弹性力学基础(程尧舜-同济大学出版社)课后习题解答

1、习题解答 2.1计算 ： pi iq qj jk ，(2) epqi eijk Ajk ， (3) Sjp Skip Bki Bj。 解： (1) pi iq qj jk pq qj jkpj jkpk epqi eijk Ajk( pj qk pk qj ) AjkApq Aqp ； ejp ep Bki Blj (ik jl il jk ) Bki Blj Bii Bjj Bji Bij。 2.2证明 :若 aij a ji，贝U ejk a jk 0。 证： 2 eijk a jkejk a jk eikj akj eijk a jkeijk a eijk a jk eijk a jk0

2、 0 x 2.4 2.5 设a、 b和c是三个矢量，试证明： a a a b a c b a b b b c a,b,c2 c a c b c c a a a b a c a a abi ac a1 a2 a3 a1 big 证： b a b b b c ba b bi bi c b1 b2 b3 a2 b2 C2 c a c b c c ca cbi Ci Ci C1 C2 C3 a3 b3C3 2.3 设 a、b、 (a b) (c 证：(a b) (c aibjCldm( il (a c)(b d) c和d是四个矢量，证明: d) (a c)(b d) (a d)(b c) d ) ai

3、b jjk ek c dmemn en jm im jl ) (ai ci )(b j d j ) (a d)(b c)。 ai bj Cl d mjk eimk (aidi )(bjCj) Z a,b,c2。 设有矢量 系，如图 解：11 u ue。原坐标系绕z轴转动 2.4所示。试求矢量U在新坐标系中的分量。 cos ，12 sin ，13 0， 2 2 COS ，2 3 0， 角度，得到新坐标 y U1 sin 0 ，3 20，3 31。 1 iUi ui cosU2S in y 图2.4 U22iUiuisinU2COS , U33 iUi U3。 T在新坐标系 2.6设有二阶张量t

4、Tjeej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 中的分量Ti 1、T12、Ti 3和T33。 解：变换系数同上题。 T11 1 i 1 jTij T11T22T11T22cT2T21 c 一一一cos2一 一 si n2， 2 2 2 T12 T12T21 T12 T21T22 T11 cos2sin2 ， 2 2 2 T13 T13 cos T23sin， T3 3 T33。 2.7设有3个数Ai2in，对任意口阶张量Bjij2 jm，定义 Cili2 i njl j2 jm Ali2 in Bjlj2 jm 若Cili2 injlj2 jm为门口阶张量，试证明Ali2in是门阶张量。 证

5、：为书写简单起见，取n 2，m 2，则 CijklAj Bkl ， 在新坐标系中，有 Ci j k iA j Bk 1(a) 因为Cijkl和Bkl是张量，所以有 Ci j kli i j j k kl l CijkliijjAjkk l lBkli ij j AijBkl 比较上式和式(a)，得 (A j i i jj Aj) B“0 由于B是任意张量，故上式成立的充要条件是 A j i i j j Aij 即Aj是张量。 2.8设A为二阶张量，试证明IA trA。 证：I A eei Ajk ej ek =Ajk (e ej )(e ek )=Ajk ij ik =Ai =trA 2.9设

6、a为矢量，A为二阶张量，试证明: a A (AT a)T , A a (a AT)T 证：(I) (AT a)T(Aji eej ake) (Ai eiakejkne n)T (Aji ak ejkn eien) tAjn akejki e akekAjnej en a A。 (a AT)T (aei Akje j ek ) T ( Akj ai ejn enek )T (Anj ai ejk en ek) Anj en a ejik ek Anj ene j aiei A a 2.10已知张量T具有矩阵 1 23 T456 789 求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量 解：T的对称部

7、分具有矩阵 1 3 5 2(T Tt)3 5 7， 5 7 9 T的反对称部分具有矩阵 0 1 2 1(T TT)101。 2 1 0 和反对称部分对应的轴向矢量为 w e1 2e2 e3。 2.11已知二阶张量T的矩阵为 3 1 0 T1 3 0 0 0 1 求T的特征值和特征矢量。 3 10 解： 130(1)(3)2 1 0 0 0 1 由上式解得三个特征值为1 4 ,2 2 ,3 1 o 将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为 ai (ei e2) , a .2 丄(ei+e2), a3 、2 e3。 2.12求下列两个二阶张量的特征值和特

