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文档简介

1、阶偏 微分方程基本知识 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAIE. 一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法， 因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方 程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 首次积分的定义 从第三章我们知道, n阶常微分方程 艸=，严）, 在变换 （/I1） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 牛=（尤，开，2,，”）， 鴛= （ ） （j = 1,2，”）和B （西,吃,x” ；）在区域G u RZ 内连续可微，九企,j;z/）是（） 的一个解，且虫H0,则匕,.,旺;町=0必

2、是方程（）的一个隐式解。反 du 之0匕,七,，兀;“）是（）的一个隐式解，并且空工0,则从它确定的函数 du =（易,2,兀），必是（）的某个解 V =V（xi,x2,-,a;,;w） 使 %（西，勺，,兀；（西，花，兀）三0 一阶线性非齐次偏微分方程（）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情 况，其解法完全与求解方程（）的解法相同。 例4求解 （1 +Jz_x_）害 + 暑=2.（） 解原一阶拟线性非齐次偏微分方程（5.1.18）的特征方程为 dx _ dy _ dz 1 +Jz_x_y 12 故由空=,积分后得2y-z = C,求得一个首次积分（p.=2y-z,再利用合比 1 2 定理，有

3、 dz 一 dx 一 dy _ dy 一 Jz_x_y 1 积分后得y + 24xy=C2,故求得另一个首次积分为 (p2=y + 2z-x-y, 所以()的通解为 (z - 2 y, y + 2 Jz-x-y )=0. 例5求解 dx du F dx2 du 瓦 =mu, 解（）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例, 其特征方程为 分别积分，得个首次积分 02 = 乜，_1 = ,(Pn = U 故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为 陰工,T = o, 5M X,丿 其中是各个自变量的连续可微函数，解出“得显式通解 习题四 1求解下列偏微分方程 (1) ay dx2 (k0). /、/ du / x du z、du 小 b)莎+(z+x)亦+(x+y)丟=0, 2求解下列初值问题 (1) /-dufduf-du小 Vx + 7y+ Vz = 0 ox oy oz 当兀=1时,u = y 一 Zo (2) (dz 当x = l时,Z = /o(y). 3求解下列偏微分方程的通解。 (1) + 2 + 3 = xyz- (2)(xy3 -2x4) +(2y4 -x3y = 9z(x3 -)

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