导数知识点各种题型归纳方法总结

1、导数的基础知识 导数的定义: 1.(1).函数 y f (x )在乂x0 处的导数:f (-0)y| -冷讥 f(Xx) f(X) f(x X)f(x) X 0X 求函数的增量: yf (xo x) f (x0)；求平均变化率: f(Xo x) f(x). ； 取极限得导数: y f(x0)讥二 (2).函数 y f (x)的导数:f (x) y lim 2. 利用定义求导数的步骤: (下面内容必记) 二、导数的运算: (1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式: C 0(C为常数):(xn) n 1/ 1 i / nx ；(匚)(x x n) n nx (卩显) m n (x ) m

2、1 m - x n (sin x) cosx ；(cosx) sin x (ex) (ax) ax ln a(a 0,且a 1)； 1 (ln x) x (log a x) -(a 0,且 a 1) 法则 1： f(x) g(x) f(x) g(x)； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则 2： f(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)( 口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则 g(x)2 3：単f(x)g(x) f；x) g(x)(g(x)0) g(x) 5 (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号 (2)复合函数y

3、 f(g(x)的导数求法： 换元，令u g(x)，则y f (u)分别求导再相乘 y g(x) f(u)回代u g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 已知 1、 2 x x 2x sin ，则f 0 2、 exsinx，贝卩 f 3. f (x) =ax 3+3x2+2 , f ( 1) 4，则 a= 10B.13 三3导数的物理意义 c.16 D.19 3 1.求瞬时速度：物体在时刻 to时的瞬时速度 Vo就是物体运动规律 S f t在t to时的导数f t0， 即有V0f t0 。 =s/(t) 表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。 四.导数的几何意义: 函数f x在X。

4、处导数的几何意义，曲线y f X在点P X。，f Xo处切线的斜率是k f Xo 。于是相应的切线 方程是：y y0 f Xo x Xo。 题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况： (1) 曲线y f x在点PXd，fx0处切线：性质：k切线fXd。相应的切线方程是：yy0fx0 xXo (2) 曲线y f x过点P Xo,yo处切线：先设切点， 切点为Q(a,b),则斜率k= f (a)，切点Q(a,b)在曲线 y f x上，切点Q(a,b)在切线y y f a x Xo上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b的方程组，解方 程组来确定切点，最后求 斜率k= f (a)，确定切线方程。

5、 例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：(1)kyLx。3xo26xo 6 3(xo1)23 当xo=-1时，k有最小值3, 此时P的坐标为(-1 , -14 )故所求切线的方程为3x-y-11=O 五函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导， (1) f (x) Of(x)该区间内为增函数； (2) f (x) Of(x)该区间内为减函数； 注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。 (3) f (x)在该区间内单调递增f(x) O在该区间内恒成立； (4) f (x)在该区间

6、内单调递减f(x) O在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性： 步骤： (1)求导数 y f (x) (2) 判断导函数y f (x)在区间上的符号 (3) 下结论 f (x) Of (x)该区间内为增函数； f (x) Of (x)该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数yf (x)单调区间的步骤为： (1)分析 y f (x)的定义域；(2)求导数 y f (x) (3) 解不等式f (x)0 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4) 解不等式f (x) O，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问

7、题) 思路一 .(1) f (x)在该区间内单调递增f(x) O在该区间内恒成立； (2) f (x)在该区间内单调递减f (x) O在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 集。 注意：若函数f (乂)在(a, c)上为减函数，在(c, b) 上为增函数，则x=c两侧使函数f (x)变号，即x=c为函 数的一个极值点，所以 f(c)0 In x 例题若函数 f (X)，若 a f(3),bf(4),cf(5)则() x A. a b cB. c b aC. c a b D. b a c 六、函数的极值与其导数

8、的关系： 1. 极值的定义：设函数 f(X)在点x0附近有定义，且若对 x0附近的所有的点都有 f(x) f(x0)(或f (x)f(x0), 则称f(Xo)为函数的一个极大(或小)值， X。为极大(或极小)值点。 可导数f(x)在极值点X。处的导数为0(即f(x。) 0 )，但函数f(x)在某点xo处的导数为0，并不一定函数f(x)在 该处取得极值(如 f (x) x3在x0 0处的导数为0,但f (x)没有极值)。 求极值的步骤： 第一步：求导数f(x)； 第二步：求方程f (x)0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根X。附近，从左到右，导数 f (X)的符号如何变化， 若f (X)的符