8、征矢量： A I mm, Bmnnm 其中， 和 是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为 A m ( I m m) m ( )m， 所以m是A的特征矢量，是和其对应的特征值。设 a是和m垂直的任意单 位矢量，则有 A a ( I m m) a a 所以和m垂直的任意单位矢量都是 A的特征矢量，相应的特征值为，显然 是特 征方程的重根。 令 上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成 B 0ei ei e2 e2 +e3 e3 所以，二个特征值是i、0和i，对应的特征矢量是 e3、ei和e2。 2.13设a和b是矢量，证明： (1) ( a) ( a) 2a (2) (a

9、b) b ( a) a ( b) a( b) b( a) 证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略 (2) (a b) ei (ajej bkek) e (ajbkejkmem) XiXi (aj ,i bka j bk ,i ) ejkm eimn en(a j ,i bkaj bk ,i )( jn ki jikn )en a j ,i b ej a j bi,ie j a j, j bk eka bk ,iek b ( a) a ( b) a( b) b( a) 1 2.14 设 a x2yze1 2xz3e2 xz2e3，求 w(aa)及其轴向矢量。 解：

10、w 12(aa) 2(x2z 2z3)e e2 (x2y z2)ei e3 (2z3 x2z)e2 e 6xz2e2 e3 (z2 x2y)e3 e 6xz2 r3 S 若原点O在S的内部，积分 UdS 4 。 S3 证：当r 0时，有 (E)(勺 0(b) r3xi r3 因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得 (r3)dv 0。 因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完 全在S的内部。用V表示由S和S所围的区域，在 V中式(b)成立，所以 S 背dSG)dV SV S 在S 上, 2.16 设 f yei (x 2xz)e2 xye

11、3，试计算积分 (f)ndS。式中S是球面 S x2y2 z2 a2在xy平面的上面部分. r/a，于是 訣4 解：用c表示圆x2 y2 a2，即球面x2 y2 z2 a2和xy平面的交线。由Stokes 公式得 (f)ndS 蜒 dr Sc ydx xdy 0。 AVV* 第二早 3.1 设r是矢径、u是位移, u。求并证明：当 1时，密是一个可 逆的二阶张量。 解:坐北理I dr dr dr dr% I u 的行列式就是书中的式(3.2)，当 dr 以可逆。 dr Ui,j 1时，这一行列式大于零，所 3.2 设位移场为 称张量 u (u A r，这里的A是二阶常张量，即 A和r无关。求应

12、变张量 (2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 fT I,i ei I,i e 所以，只要令 ，就有f。 (2)表面上的面力为 Tn t n 1 n 或 Tn i。 4.9已知六个应力分量 ij中的 解：应力张量的三个不变量为: 特征方程是 3 I1 2 I2( 2 上式的三个根即三个主应力为 3i I1 0 ,求应力张量的不变量并导岀主应力公式。 xy，I3 0。 x y 2 12)0 0和 2 xy 4.10已知三个主应力为1、 角形，其法向单位矢量为 4，n2二 33 求八面体各个面上的正应力 ，在主坐标系中取正八面体, 它的每个面都为正三 n2 n3

13、 53 0和剪应力 解：0 ij n nj 1( 1 T小jei， T2 T Ti2n2 4.11某点的应力分量为 (1)过此点法向为 1 02 11 22 2尸(23尸(31)2。 330，122331，求: e2的面上的正应力和剪应力; (2) 主方向、主应力、 解：T me 23(e1 e2 2)， T 2 T T 4 2。 正应力为 n T n 2 。 剪应力为 nT 2 2 0。 由此可知， 2 是主应力，n 1 (e, e2 eO是和其对应的主方向。 、3 最大剪应力及其方向。 (2) 用表示主应力，则 ()2( 2)0 所以，三个主应力是i 2 由上面的结论可知，和1对应的主 方

14、向是n，又因为 是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向 第五早 5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为 具体表达式。 ij Cjki ki ，试与出柔度系数张量Gjki的 解： 所以 ij e kk ij 2E( ik jl il jk ) E ij kl kl (ik jl il jk ) ij kl 。 5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用, 如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试 求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。 解：取压力q的方向为z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向

