1,)1( 1 kppkxp k 我们称具有上述特征的随机变量服从参数为p 的几何分布几何分布 0 kxp 1 1 1)1( k k pp 显然 如果以以y表示第表示第r次成功时的试验次数次成功时的试验次数,则y的 概率分布为 , 1,)1( 1 1 rrkppckxp rkrr k 称具有上述特征的随机变量服从参数为r,p的负二负二 项分布。项分布。 0 kxp 1)1( 1 1 rk rkrr k ppc 泊松分布的应用是相当泊松分布的应用是相当广泛的，比如电信广泛的，比如电信 传呼台每天接受到的传呼次数，某繁华交叉街传呼台每天接受到的

22、传呼次数，某繁华交叉街 口每小时经过的车辆数等都服从口每小时经过的车辆数等都服从泊松分布泊松分布 ，而，而 且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有 着密切的联系。着密切的联系。 解解: : 依据分布列的性质依据分布列的性质: 1 ! 0 ae k a k k 从而从而 . ea 这个分布称为泊松这个分布称为泊松(poisson)分布分布. 设随机变量设随机变量x的分布列为的分布列为： 试确定常数试确定常数a . 0, 2 , 1 , 0, ! )( k k akxp k 0 k p且且 1 1 k k p 解得解得 泊松分布泊松分布 051015202

23、530 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 2 10 20 例例1 1 某种药品的过敏反应率为某种药品的过敏反应率为 ， 今有今有2000020000人使用此药品，求人使用此药品，求2000020000人中发生过人中发生过 敏反应的人数不超过敏反应的人数不超过3 3的概率。的概率。 0001. 0 解解 以以 表示表示2000020000人中发生过敏反应的人人中发生过敏反应的人 数，则数，则 服从二项分布服从二项分布 ，所，所 求的概率为：求的概率为： )0001. 0 ,20000(b x x 85713. 018064. 027068. 027067. 01

24、352. 0 )3 ,0001. 0 ,20000()2 ,0001. 0 ,20000( ) 1 ,0001. 0 ,20000()0 ,0001. 0 ,20000( )3()2() 1()0()3( pp pp xpxpxpxpxp 如果利用近似公式如果利用近似公式 )( ! )1(npe k ppc k knkk n 计算，可以得到：计算，可以得到： ，且，且20001. 020000 ) 3()2() 1()0() 3(xpxpxpxpxp 2 3 2 2 2 1 2 0 ! 3 2 ! 2 2 ! 1 2 ! 0 2 eeee 85712. 013534. 0 3 19 3 19

25、2 e 比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。 例例3 3 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.90.9， 求他两次独立投篮投中次数求他两次独立投篮投中次数x的概率分布的概率分布. . 解：解： x 可能的取值为可能的取值为0 0、1 1、2 2 p(x =0)=(0.1)(0.1)=0.01 p(x =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 p(x =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 p(x =0)+ p(x =1)+ p(x =2)=1 例例4 4 某射手连续向一目标射击，直到命中某射手连续向一目标射击，直到命中

26、为止，已知他每发命中的概率是为止，已知他每发命中的概率是p p，求所需射求所需射 击发数击发数x的概率函数分布列的概率函数分布列. 解解: : 显然，显然，x 可能取的值是可能取的值是1,2,1,2, ， 于是于是 ppaapxp)1 ()() 2( 21 papxp)() 1( 1 设设 = 第第 发命中发命中， ，k , 2 , 1k k a ppaaapxp 2 321 )1 ()() 3( 2xp0xp1xp2xp 6 0 ! 0 6 e 6 1 ! 1 6 e 6 2 ! 2 6 e =0.06197 查表查表(累积概率累积概率) 例例5.一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为一

27、输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为 6的的poisson分布，问一年中不多于两次断点的概率分布，问一年中不多于两次断点的概率. 解:设一年中的意外断电次数为x )6( px则 所以,一年中不多于两次断电的概率为 二项分布的泊松二项分布的泊松(poisson)分布逼近分布逼近 knkk n qpcpnkbkxp ),;( ),(pnbx n很大时, 计算困难 定理定理 在n重bernoulli试验中, apn表示事件用 在一次试验中发生的概率, 它与n有关. 常数），则时如果(, n npn e k ppcpnkb k knkk n nn ! )1(lim),;(lim 这个定理称为这个定

28、理称为poisson定理定理 结论:),(pnbx设大小适中而充分大如果npn, nppx参数为近似服从则),( 这个结论称为二项分布的二项分布的poisson逼近逼近 一般当p10 以上时,就可以使 用poisson逼近. ),08. 0 ,20(b)6 . 1(p 概率函数图象 051015202530 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 )08. 0 ,20(b )6 . 1(p , 2 , 1,)1 ()( 1 kppkxp k 类似地，有类似地，有 这就是求所需射击发数这就是求所需射击发数x的分布列的分布列. 这一节，我们介绍了离散型随机变量及这一节，

29、我们介绍了离散型随机变量及 其概率分布其概率分布. . 对于离散型随机变量，如果知道了它的概对于离散型随机变量，如果知道了它的概 率函数率函数, ,也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律. . 下一部分，将介绍重要的连续型随机变量。下一部分，将介绍重要的连续型随机变量。 若随机变量若随机变量x取值在区间取值在区间 上，上， 并且取每一点的可能性是相同的，则称并且取每一点的可能性是相同的，则称x服从服从 区间区间 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：),(baux ba, ba, 写出它的分布函数及概率密度函数。写出它的分布函数及概率密度函数。 2 2、4 4、

