复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结_第1页
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1、精品文档 第六章留数理论及其应用 1.留数 1. （定理6.1柯西留数定理）： dz = 2 m Jc=i 2. （定理6.2）:设a为f的m阶极点, 事（町 （尸 其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U 3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点, Ref(z),a) = 2; (2) Q(z股有实零点 于是有 f(x)dx 2ui 工 Res(f(z)tau Jrtiajt 0 注：以fg可记为PM广；x)dx 丿；黔厂心型积分 3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5=恥叫0彰丘充金走 上连续，且 lim鸟=0 在里上一致成立。则 lim f幻(胡叫E = o rn 4.

2、 (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件: (1) Q的次数比P高; (2) Q无实数解； (3) m0 则有 2ni 1 X) Resff(2jeinfa 特别的，上式可拆分成: 及 四. 计算积分路径上有奇点的积分 5. (引理6.3小弧引理)：S m询 lim(z-a)f(2)=X r-+D 于5r上一致成立，则有 limf /wdz=i(02- 五. 杂例 六. 应用多值函数的积分 3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数: fM 2. (引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n阶零点，贝U a必为函数的一阶极点，并且 (2)设b为f(z)的m阶极点，贝U b必为函数的一阶极点，并且 Res 3. (定理6.9对数留数定理)：设C是一条周线，f(z)满足条件： (1) f(z)在 C的内部是亚纯的； (2) f(z)在 C上解析且不为零。 则有 票内零点佃极点个数= |2jrtJ f(z)2ji 注1:当条件更改为：(1) f在Int(C)+C上解析；(2) C上有 (2) 在 C上，|f(z)| 増| 则函数f(z)与f(z)+甲(z)在C内部有同样多(几阶算几个)的零点，即 N( ,C)=N(f,

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