15、为x、y的方向。 按题意有 zq， Xy0， xyP 由胡克定律得 XEx ( y z) |(1)Pq 0 所以盒内侧面的压力为 1 体积应变为 y) 2 2 v 1(21)(1) E(1) q E(1) q 5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同 性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设 n是应力的主方向，是相应的主应力，则 mn(1) 各向同性的胡克定律是 ijij 2 ij 将上式代入式 ，得 m2 口 n，即 E 于( )n 由此可知，n也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此, 应力主方向和应变主方向一

16、致。 下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性 质关于Oxy平面对称。因为xy 0，所以从式(5.14)得 xy C41 x C42 y 若应变主坐标系也是应力主坐标系，则xy ，即 C43 z 上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变 主方向不一定相同。 5.4对各向同性材料，试写岀应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系 i2 i(1) 从上式得 11 ii (32 )(32 )J1 12 122331 (2 1 )(2 2) (22)(23 )(23)(21 ) (3 4 ) J1

17、2 4 2J2 (3) 13 123( 21)(22)(23) 2( 2 )J13 4 2 J1J2 8 J3 (4) 式、 、就 .是用应变不变量表示应力不变量的关系。 也容易得到用应力不变量 表示应变不变量的关系 第八早 6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足 的？ 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。 6.2设 u fge2 y g 2(Aei Be?) 其中f、g、A、B为调和函数，问常数 的位移场。 为何值时，上述的u为无体力弹性力学 解：(Ae1) ek(eiA&) ekAiei“ejAjeji1 0 XkXi Xk

18、 同理(Be?) 0。 由上面两式及f和g是调和函数可得 U (1 )g,2 (1) g，2 (1) 因f、g、A、B为调和函数，所以 2u 2 g,2 (2) 将式、(2)代入无体力的Lam! -Navier方程，得 ()(1)2 g,20 上式成立的条件是 ()(1 ) 2 0 即 6.3已知弹性体的应力场为 3 2z。 f 2e3。 应力协调方程，所以给 x 2X , y 2 y X , xy 2x2y , zx zy 0, (1) 求此弹性力学问题的体力场； (2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。 解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为 所给的应力分量

19、和已求出的体积力满足Beltrami-Michell 岀的应力分量是弹性力学问题的应力场。 6.4证明下述Betti互易公式 蜒U%Sfi%dVT%idSf%idV , SVSV 6.5如果体积力为零，试验证下述 其中Ti、f、u和T%、 、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得 1 4(1) (R P r) 蜒%dS fi %dVj nj i%dS fii%dv SV S V (ij,jl% iji%)fi%dV( ij,jfi)ui dV ij%IV V V V V j%dV Eijk k%dV Eklij %kldV% kldV

20、 V V V V %ui,jdV (%u),j %,juJdV ?% mudS %idV V V S V ?T%idS S %iidV。 V 证毕。 (Papkovich-Neuber) 位移满足平衡方程 其中 2p 0，2R 0。 证：无体力的Lame-Navier方程为 ()(u) 2u 0 1 又，所以LamONavier方程可以写成 1 2 2u 1( u) 0 1 2 将所给的位移代入上式的左边，并利用 2(r p) 2 p r 2p，可得 2 1 2 1 2 2 u( u) p( po r p) 12 2(1 2 ) 因为p和Po是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。 6

21、.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x轴，弯矩所在的主平面为 Oxy平面 证下述位移分量是该问题的解 u M EMTxyyz zy Uo v M (x2 2EI y2 z2)zXxZ Vo w M yz EI y xy yXW0。 提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为 xdA 0， xzdA 0， x ydA M AAA 其中A是杆的横截面。 证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lams-Navier方程。用所给的位移可以 求岀应变，然后用胡克定律可以求岀应力： (a) x ，其它应力分量为零。 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为 x

22、z yz 0，xdA 0， xzdA 0， xydA M AAA 式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。 6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。 q2 图6.6 解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量 & E(qi 利用题3.11 X qi , yq2 , z xy yz zx 0 满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为 1 q2)E e15)色e?丘 口2)2 Q (r ro) q2)(x Xo)8 1 E qi)(y y。 E(q q2)(z Zo)e3 的结果，可