9、号由正变负，则f(x0)是极大值； 若f (X)的符号由负变正，贝yf(x0)是极小值； 若f (X)的符号不变，则f (X0)不是极值，X0不是极值点。 2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域 D内存X0,使得对任意的x D，都有f (x) f (x0),(或f(x) f(x0)则称f (x0) 为函数的最大(小)值，记作ymaxf (X0)(或yminf(X) 如果函数y f (X)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小 值。 求可导函数f (X)在闭区间a,b上的最值方法： 第一步；求f (x)在区间a,b内的极值； 第二步：比较f

10、(x)的极值与f (a)、f (b)的大小： 第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2. 函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值) 1 3、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x) x 的极大值为 2，极小值为2。 x 注意：当X=X0时，函数有极值f /(X

11、0)= 0。但是，f (X 0) = 0不能得到当X=X0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 f(X)的符号 f (x)单调性 f (x)与X轴的交点且交点两侧异 口 号 f (X)极值 f (x)的增减性 f (x)的每 点的切线斜率的变化趋势 (f (X)的图象的增减幅度) f (X)的增 f (x)的每- 一点的切线斜率增大( f (X)的图象的变化幅度快) f (X)减 f (x)的每 点的切线斜率减小( f (X)的图象的变化幅度慢) 例 1.已知 f(x)=e

12、 x-ax-1. (1) 求f(x)的单调增区间；(2)若f(x )在定义域R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存在a,使f(x)在(-g, 0 上单调递减，在0, +8)上单调递增若存在，求出a的值；若不存在，说明 理由. 解：f (x)=ex-a.(1)若 a0 恒成立，即 f(x)在 R上递增. 若 a0,e x- a0,二 ex a,x Ina.f(x)的单调递增区间为(Ina,+ g). (2) v f ( x)在R内单调递增， f (x)0在R上恒成立. /ex-a0,即卩 aex在 R上恒成立. a0,.a0,=0,0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁

13、的范围就把谁作为主元)； 例1：设函数y f (x)在区间D上的导数为f (x)，f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上, g(x) 0恒成 令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a) 立，则称函数y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数 m是常数，f(x) 12 3 小 2 mx 3x T (1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围; (2)若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数” ，求b a的最大值. 解：由函数f (x) x4 mx3 g(x) x2 (i) Q y 12 6 mx 3 f (x)

14、在区间 3x2 2 0,3 上为 则 g(x) x2 mx 30 x3 (x) 3 “凸函数” 2 mx 3x 2 在区间0,3 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 上恒成立 g max (x) g(0) g(3) 9 3m 3 0 解法二：分离变量法： 当 x 0 时， g(x) x 3 时，g(x) x2 3 2 x mx 2 x mx 等价于m 30恒成立, 0恒成立 而 h(x) 的最大值 x (0 x3 )恒成立, x3 )是增函数，贝 y hmax(x)h(3) m 2 /当m 2时f (x)在区间 则等价于当m 2时g(x) 变更主元法 再等价于F (m) mx x2 a,

15、b上都为 2 x “凸函数” mx 0恒成立 2恒成立 2) -2 例2:设函数f(x) (i)求函数f 132 x 2ax 3 (x)的单调区间和极值; (n)若对任意的 x a 1, a (二次函数区间最值的例子) 解: (i) f (x) x2 4ax 3a Q0 a 1 f (x) F( F(2) b 3a2x b(0 (视为关于 2 2x x 3 x23 2x 1,b R) 2,不等式 f (x)a恒成立，求a m的一次函数最值问题) 的取值范围. x 3a x a a 3a 令f (x)0,得f(x)的单调递减区间为(一 3 .当 x=a 时，f (x) 极小值=a 3 b； 4

16、(n)由| f (x) | wa,得：对任意的x ,8)和(3a，+) 当 x=3a 时，f (x) 极大值=b. 22 a 1,a 2, a x 4ax 3a a恒成立 则等价于g(x)这个二次函数gmax(x) a gmin(x) a 22 g(x) x4ax 3a 的对称轴 x 2a Q 0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法) g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 即定义域在对称轴的右边, 2 2 g(x) x 4ax 3a在a 1,a 2上是增函数. g(x)max g(a 2) 2a 1. g(x) min g(a 1) 4a 4. (9 g(a 2) 4a

