上海大学插班生考试题及答案

1、上海大学 20082009 学年秋季学期试卷 课程名： 高等数学A (一) 课程号： 学分：6 应试人声明： 我保证遵守上海大学学生手册中的上海大学考场规则，如有考试违纪、作 弊行为，愿意接受上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定 的纪律处分。 应试人应试人学号应试人所在院系 1 e A 连续点 B 可去间断点C 跳跃间断点D 第二类间断点 2. 当 x 0 时，f (x) x si nx 是 g (x) xsi nx 的()。 A 低阶无穷小B 高阶无穷小 C.等价无穷小D .同阶无穷小但非等价无穷小 3. 设IJm f (x)0, lim g(x) 0, f(x)g(x) 0 ,则成

2、立()。 B .limf(x)| 咖 0 x 01 C. lim x 0 D.limf(x) g(x)0 x 0 4. 设f (x)满足条件lim X x f(x) x f(x0 2 x0 A 0 ,贝U f (x)是( 5. A.极小值 B.极大值 C . 设ex是函数f(x)的一个原函数, 不是极值 D .不能确定是否是极值 xf(x)dx ( )o A. ex(1 x) C B. ex(1 x) C . ex(x 1) C D .ex(1 x) C 得分评卷人 二、填空题: (每小题 分，共15 分) 1 6. 已知函数f(x)的定义域是1,1，贝U函数f()的定义域是 x 1 ln(1

3、 2x) 小 x 0 7. 为使函数f (x)x ，在定义域内连续,则a =。 x a , x 0 1 8. 函数f (x) x2 -的上凸区间是 。 x 得分 评卷人 1 10.曲线 y xex 11、 lim x 0 ln(arcsin x) cot x 9. 若 f (x)dx x2 C，贝U xf (1 x2)dx 。 1的铅直渐近线是。 三、计算下例各题：(每小题5分，共40分) 12、lim x x 13、如果函数y(x)由方程exy 2x y所确定，求y (0) 2 1 15、 16、 17、 14、设y f(sin ),其中f是可微函数，求y (x)。 x cos、x 1dx

4、ln x 2dx (1 x) 证明不等式：x elnx (0 x )。 18、已知 f (ex) sinx cosx，求 f(x)。 1 19.在曲线y -(x2 1) ( x 0)上任意点P作切线，切线与x轴交点是M，又从点P 2 得分 评卷人 向x轴作垂线，垂足为 N。试求三角形PMN面积的最小值。 求解下列各题：(每小题5分,共10分) n 1 f(a -) 20、设函数f(x)满足：f(a) 0, f (a)存在，求极限 1 lim。 nf(a) 21、设函数f (x)满足f (x) (f (x)2 2x，讨论x 0是否是函数f (x)的极值点。 得分 评卷人 22、设函数f (x)

5、六、求解下列各题(每题6分，共12分) (x 1)g(x),g(x)在 1,2 上有二阶导数，且 g(1)g(2) 证明：在区间1,2 内至少存在一个点，使得 23、设函数f(x)是单调函数，且二阶可导，记 g(x)是f (x)的反函数, 1 已知：f (1) 2, f (1) r, f (1) 1,求：(1) lim f(1 X)f(1) ；(2) x 0 2x g。 6. 三、 11. 分) 上海大学2008-2009学年度秋季学期 高等数学A( 1) 考试试卷答案(A卷) 单项选择题：(每小题3分，共15分) 2. B 填空题: ,0 (2, 求解下列各题 lim x 0 ln( arc

6、s inx) cotx 12. lim x lim x 4 .A 5 .C (每小题3分，共15分) 、C “1 ).7.2 .8.0,1.9. 2 :(每小题5分，共40分) arcsinx 1 .2 sin x C .10. x 0 lim 0 1 x,ln y ln(x ex) lny lim 皿3lim xVx (2分) (2分) x 1 e x x_e_ lim x lim x .2 sin x .1 (2 分) 0 arcs in x 2 x lim 0 (1 x 0 x ex x 1 (2分) 1 e 1 x 1 lim x ex x e (1 分) x 13如果函数y(x)由方

7、程exy 2x y所确定，求y (0). 解:y(0) 1(1 分)exy(y xy)2 y , y (0) 1 (2 分) exy(y xy)2 exy(2yxy ) y , y (0)1 (2 分) 14设 y f(sin1)2,其中f是可微函数，求y(x). x 1111 解:y 2 f (sin ) f (sin )cos ( 刃 (5 分) xxxx 1、 1,1 15. COS、X 1dx 解:x t2 1,dx 2tdt (1 分) cos.x 1dxcostgZtdt 2 td si nt 2(ts int sin tdt) 2 tsint cost C (2分) 2(、x 1

8、sinx 1 cos , x 1) C (2 分) In x , 16.ydx (1 x)2 1 ln x x (2 分) 1 ln xd 1 x 1 1 dx x x 17.证明不等式 证明：f (x) f(x) 1 ln x 1 x eln x(0 x x eln x (2 分) f (e)0, x eln 1 dx 1 x ). x e c 0,x x x (1 分) 1 ln x x (Inx e; f (e) ln(1 x) C (3 分) 0; (2分)极小值(唯一极值),最小 18.已知 f (ex) sin x cosx ,求 f(x). 解：f(ex)f (ex)de: (s

9、in x cosx)exdx x e sinx (3 分)f(x) xsin(ln x) C (2 分) 四、应用题：(8分) 1 2 19在曲线y (x 1) ( x 0 )上任意点 P作切线，切线与 x轴交点是 M，又从点P向x轴作 2 垂线，垂足是 N。试求三角形 PMN面积的最小值. 1 2 解:在点P(x0, (1 x2)处切线方程： 2 2 X0) X(X Xo)；(2 分) 1 y -(1 2 X ,0 , f (x)0,x0, f (x)0;( 3 分) 则x 0不是函数f(x)的极值点 六、求解下列各题:(每小题6分，共12分) 0证明：在区间1,2内至 22.设函数 f(x

10、) (x 1)g(x),g(x)在 1,2 上有二阶导数，且 g(1)g(2) 少存在一个点，使得f ( )0. 证明：f f(2)0, a 1,2 , f (a)0; (2 分) f (x) g(x) (x 1)g (x), f (1) 0; (2 分) 在1,a上対f (x)用罗尔定理：至少存在一个点，使得f ( ) 0. (2分) 23.设函数f(x)是单调函数，且二阶可导，记g(x)是f (x)的反函数. 已知：f (1)2, f (1) 13 , f (1) 1。求：lim空 x 0 X) f(1) 2x f (1) f (1 y) 11 yf(1 y) f(1) f (1)f (1 y) 解:(1) lim f(1 x)