23、求得位移为 0上作用有均布压力 q，设在z h处w 0 , 6.8弹性半空间z 0 ,比重为 ，边界z 求位移和应力。 解：由问题的对称性，可以假设 u v 0, w w(z) 把上述位移分量代入 LameNavier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成 d2w dz2 解之得 wz2 Az B 2( 2 ) 其中的A、B是待定常数。由已知条件得 w(h)可一h2 Ah B 所以B - 2( 2 ) h2 Ah w 2( 应力分量为 h)2 A(z h) 在z 一个成为 dw dz A, 、dw / ) ( dz 0边界上的边界条件为：T 0 , T2 0 , T3 q。前两个条件自动

24、满足，最后 z A ， xy yz zx (2 )A q 即 A q (1 2 )q 2 2G(1 ) 所以最后得 w； 2)(z h) (z h) 2q， u V 0 ； 4G(1) z( z q)，xy 1 (z q)， xyyzzx0。 6.9设一等截面杆受轴向拉力p作用，杆的横截面积为 A，求应力分量和位移分量。设 z 轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，U V W 0，且 uVV 0。 z z x 答案 p 0 z A， xyxy yzzx p p p u x， V y，w z。 EA EA EA 6.10当体力为零时，应力分量为 x Ay2 (x2 y2)， yz

25、 0， y Ax2 (y2 x2)， zx 0， z A (x2 y2)， xy 2A xy 式中，A 0。试检查它们是否可能发生。 解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生 图6.7 6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为P，偏心距为e， 杆的横截面积为A，求应力分量。 解：根据杆的受力特点，假设 zX ， xy xy yz zx 0 其中 、是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平 衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。 按圣维南原理, 杆端的边界条件可以放松为 zx 0， zy 0，zdA 0，zXdA Pe AA 前面两个条件自动满足， 将应力分量

26、代入后两个条件，可求得 PPe，其中 Ix2dA。 A 所以，得最后的应力分量为 烽导)， xy yz zx 0。 两对边分别受均布的弯矩Ml和M2作用，如图6.8 12M2Z h3 5 y 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。 z X M Mi B y X| C M 2 6.12长方形板ABCD，厚度为h， 所示。验证应力分量 12MiZ X 图6.8 解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调 面上无面力的边界条件。板边 _h ：xdz 2 xy xz 0， (Beltrami-Michell) CD上的边界条件可以放松为 h ：xZdz M1 2 容易验证应力分量满足上述条件。同样可以

27、说明应力分量满足板边 上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。 第七章 方程，也满足板 AB、BC、AD 7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数应满足的方程 调条件？ 解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方 程都是 2( X y) 0 220表示协 若把用应力函数表示的应力，即 x y2 2 代入上式，就可以得到 X 2 2 0 所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。 (包括孔口边界上)受有均匀压 答案：x y q， z xy yz zx 7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上 力q，求板中的应力分量。 q作用，

28、求应力分量。提示：假定 解： 假定 y和x无关，即 y f (y)，于是 有 2 y x2 f(y) 7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷 a a y 和x无关 q 图7.5 d4f2(y)2d2f(y) dy4dy2 12Ay 4B 积分两次，得 1 2 -x f (y) xfi(y) f2(y)(1) 其中f1(y)和f2(y)是y的待定函数。将应力 函数代入双调和方程，得 1 d4f (y)x- d4fi(y)x d4f-(y) 2d2 f(y) 0 2 dy4dy4dy4dy2 上式对任意x 0,1成立的充要条件是 d4f (y) 0 d4f1(y) 0 d4f2(y) ?d2f(y)

29、dy40， dy40，dy4dy2 解上面的前两式，得 f (y) Ay3 By2 Cy D，f1(y) Fy3 Gy2 Hy (y)中略去了不影响应力的常数项。由式 中的第三个方程，得 所以，有 f2(y) y5 10 6y4 Ly3 Ky2 在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数f、 f1和f2代入式 (1)，得 (Ay3 By2 Cy D) x(Fy3 Gy2 Hy)盒y5 fy4 Ly3 Ky2 应力分量为 2 2 6Ly 2K x(6Ay 2B) x(6Fy 2G) 2Ay3 2By2 y 2 y -r Ay3 By2 Cy D X 2 xy x y 本问题的边界条件

