大一高等数学复习题(含答案)

1、复习题 单项选择题: 1 1、 f (x) lg|x 5 的定义域是(D ) A、 ,5 (5, )B、 ,6 (6,) C、 ,4 (4, )D、 ,4 (4,5) 5,6(6,) 2、 如果函数 f(x)的定义域为1， 2，则函数 f(x)+f(x 2)的定义域是( B ) A、 1，2 B、 1,血 C、 忑运 D、 Q 1 1,问 3、函数 y lg( x21 x) lg( . x21 x)( d A、是奇函数，非偶函数 B、是偶函数，非奇函数 C、既非奇函数，又非偶函数 D、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为 R，且原式=lg(x2+l-x2)=lg1=0 4、函数f (x) 1

2、x2(0 x 1)的反函数 f lx)( C ) A、.1 x2 C、.1 x2( 1 x 0) D、1 x2( 1 x 0) 1 一1, n为奇数 n 一 1, n为偶数 n 5、下列数列收敛的是( C ) A、 f(n) ( 1)n1b、 f(n) n 1 一,n为奇数 c、f(n) n 一，n为偶数 n 1 D、 f(n) 2n 2n 1 2n 2n 解：选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C的数列极限为0 6、设 yn0.11 个 1，则当 n 时，该数列( A、收敛于0.1 B、收敛于0.2 1 1 解：yn0.11 1- 10 102 7、“ f(x)在点x

3、=X0处有定义” A、必要条件B、充分条件 1 C、收敛于一 9 11 - (1 10n9 D、发散 X0时f(x)有极限的(D 充分必要条件 ) D、无关条件 8、下列极限存在的是(A ) 0 0 lim x(x 1) 1 BTxm 厂 C、 lim x x21 解: A中原式 lim(1 x 9、 lim x x2 2x sin x 2x2 sin x 解: 1 2 分子、 分母同除以 10、 lim x 1 2 sin(x 1) x 1 解: 原式 =m1(x 1) 11、 A、 解: 13、 C、 C、0 D、不存在 x2，并使用结论 无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量” F列极限中结

4、果等于 e的是( x sin x)亦 x lim (1 x x sin x)五 x lim (1 )x D、 lim (1 x x x 0 A和D 的极限为 2，C的极限为1 函数y 1 的间断点有( C ) ln |x| 1 B、2 C、3 D、4 sin x c、 解: 12、 个 间数点为无定义的点，为 下列函灵敏在点 1 f(x) 1 - x 1 f9x) ex sin x sin x ) x -1、0、1 x=0外均不连续，其中点 1 B、 f (x) sinx x x=0是f(x)的可去间断点的是( 1 x D、 f(x) e ,X x e , x 解：A中极限为无穷大，所以为第二

5、类间断点 B中极限为1,所以为可去间断点 C中右极限为正无穷，左极限为0,所以为第二类间断点 D中右极限为1,左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是( A ) A、 B、 C、 D、 如果函数 如果函数 如果函数 如果函数 f(x)在点x=xo处连续，则f(x)在点x=xo处可导 f(x)在点x=xo处不连续，则f(x)在点x=xo处不可导 f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续 f(x)在点x=xo处不可导，则 15、设 A、6 16、设 si na f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),贝y f0)=( B、3 C、2 D、0 f (a) f (a

6、 f(x)=cosx，贝V lim x 0 x sinaC、cosa f(x)在点x=xo处也可能连续 A x) D、 cosa 解: 因为原式=lim f(a) f(a x) x 0 f (a) x 17、 y cos2 2x，贝U dy ( D ) 2 A、(cos 2x) (2x) dx 2 B、(cos 2x)dcos2x C、2cos2xs in 2xdx D、2cos2xdcos2x 18、f(x)在点x=X0处可微，是f(x)在点x=X0处连续的( C ) A、充分且必要条件B、必要非充分条件 C、充分非必要条件 D、既非充分也非必要条件 19、设 y xn e 2x，则 y(n

7、)(0)( A ) A、 n! ( 2)nB、 n!C、 n! ( 2)n 1 D、n!-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是(A ) A、y=x2-5x+62, 3 1 B、y TT? 0，2 x x 1, x 5 C、 y xe 0, 1D、y 1, x 5 21、 求下列极限能直接使用洛必达法则的是( B ) sin x sin x tan5x A、 lim B、 limC、 lim x x x 0 x x - sin3x 2 22、 设 f(x) 2x 3x 2，则当x趋于0时(B ) o. m n X 、 D A、f(x)与x是等价无穷小量B、f(x)与x是同阶非等价无

8、穷小量 C、f(x)是比x较高阶的无穷小是 D、f(x)是比x较低阶的无穷小量 2 . 1 x sin sin x 解：利用洛必达法则 lim 型iim2x 3x x 0 xx 0 2 n 2xln2 3xln3 -0啊 In 2 In 31 23、函数 f(x) ex e x在区间 (-1, 1 )内( A、单调增加 24、函数y B、单调减少 x 亠 牙在(-1, 1) 1 x2 B、单调减少 C、不增不减 内(A ) 有增有减 A、单调增加 25、函数y=f(x)在x=xo处取得极大值，则必有( A、f(xo)=OB、f ”xo)O C、f (xo)=0 且 f (xo)0是函数f(x)

9、在点x=xO处以得极小值的一个( B ) A、必要充分条件B、充分非必要条件 C、必要非充分条件D、既非必要也非充分条件 27、函数y=x3+12x+1在定义域内( A ) A、单调增加B、单调减少C、图形上凹 D、图形下凹 28、设函数f(x)在开区间(a, b)内有f (x)0且f (x)0，则y=f(x)在(a, 6内(C ) A、单调增加，图形上凹B、单调增加，图形下凹 C、单调减少，图形上凹D、单调减少，图形下凹 29、对曲线y=x5+x3,下列结论正确的是( D ) D、有1个拐点 A、有4个极值点B、有3个拐点C、有2个极值点 22 x 30、若 f (x)dx x e C，则

