一元n次方程的解法

1、分类号0151.1 编号 2012010634 毕业论文 题目 学院 姓名 专业 学号 研究类型 指导教师 提交日期 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导 教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论 文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数 据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引 用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年 月 日 论文指导教师签名： 一元 n 次方程的解法 摘 要 : 讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解 ,并且介绍了方程的一种新 的求根方法 ,通过求其相应矩阵的特征值来解方程 . 关键

2、字: 高次方程 ;根;倒数方程;二项方程;特征值 Special-ary n-equation Solution Abstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations. Keywords h

3、igher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue 目录 0 引言 1 1二,三, 四次方程根的情况 : 1 1.1二次方程求根公式 1 1.2 三次方程求根公式 2 1.3. 四次方程求根公式 3 2 几类特殊高次方程的解法 4 2.1 解方程 xn A 0 4 2.2解方程 au2n bun c 0 4 2.3 解方程 axn bx n 1 cxn 2cx2 bx a 0 5 2.4 求解方程 f x a0 xn a1xn 1 L an-1x an 0 a0 0 6 2.5 求解方程 anx

4、n an 1xn 1a2x2 a1x a0 0 an 0 7 3 利用 Mathematica 软件解方程 9 3.1求解步骤 : 9 3.2 例题展示 9 4 小结 13 参考文献 14 致谢 15 数学与统计学院2012届毕业论文 一元n次方程的解法 0引言 方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来二，三，四次方程的 根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根 式解法，数学家们经历了一个非常艰难的过程第一个证明高于四次方程不能用 根号求解”的是挪威数学家阿贝尔对于一般的高于五次的方程没有一般的根式 解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程，他们能用方程

5、系数的代数式来表 示. 代数学基本定理1每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根. 定义1形如f(x) axn aixn 1 a?xn 2必a.0的方程称为在 一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，f(x)称为一元n次多项式，式中n 为正整数，a,a1,a2,.,an1,an都是属于数域S的常数，称为方程的系数. 定义2 若存在一个常数C,使f (c) 0 ,则称C为多项式f (x)或方程 f(x) 0的根. 1二,三，四次方程根的情况 1.1二次方程求根公式 1.1.1 一般形式ax2 bx c 0 (a 0) 1.1.2根的表达式x12 b b2 4ac 2a 1.1.3根与系数的关系x

6、1 x2-x1x2- aa 1.1.4 判别式b2 4ac 当 0，方程有两个不相等的实根 当 0,方程有两个相等的实根； 当 0，方程有两个复根. 1.2三次万程求根公式 1.2.1 一般形式 ax3bx2 ex d 0 (a 0)(1) 求解过程：对(1)式除以a并设x y 卫.则(1)式可以化成如下形式, 3a 3 y py q 0 (1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根. 对于方程(2)的三个根有： q 2 % 2 q 2 q 2 3 p 3 2 q 2 5 y2J q y2 2 1 q2 2 3 卫 3 3 q 2 3 卫 3 1 12 3 f

7、 f 2 3 y3 v 21 q 卫 23 1 q 卫 1 2 3 2 v 2 3 其中 121 iJ 3 2 , 2 再把,丫23带入x y 解出x1.x2.x3. 2a 例1解方程2x3 3x2 2x 20. 解对方程2x3 3x2 2x 20两边同除以 2,再设x 1 2方程化为， 0, p 3 ?q 代人以上公式解得: 1, y2 2 i,y3 因此解得: 1 2,X2 1.2.2根与系数的关系 X1x2 X3 X2 X3 X1X2X3 123方程(2)的判别式 当0时,方程有一个实根和两个复根； 23 当0时，方程有三个实根；p q 0时，有一个三重零根；q 卫 0 23 时，三个实

8、根中有两个相等； 当 0时，有三个不等的实根. 1.3四次方程求根公式 1.3.1 一般形式 ax4 bx3 ex2 dx e 0 (a 0)( 3) 给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程 x4 bx3 ex2 dx e 0的四个根与下面两个方程的四个根完全相同. 22, xby d xb,8yb4e y 0 2*8y b2 4e x2b 8yb24e- y_by_d0 2翻y b2 4e 其中y是三次方程8y3 4ey2 2bd 8e y e 4e b2d2 0的任一实根. 在方程ax4 bx3 ex2 bx a 0中,设y x ,则原方程可化为二次方程，