30、是: ( x(3Ay2 2By C) (3Fy2 2Gy H) y )y a y )y a xy)x l a (x)x a q ，( xy ) y a 0 0，( xy)y a 0 0 dy 0, y( x)x idy a (5) (3) (6) 由条件(5)可求得 F Al，G Bl 由条件 和(4)可以求得 q3q A 3， B 0， C ， D 4a34a 将求得的常数代入应力分量表达式，得 2a3 ( 2 2、2a 热 x)(1 ,H Cl xy xl)y 碁y3 6Ly 2K (7) 由条件(6)中的第一个条件可以求得 L眄亠 8a3 20a 最后的应力分量为 q(l x)2 y 2

31、I 2(1 營 2a3 敎x)(1詈 2a3 I 么是截面的惯性矩。 3 xy 其中, K 0，由(6) 中的第二个条件可以求得 7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为 ，重力加速度为g, g，求 应力分量。提示：假定y和x无关。 解：假设 2 y r y f(y) y x 即 2 f (y) x 经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数 X y(Ay3 By2 Cy D) x(Fy3 Gy2 Hy) 应力分量为 2 h_ 2 2 y2 2 X2 (6Ay 2B) x(6Fy 2G) 2Ay3 x2 2 Ay3 By2 Cy D xy x y 由对称性可知, x(3Ay2

32、 2By C) (3Fy2 2Gy xy )xo 0，所以 3Fy2 2Gy H -y5 10y 2By2 H) y 图7.6 By4 Ly3 Ky2 6Ly 2K 0，由此得 F 0，G 0，H 0 在梁的任意截面上，x方向的合力为零，即 hBh2 h xdy Bhx2 2h(K 牛)0 212 故有 B 0，K 0 利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为 x 3Ax2y 2Ay3 6Ly y Ay3 Cy D y xy x(3Ay2 C) 在梁的端部有条件 h 2 hy( x)x ldy 0 2 在梁的上下表面上有条件 (y) y 20，(xy)y 20 将应力分量表达式代入上述条件，

33、可以求得 A2厂3 A y， C h22 最后的应力分量为 I2/。2 x2)y xh3 2 (l X )y 4 y2 y 2(1， y(等 xy 5) 护X。 7.6设有矩形截面的竖柱, 其密度为 分量。提示：假设 0或xy ，在一边侧面上受均布剪力q，见图7.7，求应力 O f(X)。 解：设 丁 0， f1(x) 积分得 yf (x) 把上式代入双调和方程, d4f (x) y d4fi(x) dX4 因而有 d4 f (x) dX4 d4 f1( X) dx40 dx4 所以 f (x) Ax3 Bx2 Cx，(x) 在f(x)和f,(x)的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为

34、 y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Fx2 应力分量为 0 Dx3 Fx2 歹 gy y(6Ax x2 (3 Ax2 边界条件是 Xy 2Bx C) (xy)x 00， (xy)x h q h 0， x( 0 2B) 6Dx 2F gy h 0 xydX 0 h 0( y)yodX 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得 y )y odX 0 %必* y 图7.7 7.7 A 告,B q , CO, DO, F 0 hh 最后的应力分量为 0，y 曲1 3x)gy y q*眛 2) 图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为, 力分量。提示：设 x yf (x)。 2 解：设x 7 yf(x)，积

35、分两次，得 y y3f(x) yfi (x) f2(x) 6 将上式代入双调和方程，得 1y3d4f(x) y(d4fi(x) 2d2f(x)、 6yy(飞厂2飞厂) 上式成立的充要条件是 p g，水的密度为 d4f2(x) 0 dx4 1，1g，求应 图7.8 d4 f (x) 0 d4(x) 2d2 f (x) 0d4f2(x) dx4，dx4dx2， dx4 解上述三个方程，得 f (x) Ax3 Bx2 Cx D fdx)丄Ax5 1 Bx4 Hx3 Kx2 Lx 10 6 f2(x) Fx3 Gx2 在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为 y3(Ax3 Bx2 C

36、x D) 6 y(訴护4 Hx3 应力分量为 2 y2 y(Ax3 Bx2 Cx Kx2 D) Lx) Fx3 Gx2 py *3(6Ax 2B) 6 py y( 2Ax3 2Bx2 6Hx 2K) 6Fx 2G 2 xy 护如 2Bx C)(評4 3Bx3 3Hx2 2Kx L) 边界条件为 7.8 (y)y0 0， (x )x h 0， h 2 h ( xy ) y 0 dx 2 把应力分量的表达式代入上述条件, 2 A 亍，B 0 , C h 应力分量为 x3 % j3 h3 y xy 可以求得 (x) h 2 3 2h，D 3 x 2 h 3 xyrx3y 5hh3 2 32 34 y

