大一高数笔记

1、导数与极限 (一) 极限 1概念 (1)自变量趋向于有限值的函数极限定义( 定义) lim f (x) x a A 0, 0，当 当 0 | x a | 时，有1 f(x) Al 。 (2)单侧极限 左极限： f(a 0) lim x a f (x) A 0, 0，当 0 a x 时，有| f(x) A| 右极限： f(a 0) lim x a f (x) A 0, 0，当 0 x a 时，有| f(x) A| (3)自变量趋向于无穷大的函数极限 定义1:， X 0，当x X ,成立f x A ，则称常数A为函数f x在x趋于无穷时的 极限，记为 A X f m H X 0，当 0 |x a

2、| 时，有 1 f(X)1 ，则称函数f(x)在X a时的无穷小(量) y A为曲线y f x的水平渐近线。 定义2 : 0, X 0 ，当x X时，成立f x A ，则有 lim f x A 。 定义3: 0, X 0 ，当x X时，成立f x A ，则有 lim f x A x 运算法则： 1) 1) lim f x 若 A lim g x，贝y lim f x g x 。 2) 2) lim f x 若 A 0,但可为lim g x ，则 lim f x ?g x。 lim 0 3)3) lim f x 若 则 f x。 注：上述记号lim是指同一变化过程。 (4)无穷小的定义 即 Xi

3、maf(x) (5)无穷大的定义 M 0，0，当 0 |x a| 时，有|f(x)| M，则称函数f(x)在x a时的无穷大(量)， 记为 xmaf(x) 直线x a为曲线y f x的垂直渐近线。 2. 无穷小的性质 定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系 1 若 xmaf(x)，且 f(x) 不取零值，则f(X)是x a时的无穷小。 3. 极限存在的判别法 (1)xmaf(x) A f(a 0) f(a 0) A。 lim f (x) A x lim f (x

4、) lim f (x) A XX (2) xmaf(x) A (3)夹逼准则：设在点 lim h(x) A “、,亠 x，则必有 4.极限的性质 f(x) A ，其中是xa时的无穷小。 a的某个去心邻域N?(a,)内有g(x)f(x) h(x)，且已知xmag(x) lim x a f(x) (1)极限的唯一性 (2) 局部有界性 (3) 局部保号性 卄 lim f (x) 卄lim 右x a 卄lim 右X a f(x) f(x) A 且 xmaf(x)B，则 A B o A，则M ，在点a的某个去心邻域N?(a，)内有|f(x)| 有 f (x)0 (或 f (x) A，且A 0 )o (

5、或 A 0),则必存在a的某个去心邻域N?(a,), 当 x N?(a, )时, (Il)若在点a的某个去心邻域 A 0) o N?(a,)内有 f(x)0 (或 f(x)0), 且 xmaf(x) A ，则 A 0 (或 5极限的四则运算与复合运算 lim f (x)A, 设C是常数，x a 丿 lim f (x)g(x) x a lim f (x) g(x) x a limc f(x) c x a f(x) A lim x a g(x) lim g(x) B, x a (1) (2) (3) (4) B 0； 若 lim g(x) x a (5) 则!叩酚 u0, lim u U0 lim

6、 f(u) u U0 f(u)A, x U (a, 0),有 g(x) u. 6两个重要极限 sin x lim (1) x 0 x 1 x)： lim (1 x 7.无穷小的阶的比较 若 和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则 lim 0 (1 )若，则称关于是高阶无穷小量，记作。()； lim 一 1 (2 )若，则称 和是等价无穷小量，记作 (3 )若 lim 一 c (c 0) O()； ，则称 和 是同阶无穷小量，记作 一般情况下，若存在常数 A 0, B 0，使成立 (4)若以X作为X 0时的基本无穷小量，则当 小量。 定理1 o()。 lim 定理2设 , ，且存在，则 l