9、x 可解出四个根为x1 2 344 ,其中y b “ 4ae 8 22a 若四次方程为ax4 ex2 e 0 ,则设y x2 ,原方程可化为二次方程 ay2 ey e 0,可解出四个根为 捲芒阳一4ae 2a 阿贝尔定理2五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法. 由代数数基本定理可知，任何方程在复数域中至少有一根以下我们来讨论 几类特殊一兀咼次方程的解法 2几类特殊高次方程的解法 定义3形如xn A 0的方程称为二项方程. 2.1解方程xn A 0 解题过程：把A写成A r cos i sin ,则方程xn A 0的n个根是 xk : r cos 一 n 2k. .2k i sink 1,

10、2, ,n 1 nnn 几何说明： 复平面上与数r cos i sin 的n次方根对应的点是一个正n边 形的顶点，这些顶点在以原点为中心，以n、r为半径的圆上，而这个n边形的顶点之 一有辐角一. n 定义4形如au2n bun c 0的方程称为三项方程,其中a,b,c,n都不等于 0,n为整数 2.2 解方程 au2n bun c 0 解题过程：I令un x,代入以上方程得 ax2bx c 0 ,由此解出x,则 un x 0是一个二项方程，从而再解出u,方程的解. 1 1 例 2 士 W 3 0 u u 1 解令P x,代入方程得x2 4x 3 0,求解此方程得X11,X23,从 u 1 1

11、而有1,或2 3,解这两方程，得出原方程的解为 uu 51,U2 , 1 1 1,出，U4 ; EiyDnvaliisl 1 原方程的解为：石 ,x2 1 2 例7求解方程2x5 5x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0Ut|8= 1 + 1; i -1 i,x3 1 i 5 2 13 2 解取A 13 2 5 2 1 13x3 13x2 5x 2 0. 0 0 0 1 0 求矩阵A的特征值，打开Mathematica软件，输入Eigenvalues A命令,运行得 出结果 运行过程: 师1： Clear A: A - -5/ 2,0, fl, 0, 13 f2t

12、 1, 0, C, f -5/ = r叫叭叭丄几 -1. 0, 0, 0, ElgenvaluesA Out囲产 b3- 7 丄 2r -N + /? 即原方程的解: 2 亦, X2 2必 1, X4, X523 2 例8解方程x5 2 *4 4x3 8x2 16x 32 0. 2 1 0 0 0 4 0 1 0 0 解取A 8 0 0 1 0 16 0 0 0 1 32 0 0 0 0 求矩阵A的特征值，打开Mathematica软件，输入Eigenvalues A命令,运行得 出结果 运行过程: infi O-= CJLumir AJ 7 A = -2 y 1 x . 一 le Mo ro

13、 rO ,X f -32 *o Ho fo ,oyy EZXval us s A C_J Ljt 1= r _L + i _? r _L iL f 1 立、j M1 jl V 3 原方程的解： x12, x21. 3i, x31. 3i, x41 3i, x513i. 例 9 解方程 32x516x48x3 4x2 2x 10. 10 0 0 0 10 0 解取A -0 0 10 1 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 32 求矩阵A的特征值，打开Mathematica软件，输入EigenvaluesA命令，运行得出 结果 运行过程: tj Untitledl * 原方程的解: X1 x

14、211- 3i 4 x311- 3i 4 X5 11 3i 4小结 通过以上方程的求解过程可以看出，求解一个高次方程的根非常困难，利用 Mathematica软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利 用Mathematica软件检验所求得方程根的正确性,因此，利用这种求解高次方程的 方法给求解高次方程带来了极大地方便 参考文献： 1 王萼芳，石生明高等代数M.第三版高等教育出版社：2003.7:27 2 安敏,彭亚绵，杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究J.高校讲台.2007.12:134-135 3 罗芳求解高次实系数代数方程的Excel算法J.雁北师范学院学报.200

15、4.20(5):60-61 4 张景晓.四类高次代数方程的升幕解法J.聊城大学学报.2003.16(3):20-22 张景晓，董立华，连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解J.河北理工教学研 究.2003.2:5-7 张景晓，连秀国，王俊青.一类实系数高次方程的求解J.数学通报.2003.8:42-43 7张栋恩，许晓革.高等数学实验M.高等教育出版社.2004.7 致谢: 在天水师范学院的四年学习过程中，我得到了数学系各位领导，老师及班主 任的悉心帮助和支持，使得我不仅学到了许多知识，也使我在大学这个社会群体 中得到了很好的锻炼和发展同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础 在此，谨向他们表示我衷心的感谢. 本