最新安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题

1、.安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合是（）a.b.c.d.【答案】c【解析】分析：根据题意，求得详解：由题意得，即可图中阴影部分所表示的集合.，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选c.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2.函数a.b.的定义域为（）c.d.【答案】a【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由

2、函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选a.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.已知向量a.b.c.d.，则的夹角为（）.【答案】b【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选b.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.4.已知a.是等比数列，b.c.d.，则（）【答案】c【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数

3、列，且，则所以是的等比中项，且是同号的，故选c.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.5.已知的面积为，则的最小值为（）a.b.c.【答案】a【解析】分析：由题意知值.详解：由题意知d.的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选a.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使.用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.若实数a.，则下列不等式中一定成立的是（）b.c.

4、d.【答案】d【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于a中，当对于b中，取对于c中，取对于d中，由时不成立，所以是错误的；时，不成立，所以是错误的；时，不成立，所以是错误的，所以是正确的，故选d.点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）a.b.c.d.【答案】d【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，当时，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，当时，所以，故选d.点睛：本题

5、主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8.函数的最小正周期为（）.a.b.c.d.【答案】b【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论.详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选b.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9.已知中，则（）a.b.c.d.【答案】c【解析】分析：由题意，可得点为的重心，所以，利用向

6、量的运算，即可求解.详解：由题意，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选c.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10.已知实数满足，则的最大值与最小值之差为（）a.b.c.d.与的取值有关【答案】b【解析】.分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为.，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为分别代入目标可得，和两点，所以目标函

7、数的最大值与最小值之差为，故选b.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11.函数的大致图像是（）a.b.c.d.【答案】d【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选d.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以.从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及图象的变化趋势，

8、利用排除法，将不合题意的选项一一排除.时函数12.已知数列中，恒为定值，若时，则（）a.b.c.d.【答案】c【解析】分析：由题意知恒为定值，且，得时，所以数列，得，又由是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知所以当时，所以恒为定值，且，时，于是所以，数列是周期为10的周期数列，故选c.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图

9、象经过点，则它的单调递减区间是_【答案】【解析】和分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为其单调递减区间为和且在定义域上为单调递减函数，.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.14.已知非零向量，若且，则_【答案】【解析】分析：由题意的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本

10、概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.若，则_【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.已知【答案】【解析】分析：由题意得，若，则_，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解.的值，即可得到结论.详解：由题意设又由，即，则，.，所以，得，又因为所以所以，且（舍去）或.，所以，点睛：本题主要考查了函数与方

11、程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设等差数列的前项和，且（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到法二：由数列的通项公式，根据二次函数的性质，即可得到当，得到数列

12、满足或时，取得最小值，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，解得，法二：由题，于是.（2）法一：法二：，.，当或时，取得最小值，故当或时，取得最小值点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.设函数（）求函数（）若函数的单调递减区间；的图像向左平移图像中相邻的最高点和最低点分别为个单位长度后关于点对称，求的最小值【答案】(1)【解析】；(2).分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位

13、长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，周期，再由，即，得：，又，由，得的单减区间为）（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，.由题，当时，的最小值为点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19.设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项（）求角；（）设，求周长的最大值【答案】(1)60；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，

14、化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，即，进而得，即可求解角的大小；周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，由正弦定理，即，解得，所以法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以（2）法一：由余弦定理及基本不等式，.，得故，当且仅当周长时等号成立，的最大值为法二：由正弦定理，故周长，当时，周长的最大值为法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，当，时，周长的最大值为点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要

15、抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20.如图，等腰直角中，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为（）求函数的解析式及其定义域；.（）求函数的最大值【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】；分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）（2）由（1）可得化简得大值.详解：（1）由题，则，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最又，的定义域为（2），于是，即当时，的最大值为（点

16、睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21.已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；.（2）法一：由（1）知，得，即

17、可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，时，（2）法一：由题，相减得：，法二：由题，所以点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.已知（）当（）已知【答案】(1)【解析】时，解不等式时，恒有中；，求实数的取值集合；(2).分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；.法二：当时，恒成立，即恒成立，设，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详