7、im lim 。 ln(1 x) ex 1 常用的等价无穷小 x 0 时，xs in x ta n x arcsi n x arcta nx A IT B ，就称和是同阶无穷小量。 。(X*)( k为某一正数)时，称 是k阶无穷 1 2 1 cosx x 2 。 (二) 函数的连续性 1 定义 若函数y f (x)在点a的某个邻域内有定义，则f (x)在点a处连续 lim f (x) f (a) lim y 0 x ax 0 2.连续函数的运算 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3间断点 (1

8、) 间断点的概念 不连续的点即为间断点。 (2) 间断点的条件 若点X。满足下述三个条件之一，则X。为间断点： (a) f(x)在X。没有定义； lim f(x)才十一 (b) x xo不存在； f(x) xlim f (x)lim f (x)f(x。) (c) f(x)在X。有定义，X Xo也存在，但x x0。 (3) 间断点的分类： (i)第一类间断点：在间断点 Xo处左右极限存在。它又可分为下述两类： 可去间断点：在间断点 Xo处左右极限存在且相等； 跳跃间断点：在间断点 Xo处左右极限存在但不相等； (ii)第二类间断点：在间断点 4闭区间上连续函数的性质 (1)概念 Xo处的左右极限

9、至少有一个不存在。 若函数f(x)在区间(a，b)上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在区间a，b上 连续。 (2)几个定理 最值定理：如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则f(x)在此区间上必有最大和最小值。 有界性定理：如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则f(x)在此区间上必有界。 介值定理：如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则对介于 f(a)和f(b)之间的任一值c，必有 x a,b，使得 f(x) co 零点定理：设函数f (x)在闭区间a,b上连续，若f(a) f (b)0，则必有x (a,b)，使得f (x)0。 (三) 导数 1导数的概念 (1)

10、定义 设函数y f(x)在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量x( )时，函 数f (x)取得相应的改变量 f(a x) f(a)，若极限 存在，则称此极限值为函数 lirf x f(x)在点a处的导数(或微商) f (a), dy dx f (a) ，记作 d f(x) dx 导数定义的等价形式有 ma H X X)X a fa Ima X a fa 2 导数的几何意义 函数y f(x)在点a处的导数f (a)在几何上表示曲线 y f (x)在点M (a, f (a)处的切线的斜率 即 k f (a), 切线方程为 从而曲线 法线方程为 y f (x)在点 M (a, f(a)

11、处的 f (a) f (a)(x a) 1 (x a) f (a) f (a) 3函数的可导性与连续性之间的关系 函数y f(x)在点a处可导，则函数在该点必连续, 的必要条件，但不是充分条件。 但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导 (uv)u v uv , (cu) cu (其中 c 0为常数)， (u)呼(1) vv , v v v2( v 0) o 因此，若函数f (x)点a处不连续，则f (x)点a处必不可导。 4 求导法则与求导公式 (1) 四则运算 若u、v、w均为可导函数，则 (u v) u v , (uvw) u vw uv w uvw (2) 复合函数求导 设y f(

12、u), u g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数 y fg(x)的导数为 d y d y du dx du dx (3)反函数的导数 若x (y)是y f (x)的反函数，则 (4) 隐函数的导数 由一个方程F (x y) 0所确定的隐函数 dy 出dx即可。 (5) 对数求导法 先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。 对数求导法适用于幕指函数、连乘除函数。 (6) 参数方程的导数 f (x) 若参数方程y (t) 确定了一个函数 y dy dx (7)基本初等函数的导数公式 (c)0 (sin x) (ta n x) (secx) (a ) cosx 2 sec x secxt

13、a n x x a (log a x) ln a( a 0 1 (arcs in x) xln a ( a 0 , a 1) 1 1 x2 (arcta n x) 1 1 x2 1 (y)。 f(x)的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求 f(x)，且、均可导，则有 (t) 飞。 (x ) (cosx) (cot x) (cscx) (e ) sin x 2 csc x cscx cot x (ln x)- x (arccos x) (arccotx) 1 1 x2 _1_ 1 x2 5高阶导数 (1)高阶导数的概念： 函数f (x)的一阶导数 导数，,f (x)的n (4)(n) y