10、f(x)= ( D ) D、2xe2x(1 x) 2z2 z2 2x A、 2x e B、 4xe C、 2x e A、x2 B、x2+C C、x2+1 D、x2+2 32、d arcs in x ( B ) A、arcs in x B、 arcsin x +C C、arccos、x 33、设f (x)存在, 则 df(x) ( B ) A、f(x) B、f (x) C、f(x)+C D、f (x)+C 34、若 f(x)dx x2 C，则 xf(1 x2)dx (D ) A、2(1 x2)2 C B、 2(1 22 x ) C 1 c、； (1 x2)2 C D、 1 22 (1 x ) C

11、 2 2 31、已知 y 2x，且 x=1 时 y=2，贝U y=( C ) 厂 D、 arccos i x +C 解: 2 1 2 2 xf (1 x2)dxf (1 x2)d(1 x2) x22 )2 C 35、 设 f (x)dx sin x C，则 f (arcsin 、1 x2 arcsinx+C B、sin 1 x2 c、 1 (arcsi nx) CD、x+C 解: 原式= f (arcsin x)d arcsinx sin( arcs inx) c x 36、 设 f (x) e x，则 皿2dx x B、 ln x CC、 D、 In x+C 解: 原式=f (ln x)d

12、ln x f (In x) ln x 37、 设 xf (x)dx arcs inx f(x)dx c、 ：.(厂/)3 c 33 (C)2 解: xf (x)dx arcs inx 23(1 22 x ) xf(x) _1_ 1 x2 即 f (x) 所以 dx f (x) c、 解: 39、 40、 C两端关于 x求导得 x .1 x2dx 2 1 x2d(1 x2) 31 x2)2C 若sinx是f(x)的一个原函数，则 xcosx-s in x+C xf (x)dx B、xsinx+cosx+C xcosx+s in x+C 由sinx为f(x)的一个原函数知 D、xsinx-cosx

13、+C f(x)=cosx，则使用分部积分公式得 设 f (ex)1 x，则 f(x)=( 1+lnx+C B、xlnx+C C、 2 x xC 2 D、xlnx-x+C F列积分可直接使用牛顿一莱布尼茨公式的是 5 x3 d 2 dx 0 x21 1 dxdx 1 -1 x2 c、 xdx 0 2 (x25)2 1 xdx 1 ；xln x 解：选项A中被积函数在0, 5上连续，选项 B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上 连续 41、 | si nx|dx ( A ) T 2 20|si nx|dx 0 C、2( sin x)dx 2 2 sin xdx 0 42、 使积分 2 0kx(1

14、 x2) 2dx 32的常数 k=( 40 B、 -40 C、 80 D、 -80 解: 原式=k 2 2 (1 x2) 2d(1 2、 k x) 2( -) x 2k 5 32 43、 设 f (x) 2x .1 1, 1 2ln2 f(x)dx 1(2x 44、 x y 0(t 1)2(t x,0 0，则 1 1 f(x)dx A、 解: 45、 解: 1 2ln2 1)dx 1 2ln2 2l n2 1 .1 x 0 2)dt，则 dy dx -1 D、 -2 dy/dx=(x+1) 2(x+2) 下列广义积分收敛的是( 1 dx 0： 1 dx 0、x 四个选项均属于 1 dx 0 二

15、、填空题 1、exdx C、 dx (1 ln 2 1 dx 0、 -，该广义积分当 xp 2x x) 0 -(1 13 3 X) 15 2ln 23 1 dx 0/ p1时收敛，大于等于 时发散 解：原式=ex ex e dx ee dex ex ee +C 2、已知一函数的导数为 f(x) 且当x=1时，函数值为 则此函数 F(x)=(arcsinx F (x) f (x) 解： F (1) arcsi n1 dx arcs inx C C 3、曲线y 解: 4、 2 2 (x 2 解: 5、若 解: 6、设 x2 e 的上凸区间是（ x22 2xe , y 2(2x sin2 x) co

16、s3 xdx x3 cos2为奇函数 2 sin2 xcos2 xdx 2 f（x）的一个原函数是 f (x) f(x) f (x) ln(x 解: f (x) f (0) 7、曲线 42 0,b0至少有一个正根，且不超过a+b 参考答案：(写出辅助函数1分，证明过程4分) 令 f(x)=x-asinx-b 显然f(x)是一个初等函数，所以在 0，a+b上连续 又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b=0 若f(a+b)=0,则a+b为方程的根 E )=0 若f(a+b)0，由零点存在定理可知，在(0, a+b)内至少存在一点E,使得 f( 此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过 a

17、+b的正根 5 3、证明方程x x 10有且仅有一个小于1的正实根. 参考答案： (一) 先证存在性 设 f (x) x5 x 1,则 f(x )在0,1连续, 且f(0)1,f (1) 1,由零点定理 x0 (0,1),使f(x0) 0,即为方程的小于1的正实根 (二) 再证唯一性 假设另有x1 (0,1)必 x0,使f(xj 0. 因为f(x)在x0,X1之间满足罗尔定理的条件， 所以至少存在一个(在x),X1之间)，使得f() 0. 但f (x) 5x4 10,(x (0,1),这与f ( )0矛盾，假设不成立 综上，方程x5 5x 1 0有且仅有一个小于1的正实根. 4、证明当 0 a b