37、2(厂 x2)3x4 h3h3 py 10hx h 80 图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为 0,H 而,K 0,L h 80 ，求应力分量。提示：设该 问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。 图7.9 解：应力与外载荷(即体力 g )成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形 式 gf(x,y,) 应力的量纲是力长度2， g的量纲是力长度3，x和y的量纲是长度， 是无量纲的，所以若 f(x,y,)是多项式，则必是一个 x和y的齐一次表达式。应力 函数应是比f高两次的多项式，故有 g(Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3) 应力分量的表达式为 g(2Cx 6Dy

38、) y2 2 2 gy g(6Ax 2By y) x 2 xy g(Bx Cy) x y 0的边界上，有 (y)yo 6 gAx 0 , ( xy)y o 2 gBx 0 由上面两式得 A B 0 在斜面上，有 y xtg ， n sin ，n2 cos ，n3 0 斜面上的边界条件为 2ini21 n122 n2 gy(2Csin cos )0 1i ni11n112n2 2 gx(2C 3Dtg )sin 0 由此得 2Csincos 0， 2C 3Dtg 0 故 1 1 2 C ctg , D fctg 。 把求岀的常数代回应力分量的表达式，得 x g(xctg 2yctg2 )， xy

39、 gyctg 第八章 试证明极坐标形式的应变协调方程为 (2 r 证：在极坐标系中，有 - -1_ r 8.1对平面应变问题, 2 2 r ) r2 r r er e r &rerer r ere r)r (4 r2 2 -)r r r reer gy， (-7 所以 -r )ez er (一 rr 协调方程是 1 2(古 即 2(4- r2 或 2 (7 r) r r) ( r (1 r 1 r2 r r) 丄二) r 22 / 2 -) (_F r2 7) ez e 0 2 )r。证毕。 8.3在内半径为a、 外半径为b的圆筒外面套以内半径为 b的刚性圆筒，内筒的内壁受压 力p作用，如图8

40、.17所示，求应力分量和位移分量。注：按平面应力问题求解。 解：这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下 形式 r 令 2C， 令 2C，, rr 若不计刚体位移，则位移分量的表达式为 Ur (1)- 2(1 )Cr，u 0 Er 边界条件为 (r)r a q (Ur)rb 0 将r和Ur的表达式代入上面两个条件，可以求得 1_ ,2C A 。旦，2C 1_ 1_1_ 1_ b2a2b2 a2 将求岀的常数代入应力和位移的表达式，得 1 1 r2 b2 1 1 b2 a2 q， 1 1 r2 b2 1 1 b2 a2 q， r 1 丄 Ur亘)q E、_1_ 8.4设有一块内半径为 a

41、、外半径为b的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力q作用, 如图8.18所示，求应力和位移。 解：由对称性可知，极坐标系中的应力分量和 平衡方程(8.8)中的第二式简化成 无关。 d r2 r dr r 解之得r i r 由边界条件得 .、A (r )r b 所以r b2 r2 平衡方程 (8.8) d r r dr r 2 q。 q 即 A b2q 中的第一式和应力协调方程简化成 2( r 这是齐次方程组，有特解 力分量的解是 利用胡克定律, 由于对称性，位移分量 图 8.18 0，这一特解满足边界条件(Jrb 0。所以应 2(1 也 bi r2 也和无关，所以几何关系简化成 E Ur和U U

42、r du r dr 芈 0，- 0， drr 上面前两式的解是ur 0，第三式的通解是 2(1 )q b2 E r2 (1 由边界条件(u )r a 0可以确定常数B - E a 也里，所以位移分量的解是 (1 )q r 1、 ur 0， Ub ( 2)。 E a2 r 解法二：根据对称性，可知ur、u 和 无关。利用胡克定律和几何关系，可得 f(r ) E (dUr 1 _ ( d7 E / Ur E_(du_ r) dUr dr E 2(1 ) 把上述表达式代入平衡方程，得 d2ur 2(1 _(_dT 1 dUr dr r dr 由此解得 A , ur Br， r ur 7 d2u dr