30、2 2 均匀分布均匀分布 定义定义2 2、4 4、2 2 , , 1 , , 0 )()( bx bxa ab ax ax xxpxf . , 0 , 1 )()( 其它其它 bxa ab xfxf 由几何概率的定义容易得到由几何概率的定义容易得到x x的分布函数为的分布函数为 从而概率密度为：从而概率密度为： 指数分布：若随机变量指数分布：若随机变量x具有概率密度具有概率密度 , 00 0 )( x xe xf x 0 则称则称x 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布。 指数分布常用于可靠性统计研究中，如指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命元件的寿命. . 常简记为：常简记为

31、：.)(ex容易看出：容易看出： 0)(xf 0 1)(dxedxxf 且且 所以所以 确是一确是一概率密度。概率密度。)(xf 解解 (1)(1)由指数分布的定义可得由指数分布的定义可得 例例1 1 对服从参数为对服从参数为0.0150.015的指数分布的的指数分布的 变量变量x x, ,试计算试计算: : (1) (1)x x 取值大于取值大于100100的概率的概率; ; (2) (2)若要求若要求p p( (x x x x) 0.1,) 0.1,问问x x应在什么范应在什么范 围内围内? ? 223. 0015. 01 11001100 5 . 1 100 0 015. 0 100 e

32、dxe dxxfxpxp x 5 .153 015. 0 10ln 015. 0 1 . 0ln 1 . 0ln015. 0 , 1 . 0ln1 . 0015. 0 015. 0015. 0 xx edxe xx x (2) (2) 若要求若要求 即即, 1 . 0 xxp 指数分布经常被用来近似描述各种指数分布经常被用来近似描述各种“寿命寿命” 分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电 话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来到的话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来到的 时刻，随机服务系统中的服务时间等都假定是时刻，随机服务系统中的服务时间等都假定是 服

33、从指数分布的。服从指数分布的。 , , 0 21,2 10, )( 其其它它 xx xx xfx例例2 2设设 x dttfxf)()( 求求 。)(xf 解解 由定义由定义 由于由于 是分段表是分段表 达的，求达的，求 时时 注意分段求注意分段求. . )(xf )(xf 2,1 21,2 10, 0,0 1 1 0 0 x xdtttdt xtdt x xf x x . 2, 1 21, 2 12 10, 2 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xf 即即 例例3 3 设设随机变量随机变量x 的分布函数为的分布函数为 1, 1 10, 0, 0 )( 2 x xx x xf

34、 求求x取值在区间取值在区间(0.3,0.7)(0.3,0.7) 的概率及概率密度。的概率及概率密度。 解解: : 4 . 03 . 07 . 0 3 . 07 . 07 . 03 . 0 22 ffxp )(xfxf 其其它它,0 10,2xx 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 在某点在某点 处的处的 高度，并不反映高度，并不反映x取值的概率。取值的概率。 但是这个高但是这个高 度越大，则度越大，则x取取 附近的值的概率就越大。附近的值的概率就越大。 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概 率集中在该点附近的程度。率集中在该点附近的程度。 )(x

35、fa a 正态分布正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分正态分布是应用最广泛的一种连续型分 布。德莫佛最早发现了二项概率的一个近布。德莫佛最早发现了二项概率的一个近 似公式，这一公式被认为是正态分布的首似公式，这一公式被认为是正态分布的首 次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯 加以推广，所以通常称为高斯分布。加以推广，所以通常称为高斯分布。 在正常条件下各种产品的质量指标，如在正常条件下各种产品的质量指标，如 零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成 男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的男子的身高、体重；农作物的产

36、量，小麦的 穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或 垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服 从正态分布。从正态分布。 (1)(1)正态分布的定义及图形特点正态分布的定义及图形特点 定义定义2 2、4 4、4 4 若随机变量若随机变量x的的概率密度为概率密度为 , 2 1 )( 2 2 2 )( x exfx 2 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， ，则称，则称0 x服从参数为服从参数为 和和 的正态分布。的正态分布。 2 ),( 2 nx 记作：记作： dxe x 2 2 2 )( 2 1 dxxf)(

37、 x t令 dtdx则 dxxf)( dte t 2 2 2 1 1 事实上 2 0 2 2 dte t 2 1 )()()2(fxf的最大值为 图象越往右越大，的重心，决定参数)()()3(xfxf 的取值越离散越大， 取值的离散程度，决定参数 x x 2 2 ) 4( 易知正态分布的特点特点 rxxfxf)()()1( 对称关于直线即xxf)( 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的 钟形曲线。特点是钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右 对称对称”。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中 峰的陡峭程度。

38、峰的陡峭程度。 其分布函数是：其分布函数是： , 2 1 )( 2 2 2 )( dtexf x t x (2)(2)标准正态分布标准正态分布 1, 0 的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. . 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x xex x , 2 1 )( 2 2 x x dxexxpx 2 2 2 1 )( )(x )(x 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般标准正态分布的重要性在于，任何一个一般 的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正 态分布态分布. . ),( 2 nx) 1, 0( n x y , ,则则 设设 根据定理根据定理, ,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数 定理定理2、4、1 制成表，就可以解决一般正态分布的概率问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率问题。 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了 它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。 dtex x t 2 2 2 1 )( )(1)(xx )()()(abbxap若若) 1, 0( nx ),( 2 nx若若 )( b y a p)(bxap