最新北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题

1、 .昌平区 20182019学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合a.，,那么等于b.c.d.【答案】a【解析】【分析】根据并集的定义写出 ab 即可【详解】集合 a1，0，2，b0，2，3，则 ab1，0，2，3故选：a【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题2.已知角 的终边经过点，那么的值为a.b.c.d.【答案】b【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得 sina.【详解】知角 a 的终边经过点 p，sina，故选：b【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，

2、属于基础题3.（ ）b.a.c.d.【答案】d【解析】. .试题分析：考点：诱导公式4.已知向量, 且d. 4，那么实数 的值为a.b. 1c. 2【答案】c【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出 的值m【详解】，；m2故选： c【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算5.下列函数中，既是偶函数，又在区间 上为减函数的为a.b.c.d.【答案】d【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于 ，a y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于 ， cos 为余弦函数，在（，0）上不是单调函数，不

3、符合题意；b yx对于 ， 2x，不是偶函数，不符合题意；c y对于 ， | |+1d y x，既是偶函数，又在区间（，0）上为减函数，符合题意；故选： d【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题6.已知那么 a，b，c 的大小关系为c. d.a.b.【答案】a【解析】. .【分析】容易看出 40.51，log 40，00.541，从而可得出 ， ， 的大小关系a b c0.5【详解】40.5401，log 4log 10，00.540.501；0.50.5bca故选： a【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题7

4、.如果二次函数有两个不同的零点，那么 的取值范围为a.b.c.d.【答案】c【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得4 4（）0，由此求得 的范围m【详解】二次函数 2+2 +（ 2）有两个不同的零点，4 4（）0，y x xm求得 -1或 m2，m故选： c【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题8.为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象a. 向左平行移动 个单位c. 向右平行移动 个单位b. 向左平行移动 个单位d. 向右平行移动 个单位【答案】b【解析】【分析】由函数 sin（ +）的图象变换规律，可得结论y ax【详解】将函数 sin（2x ）

5、的图象向左平行移动 个单位得到 sin2（x ） =，y要得到函数 ysin2x 的图象，只需将函数 ysin（2x ）的图象向左平行移动 个单位故选： b【点睛】本题主要考查了函数 sin（ +）的图象变换规律的简单应用，属于基础题y ax9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到100 ，水温与时间近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为. .（ 为常数）, 通常这种热饮在 40 时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为a. 35b. 30d. 20

6、c. 25【答案】c【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式令 y=40，求出 x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间【详解】由题意，当 0 5 时，函数图象是一个线段，当 5 时，函数的解析式为，tt点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得 5,b=20，a故函数的解析式为， 5令 y=40，解得 t=25,t. .最少需要的时间为 25min故选 c.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了

7、指数的运算，属于中档题二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分.10.已知集合【答案】【解析】【分析】，, 则_.直接由交集的定义求得结果.【详解】ab故答案为，,【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题11._.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为 5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12.已知向量【答案】，向量 与 的夹角为 , 那么_.【解析】【详解】| |1，| |1，向量 与 的夹角为 ，故答案为 .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题. .13.

8、已知函数的图象如图所示，那么函数_,_.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据周期求出 ，根据五点法作图求出 ，从而求得函数的解析式【详解】由题意可得，解得 2t再由五点法作图可得 2 ，解得，故答案为(1). 2(2). 【点睛】本题主要考查利用 sin（ +）的图象特征，由函数 sin（ +）的部分图象求解析式，y a x y ax属于中档题14.已知函数 在写出一个即可）上存在零点，且满足,则函数 的一个解析式为 _.（只需【答案】【解析】【分析】（不是唯一解）根据 （2） （2）0便可想到 （ ）可能为偶函数，从而想到 （ ） 2， 0是该函数的零点，在（fff x f xx

9、 x2，2）内，从而可写出 （ ）的一个解析式为： （ ） 2f x f x x【详解】根据 （2） （2）0可考虑 （ ）是偶函数；想到 （ ） 2，并且该函数在（2，2）上存在零点；f xfff xx写出 （ ）的一个解析式为： （ ） 2f x f x x故答案为： （ ） 2f xx. .【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题15.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，（1）当 时， _；（2）若 的值域是 ，则 的取值范围为_.，其中【答案】【解析】【分析】(1).(2). （，-22，+）运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；由 f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值

10、域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围【详解】当时，函数 （ ）是定义在 r 上的奇函数，f x（1） （1）（12+3）2；ff由 f（x）的图象关于原点对称，可得 f（0）=0，又当 x0 时，f（x）的对称轴为 x=a,所以若 （ ）的值域是 r，f x则当 0 时， （ ）f x必须满足：x，或，解得 2 或 -2，aa即 的取值范围是（，-22，+）a故答案为：【答题空 1】 ；【答题空 2】（，-22，+）【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题三、解答题（共 5 个小题，共 70 分）16.已知 是第二象限角，且（1）求（2）求的值；的值【

11、答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）直接由.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.【详解】（1）由，解得. .（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题17.已知函数（1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 的单调递减区间；(3)求函数 在区间【答案】（1） ；（2）上的最小值；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得 x 的范围即得 单调递减区间.（3）由（2）知 （ ）在区间f x上单调递增，在上单调递减，即可求 （ ）在区间0， 上的最小f x

12、值【详解】（1）所以函数 的最小正周期是（2）由题意知.故所以函数 单调递减区间为.（3）由（2）知 （ ）在区间f x上单调递增，在上单调递减，故 （ ）在f x时取得最小值为 .【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题. .18.已知函数.（1）求函数的 定义域；（2）判断函数 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数【答案】（1）【解析】，求实数 的取值范围.；（2）见解析；（3）【分析】（1）由，求得 x 的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（x）f（x），可得 f（x）为奇函数；（3）由 f（x） 0，利用函数的定义域和单

13、调性求出不等式的解集【详解】（1）由解得所以, 故函数 的定义域是.（2）函数 是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数 是奇函数.(3) 由得可得.解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量下表所示；（单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如t00102030270052007500阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间

14、t（单位：分钟）满足如图 1 所示的关系. .（1）请分别写出函数 和 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设 （ ）=f t代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令 ，kt,代入（40，8000），解得k,再令 + ，mt bm b,代入（40，8000），（60，11000），解得 ， 的值即可得到 和 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为最大值，比较可得结论.=，分和两种情况，分别求得【详解】（1）因为 （ ）=0，所

15、以可设 （）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.,代入（40，8000），解得k=200,令 + ，f 0f t所以,又令 ，,代ktmt b入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为 ，则对“古诗词”的阅读时间为.， 当，即时，=，所以当时， 有最大值13600当h，即时，=，因为 的对称轴方程为，所以 当所以 当时， 是增函数，时， 有最大值为13200. .因为 1360013200，所以阅读总字数 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读

16、时间为20分钟【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档20.已知函数 的定义域为 ，对于给定的，若存在，使得函数 满足： 函数 在 函数 在上是单调函数；上的值域是，则称是函数 的 级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，若函数存在 级“理想区间”，求 的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】或【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数 的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点 ， ，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”上有两个不等实根三种情况，分别求得满足条件的k(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在进而转化为即可.在至少有一个实根.分、【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是0,1；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间在r 上单调递增，使 的值域是.因为函数所以，即方程有两个不等实根.设，可知，