17、 4 a,解得 4 a 1 g(a 1) 2a 1 a 5 又0 a 1, .4 a 1. 5 于是，对任意x a 1,a2，不等式恒成立，等价于 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：f (x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3 ；已知函数f(x) x3 ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3， 3 t 6 2 g(x) x3 x2 (t 1)x 3 (t 0) (i)求a,b的值； (出) 解: x 1,4时，求f (x)的值域； x 1,4时，不等式f(x) g

18、(x)恒成立，求实数t f/(1)3 b 1 a (i) f/(x) 3x22ax . 解得a b 的取值范围。 (n)由(i)知, f (x)在 1,0上单调递增，在 0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又 f( 1)4, f (0) .f (x)的值域是 0, f (2) 4,16 4, f (4)16 新(t1)x 3 思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即 (川)令 h(x) f (x) g(x) x 1,4 t(x2 2x) 2x 6分离变量 思路2： 二次函数区间最值 二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1转化为f(x) 0或f(x) 0在给定区

19、间上恒成立，回归基础题型 解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减 区间的子集； 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”，要弄清楚两句话的区 别：前者是后者的子集 13 a 12 例 4:已知 a R，函数 f(x) xx (4a l)x . 12 2 (I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； (n)如果函数 f(x)是(，)上的单调函数，求 a的取值范围. 1 2 解：f (x) x (a 1)x(4a1). 4 1 3 1 2 (i)： f (x)是偶函数，二 a

20、1. 此时 f(x)x3 3x， f (x) x 3 1 2 例 5、已知函数 f (x) x (2 a)x (1 a)x(a 0). 3 2 (I )求f(x)的单调区间； (II )若f (x)在0，1上单调递增，求a的取值范围。 子集思想 (I) f(x)x2(2 a)x 1 a(x 1)(x1a). 1、当 a0时,f (x) (x1)20恒成立， 当且仅当x 1时取“=”号，f (x)在(，)单调递增。 3， 124 令 f (x)0，解得：x 2,3. 列表如下: x (-a, -2 J3) -2品 (- 2 J3,2 73) 23 (2 J3 ,+ a) f (x) + 0 0

21、+ f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：f (x)的极大值为f( 2.3) 4.3，f (x)的极小值为f(2i3)4.3. (n)：函数f (x)是(，)上的单调函数， 二f (x) 1x2 (a 1)x (4a 1) 0，在给定区间R上恒成立判别式法 4 2 1 2 贝U(a 1)2 4 - (4a 1) a2 2a 0, 解得：0 a 2. 4 综上，a的取值范围是a0 a 2. 2 、当a 0时，由f (x) 0,得Xi1,x2a 1,且为x?, 2、0,1 a 1, a 单调增区间：(，1),(a1,) 单调增区间：(1,a 1) (II )当Q f (x)在0,1上单

22、调递增，贝U 0,1是上述增区间的子集: 1、a 0时，f(x)在(，)单调递增 符合题意 1 0a 1 综上，a的取值范围是0，1。 三、根的个数问题 提型一函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即卩方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增 后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式(组)即可； 1 (k 1)1 例6、已知函数f (x)x3x2， g (x)kx，且f (x)在区间(2,)上为增函数. 3 23 (

23、1) 求实数k的取值范围； (2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 解：(1)由题意f (x) x2 (k 1)x / f(x)在区间(2,)上为增函数， 二f (x) x(k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量法) 623 即k 1 x恒成立，又 (2)设 h(x) f(x) h (x) x2 令 h (x) I 当 当 由于 (k 1)x 0得x k或 x 2 , k 12，故k 1 k的取值范围为k 1 z . x3 (k 1) 2. g(x)x kx 32 (x k)(x 1) 1 由(1 )知 k 1 , 1 时，h (x) (x x

24、(,k) k (k,1) 1 (1,) h(x) 0 0 h(x) / 极大值 .3. 2. kk1 623 极小值 k 1 2 / 欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 1)20 , h(x)在R上递增，显然不合题意 1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表： h(x) 0有三个不同的实根，故需 即(k 1)(k2 2k 2) 0 k2 1，解得 k 1.3 k2 2k 2 0 综上，所求k的取值范围为k 13 例9、已知函数f(x) (2)令 g(x) = -x4+ f (x) (x R 4 a 3 i 2 x x , (a R,a 0) (1)求f (x)的单调

