新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题07 三角函数的最值与综合应用(解析版)

1、 新高考数学（理）三角函数与平面向量07 三角函数的最值与综合应用一、具体目标：会求正弦函数、正弦型函数的值域与最值，会求余弦函数、余弦型函数的值域与最值，会二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质：性质图象y= sin xr -1,1pp( )( )p最值时，；当22min( )xppp3p2kp - , 2kp +2kp + , 2kp +在2222减函数对称中心( )( )kp ,0 k zp( )p对称轴 x2性质 图象定义域值域r -1,1( )x = 2k + k zp p最值当时，；当时，周期性奇偶性( )x单调性对称性在上是增函数；在p上是减函数p( )= p .对称轴,0对称中

2、心，既是中心对称又是轴对称图形。2正切函数：性质pp,定义域2r既无最大值，也无最小值周期性奇偶性xppp单调性对称性22对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。2 1.【2018 年高考全国卷文数】若 f是减函数，则 的最大值是（a）3c424【解析】本题主要考查的是利用三角函数的图象与性质来求待定参数的问题，要求会用函数的辅助角公式f (x) = cos x -sin x = 2 cos(x + )0, .当 x a 时，x +及函数的单调性相结合.44443a ，即，故所求 的最大值是a444( )pw2.【2019 年高考全国卷理数】设函数 f x =sin（w x零点，下述四个

3、结论：+）( 0)，已知有且仅有 5 个在52( )在（0,2p）有且仅有 3 个极大值点.）有且仅有 个极小值点.12 29pw）单调递增. 的取值范围是105 10其中所有正确结论的编号是（）abc d【解析】若 f上有 5 个零点，可画出大致图象，由图1 可知，(x) (0,2 )在 有且仅有 2 个或 3 个极小值点.故错误；极大值点.故正确；由图 1、2 可知， f3 ppk -ww+5当，kkx =555 -因为 f上有 5 个零点，所以当 =5 时，55，kkx =x =w12，故正确.573p( ).函数（x）的增区间为：，525 2ww718w=，k242973( ) f x

4、，综上可得，=当w时，单调递增区间为 单调递增 故正确.102929所以结论正确的有.故本题正确答案为 d.【答案】d1(x) = sin(x + ) + cos(x - )3.【2017 年高考全国卷文数】函数 f）536ab1cd= asin(wx +j) + b【解析】法一：本题是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 y的形 式 ， 再 借 助 三 角 函 数 的 图 象 研 究 性 质 来 求 三 角 函 数 式 的 最 值 问 题 ， 由 诱 导 公 式 可 得16( )f xxx ，623353353651(x) = sin(x + ) + cos(x - )法二：

5、将函数 f整理可得：5361 1 1f (x) = sin(x + ) + cos(x - )= sin xcos + cos xsin + cos xcos +sin xsin536 53 5366661331= sin x +的101022565【答案】a4 4.【2019 年高考全国卷文数】函数 f的最小值为_2【解析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视-1 cosx 1的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误317822，24f-4【答案】5.【2017 年高考全国卷文数】函数

6、 f【解析】通过配角公式把三角函数化为 y的最大值为.= asin(wx +j) + b的形式再借助三角函数图象研究性质，解题f (x) 2 +1 = 5 .求最值.时注意观察角、函数名、结构等特征一般可利用222【答案】 53( )= sin2 x + 3 cos x - x 0,6.【2017 年高考全国理数】函数 f x()的最大值是.42【解析】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，并通过二次函数的性质来求函数在给定区间内的最值问题，由题意可将原函数化简三角函数的解析式：231( )22442 3cosx 0,1 ，当cosx =可得：f x 取得最大值 1.22

7、【答案】1( )= 2sin x +sin2 x7.【2018 年高考全国理数】已知函数 f x的最小值是_【解析】本题要借助于将此三角表达式求导，然后要利用函数的单调性与三角函数的性质来确定函数的最小值，由题意可将原函数求导可得导函数为：( )f x()= 2cos + 2cos 2 = 4cos 2 + 2cos - 2 = 4 cos +1 cos -xxxxxx，因为 x ，cos +1 01所以当cos x 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为25 333333时，函数 f x 取得最小值，此时 x，322333 32( )= 2 -.22min3 3-【答案】2.f (x +