43、2 1 du r dr 终0 r2 Dr 利用边界条件可以确定常数 A、 8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力 q作用，求应力分量 用量纲分析法确定应力函数的形式。 解：任意一个应力分量都可以表示成 q(r,)，应力和q 相同的量纲，所以f1应是无量纲的。根据应力和应力函数之间 的关系可知，应力函数应该是 r的两次表达式，即 r2f() 将上式代入双调和方程，得 0 d 4 d 2 解岀上式的解后，可得应力函数 r 2( Acos2 应力分量为 r 2Acos2 Bsi n2 2Bs in2 2Acos2 2Bsi n2 和r。提示: r q 图 8.19 C D) 2C 2C 2D

44、 2D r 2As in2 边界条件为 () 2Bcos2 把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数 最后的应力分量为 tg (1 cos2 ) (2 2(tg ) tg (1 cos2 ) (2 sin2 ) 2(tg) (1 cos2 ) tg sin2 2(tg) 8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最 图 8.20 小正应力。 解：无孔时板中的应力分量为 xy q 在极坐标系中的应力分量为 r qsin2 ，qsin2 ， r qcos2 假定小圆孔的半径为a。由于孔的半径很小，且远离板边, 所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化

45、，因此这一问 题的边值问题可以写成 (r)r (r )r a 0, 0, lim r qsin2 , lim r qcos2 rr 根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式 f (r)sin2(a) 将上式代入双调和方程，可以得到 d4f2d3f9d2f9df门 dr4r dr3r2dr2r3dr 把上式的解代入式(a)，得 (Ar2 Br4 Cr 2 D)sin2 所以有 r (2 A 6Cr 4 4Dr 2)sin2 (2A 12Br2 6Cr 4)sin2 r (2 A 6Br2 6Cr 4 2Dr 2)cos2 把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求

46、得 4 A q, BO, C 钊,D a2q 2 2 将求岀的常数代入应力分量的表达式，得 4 -)qsin2 r (1 节 节)qsin2 (1卑 r4 2rar)qcos2 (1空 r4 在孔边上，有 4qs in2 因此最大正应力是 4q，最小正应力是 4q。 解法二：将直角坐标系转动 45，得一新的坐标系 Oxy。无孔时，在新的坐标系中 有x q， y q， xy 0。这一问题可以看成是x方向受拉问题和 y方向受 压问题的叠加，所以可以利用书中8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有 r r 0， q(1 2cos2 ) q1 2cos2( /2) 4qcos2 图 8.21 r 2A

47、cos2 2Bs in2 2C 2D 2Acos2 2Bsi n2 2C 2D r 2As in2 2Bcos2 C 边界条件为 ()0，( )2 0， (r ) -q，( r )_ q 将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求岀 /Cos2 q( ctg )， sin /Cos2 q( ctg )， sin q迟 sin 8.7楔形体在侧面上受有均布剪力 q，如图8.21所示，求应力分量。提示：用量纲分析法 确定应力函数的形式，或假定r和r无关。 解：用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得 qq A，B 0，C 0，D ctg 2sin2 所以，有 8.8在弹性半平面的表面上受n个法向

48、集中力R构成的力系作用，这些力到原点的距离为 y ,如图8.22所示，求应力分量。 x i1【x2 (y y)22 2x r 1 R(y y 心2 y i 1【x2 (y y)22， 2x2 n P(y yi) xy x2 (y y)22 竺n P 解：利用 8.10中的式(8.32)和叠加原理，即可 得到本题的应力分量 第九章 9.1设 和 分别是扭转函数和 Prandtl应力函数，试说明方程20和22所 表示的物理意义。 解：方程 20是用扭转函数表示的平衡方程；方程 22是用应力函数表示的 协调方程。 9.2求图9.11所示等边三角形截面杆扭转问题的应力分量、最大剪应力和抗扭刚度GD 提示：设应力函数为 B(x a)(x 、-3y)(x 3y) B(x a)(x2 3y2)。 解：在图9.11中所取的坐标系中，三角形的三条边的直线方程是 x a 0， x、3y0， x . 3y 0 所以猜测Prandtl应力函数为 B(x a)(x、3y)(x3y) B(x a)(x2 3y2) 上式满足在截面边界上为零的条件。应力函数还应该满 足方程 22，将 的表达式代入，可以求得 1 B 十，