25、区间; 3 有且仅有3个极值点，求a的取值范围. 解: (1) f (x) ax2 x x(ax 1) 1 1 当a 0时，令f (x)0解得x 或x 0，令f (x)0解得x 0 , aa 11 所以f (x)的递增区间为(，丄)(0,)，递减区间为(丄,0). aa 11 当a 0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,)，递减区间为(，0)(,). aa 1a1 (2) g(x) x而当a2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点 x方程x ax 1 0有两个非零实根，所以a 4 0, a 2 或 a 2 x2有且仅有3个极值点 4 32 3222 g (x) x ax x x(x

26、 ax 1) =0 有 3 个根，则 x 0 或 x ax 10 , a 2 其它例题: (一) 最值问题与主元变更法的例子 已知定义在R上的函数f(x) ax3 2ax2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是一11. (I)求函数f (x)的解析式； (n)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围 解：(I) Q f (x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4 ax ax(3x 4) 4 令 f (x) =0,得 Xr 0,X22,1 3 因为a 0,所以可得下表: x 2,0 0 0,1 f(x) + 0 - f(x) / 极大 因此 f

27、(0)必为最大值， f (0) 5因此 b 5 , Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2), 即 f( 2)16a511 , a 1 , f(x) x3 2x25. (n)rf (x)3x24x, f (x) tx 0等价于3x2 4xtx 0, 令g(t) xt 3x 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围， 为此只需g( 1)0，即3x2 5x 0, g (1) 0 x2 x 0 解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是0 , 1. (二) 根分布与线性规划例子 例：已知函数f(x) 2x3 ax2 bx c 3 (I )若函

28、数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行,求f (x)的解析 式； (n )当f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时,设点M(b 2, a 1)所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程. 2 解：(I ).由f (x) 2x 2ax b ,函数f (x)在x 1时有极值， 2a b 2 0 又 f(x)在(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行, f (0)1 c 1 f (0) b 3 故 f (x)2x3 3 )2 3x (n)解法一：由 f (x) 2x2 2a

29、x b f(x)在x (0,1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小值， f (0) f (1) f 令 M(x, y), b 即 2a 4a 易得A( 2, 0), 2y 4y 故点 M所在平面区域S为如图 ABC, B( 2, 1), C(2, 2),D(0, 1),E(0, I), S ABC 2 同时DEABC的中位线, S DEC S四边形 ABED 3 所求一条直线L的方程为： S分为面积比为 L方程为y kx ,它与AC,BC分别 交于F、 G, 则 k 0, S四边形DEGF 1 由 y kx 得点F的横坐标为 xF 2y x 2 0 由 y kx 得点G的横坐标为 Xg 4

30、y x 6 0 1 3 s四边形 DEGF S OGES OFD 2 2 4k 另一种情况设不垂直于 x轴的直线L也将 的两部分, 设直线 1:3 -1 1-1 即 16k2 2k 5 0 12 2k 1 1 解得：k或 2 k 5(舍去)故这时直线方程为 8 1 综上,所求直线方程为：X 0或y 2 .12分 (n)解法 由 f (x) 2 2x 2ax b及f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值 f (0) 0 f (1)0 即 f (2) 0 b 0 2a b 20 4a b 80 令 M (x, y), x 20 2y x 20 故点M所在平面区域 S为如

31、图 ABC, 4y x 60 易得 A( 2,0), B( 2,1),C(2, 2),D(0, 1)，E(0, 3)， S ABC 2 同时ABC的中位线， S DEC S四边形ABED 3 所求一条直线L的方程为：x 0 另一种情况由于直线 BO方程为： B0与AC交于H , 由y 2y 1 x 2 x 2 得直线 L与AC交点为：H ( -S ABC 2, Sdec AOH 2 2 S ABO S -1 所求直线方程为 (三) 根的个数问题 例已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a 0)的图象如图所示。 若函数 的解析式; (出) (I)由图可知 若 解：由题知:

32、 依题意 3a 求c、 d的值; f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x y 110 ,求函数f (x) x 5,方程f(x) 8a有三个不同的根，求实数 2 f (x) 3ax 2bx+c-3a-2b 函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且f 2b 0 c 的取值范围。 12a 4b 3a 2b 3解得a = 1 8a 4b 6a 4b 3 5 所以 f ( x ) = x3 - 6 x2 + 9 x + 3 (出) 依题意 f ( x)= ax3 + bx2 - (3 a + 2 b ) x + 3 ( a0 ) 2 f x = 3 ax + 2 bx -3a - 2 b