8、)q是偶函数，求 的值；函数pp（2）求函数 y2 的值域2124(x +q) = sin(x +q) 是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x +q) = sin(-x +q)【解析】（1）因为 f，即sin xcosq +cosxsinq = -sin xcosq + cosxsinq，故0, 2)，因此q =22 1222（2） y22412 623=+233=1-23223=22229.【2018 年高考北京卷文数】已知函数.f(x) = sin2 x + 3 sin xcos xf (x)p3上的最大值为 ，求 的最小值f (x)在区间m.32【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角

9、公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求6 解能力.（1） f3311 1sin 2x - cos 2x + = sin(2x - ) +6 2+，22222=的最小正周期为t2 1（2）由（1）知 f.x- ,m，所以2x - - ,2m - 因为.36663(x) - , x 在 m 上的最大值为 1.sin(2 - ) - , 在m 上的最大值为 ，即3263m 所以，即6 2333= (cos x, sin x), b = (3,- 3), x0, .10.【2017 年高考江苏卷】已知向量a（1）若 ，求 x 的值；a b（2）记 f，求 f的最大值和最小值以及对应的x

10、 的值若，与sin x + cos x =1矛盾，故cosx 0223x 0，又63f (x) = a b = (cos x,sin x)(3,- 3) = 3cos x - 3 sin x = 2 3 cos(x + )63，从而 x-1 cos( + ) 6 6 662( )f x 取到最大值 3；= 0于是，当 x时，6 6( )x =，即时，6655( )=x =【答案】（1） x；（2） x取到最大值 3；667 ppp( ) = sin(w j)(w 0，j ), = -x+1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f xx=为244y = f (x) 图像的对称轴,且 f (

11、x) 在，()18 36【解析】本题考点是正弦型三角函数的性质，ppx =为4444 44 1 2pp 5p,k += 9或5=t =wf (x)，又因为在单调,所以244 w5p p p t- = ,t =36 18 12 22p12,由此 的最大值为 9.故选 b.w【答案】b2. 将函数 f(x)sin(2x) | 的图象向左平移 个单位长度后的图象关于原点对称，则函数 f(x)在 0，上的最小值为()31b.2d23【解析】 依题意得，函数 ysin 2 x sin 2x 是奇函数，则 sin 0，又| 046323【答案】4.某同学用“五点法”画函数 ( ) = sin(w +j)

12、(w 0, |j | 0) 个单位长度，得到 y = g(x) 的图象. 若 y = g(x) 图象的一个对称中心为( , 0) ，求q 的最小值.12【解析】本题考点是正弦型函数的图象和性质的应用，（）根据表中已知数据，解得 = 5,w = 2, j = - . 数a6据补全如下表：3x +022x12312612asin(wx +j)00-505且函数表达式为 ( ) = 5sin(2 - ) .f xx6f xxg xx66因为 y = sin x 的对称中心为(k, 0) ， .k zk令 2 + 2q - = ，解得 =+k z .xkx6由于函数 y = g(x) 的图象关于点(

13、, 0) 成中心对称，令+，122 1212 k- ， . 由q 0可知，当 =1时，q 取得最小值 .k zk236【答案】（） ( ) = 5sin(2 - ) ；（） .f xx669 .(x) = sin(wx - ) + sin(wx - )5.【2017 年高考山东卷理数】设函数 f626（2）将函数 y的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左g(x) - , 在的图象，求上的最小值.4(x) = sin(wx - ) + sin(wx - )【解析】（1）因为 f，62313313sinwx - coswx = 3( sinwx -所以 f222222w).3=由题设知f，所以66 3又0 w 3 ，所以w = 2.（2）由（1）得.3所以 .4 3x,，123pppx = -时，.1242w 2=【答案】（1）26.【2017 年高考北京卷文数】已知函数 f.3（1）求 ( )的最小正周期；f x1时，4 42331322223f (x) 的最小正周期t=所以210 5，所以.所以.44636时，.a（1）若 ，求 x 的值；a b