实数大小比较的常用方法

1、实数的大小比较的常用方法 、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而 小。 例1比较 与 5的大小。 析解：由于11，5丨宀，且 -5，所以5。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法， 对于两个负数的大小比较，可将它转化成正 数进行比较。 二、平方法 2 2 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数 a、b有：a b a b。 例2比较鮎与讣的大小。 析解：由于(37)263, (7.3)2147，而 63 ，所以 77 3。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内， 通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的 是把含有根号的无理数的大

2、小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是： 在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表 示的数大。 例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、一 a、b、一 b、c、一 c的大小。 _L IJi . b0 ac 图1 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、一 a、b、一 b、c、一 c表示的点画 出来，容易得到结论：c b a a b c- I* -cb-a0abc 图2 四、作差法： 差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据 当a b 0时，得至U a b 当a b 0时，

3、得到a0 ,1 -， 1 5 例2、比较:- -的大小。 解析：因为功-忑，所以爲沁-卫。 五、作商法 比较实数的大小的依据是: a 对任意正数a、b有：b a a a b;1 a b；1 b b 1 a b. 来比较 a与b的大小。 苗_l 1 例1：比较与于的大小。 命-1 1笛-1 1 解：.庁-5 =门1 予 b 时，av b。来比较a与b的大小。 例1：比较V期-二朗与山邓哑的大小。 解而=m + j丽I ,事五丙 +72004 又. .砂 + .:观首 v200 气 + -皿M 045 72004 例2、已知a 1,b 2,试比较与的大小 2a 1 3a 2 解： 2a 1 2a

4、11( =+ =2+因为 a 1， 所以2+1 v 3 aa aa a 3a 2_3b + 2_3+2 因为 b 2,所以 2 3+2 3 b b bb b 因为 2a 1 3a 2a 、 V所以 b ab2a 1 3a 2 例3、设孫屈，则a、b、c的大小关系是（） A、abc B、acb C、cba D、bca 解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。 首先, 1!巴+心屁血 a怎-咏松 1 _斗詔孑斥“ 则bc。又因为 1 1 - b 3 ；，所以 ，则 卜右捉蔬 ab。由此可得：abc。故选A。 因为 ，所以 七、平方法 平方法的基本是思路是先将要比

5、较的两个数分别平方，再根据a0, b0时，可由/ 沪得 到a b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5:比较二力与的大小 解：“4阿虫*y 律*2 =8+烬。 又8+2 斤2 V 8+2 JJ 匕I如V勺厲 八、估算法 估算法的基本是思路是设a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部分的取值 范围，再进行比较。 应-31 例4:比较 X与/的大小 1 解： 3V4 .门30，b0,若要比较形如 a.片一的大小，可先把根号外的因数a与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例6:比较2 1与3一门的大小 解：.2的=扮“=阿，3笛頁刁d厉。 又 2827

6、，.2 7 3。 十、特殊值法 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 1 例1：当时，/，盜，工的大小顺序是。 解: （特殊值法）取工=?，贝U:兀=4 ,圧=2。 2,.匕工。 例2、已知xvyvO,设 M=|x|,N =|y|3P = llll!,Q= ，则MN、P、Q的大小关系是（）。 A MvQvPvN、MvPvQvN C QNPM、NQP、 1,b 2,贝U 2a 1 分析：为填空题，可用赋值法。取 a=2, b=3代入，- -所以填入“？”。 511 例 4 设 a= 20，b= ( 3)2，c = I，d = 3丿，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确 的是（） A.c

7、 v av dv b B.b v dv av c C.a v cv dv b D.b v cv av d 分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小. =2,而旳 v 1v2v9,所 解 因为 a = 2 = 1， b= ( 3) 2= 9， c = =一 -，d = 以cv av dv b.故应选A. 除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比 较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。 能快速地取得令人满意的结 中间值法（还是判不了，就把中人找） 如果ac，cb，那么abo若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好 比该数大时，可选用此法。 的大小。 例1、比较 解析：因为 所以 JTO + 2 -3.5 9 -3 9 例2、比较-3.55和-34的大小 9 44 5 解：-3.55 - 34:5 99 所以-3.55 -3.5 - 3- 即-3.5