14、,y ,y ,y , ,y (2)常用的n阶导数公式 (xn)(n) n! f(x)的导数称为f(x)的二阶导数, 1阶导数的导数称为f(x) d2y d3y d4y dx2 dx3 dx4 ， f (x)的二阶导数的导数称为f (x)的三阶 ，或 (ex)(n)ex (si nx)(n)si n(x ) 2 (1)n1(n (cosx) (n) ln(1x)(n) 1)! (3)莱布尼茨公式 (1 x)n 设u(x)和v(x)都是n次可微函数，则有 的n阶导数，分别记为 n dx 。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 cos(x (uv)(n) n u(n k)v(k) k 复习指导 重点：

15、求函数的极限、连续、导数。 难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。 1求极限的方法： (1)利用定义(语言)证明。 (2)利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。 (3) 初等函数f(x)在定义区间上求极限：f(X) f(X0) x2 2x 302 2 0 3 lim 3 例：x 0 x 101。 (4) 分解因式，约去使分母极限为零的公因式。 2 .x 4x 3 lim厂 例: x 1 x 1 lim 但上述关系反之均不成立。 6. 可导的判断： (1 )若函数在某一点不连续，则必不可导。 (2 )分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念

16、进行判断。 7.求导数的方法: (1) (2) (3) (4) 利用导数的定义求导数。 利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求初等函数的导数。 利用复合函数求导的链式法则。 利用隐函数求导法则。此时需注意若在方程中出现 时， y的函数项，则在对自变量 x求导 例: (5) (6) 对这一项需利用复合函数求导的法则。 dy 设 ey y 2x 。，求 dx。 d(ey) x求导，有 dy 解： 利用反函数求导法则。 利用参数方程求导法则。此时需注意得到的 所确定。 方程两边同时对 dy dx dy d(2x)2 Uy dx dx ，所以 ey 1。 y对x的导数实际上仍然由一个参数方程

17、 (7) 利用对数求导法则。它主要在如下两种情况中应用： (i)幕指函数求导；(ii)需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。 (8) 分段函数在分段点处需利用左右导数求导。 第3章微分学的基本定理 内容提要 (一)微分 1概念 微分的定义：设函数 y f(Xo) f(X) f(Xo) f(x)在点X。处可微，给定自变量X的增量XXX。，称对应的函数增量 f(x)在点X。处的微分，记作df(x。)或dy |x X。 的线性主部f ( X0 ) X为函数 d arcsin xdx 1 darccosx dx 右x2 2常用的微分公式 d(x ) x 1 dx d(c) 0 (c为常数) dsi

18、n x cosxdx dcosx sin xdx d tan x sec xdx dcotx csc2 xdx dsecx secx tan xdx dcscx cscxcotxdx .Xx da a ln adx ( a 0, a 1) XX de e dx dlOg a X 1 dx dln | x| 1 dx xln a( a 0 , a 1) X d arctan x dx x darccot x dx 3 微分运算法则 (1)四则运算 dk1u(x) k2v(x)k1du(x) k2dv(x)； du(x)v(x) v(x)du(x) u(x)dv(x)； ,u(x) v(x)du(

19、x) u(x)dv(x) d v(x)v2(x) (2)复合函数微分 若 y f(u), u g(x)，则 dy f (u)g (x)dx 4.微分形式的不变性 若 yf(u)，u g(x)，则有 dy f (u)g (x)dx (u)du 5 微分在近似计算中的应用 当| x|很小时，有： y dy f(X。)x , f (Xox)f(X。) f(X。)x (二)微分中值定理 1 罗尔定理：设函数 存在 (a,b)，使得 2 拉格朗日中值定理：设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)上可导，且f(a) f(b)，则必 f () y (a，b)，使得成立 o f(x)在闭区间a

20、，b上连续，在开区间(a，b)上可导，则必存在 f(b) f(a) b a 。 推论1设函数y f x在a,b上恒为常数。 推论2若在(a,b)内恒有f(X) X在闭区间 a，b上连续，开区间a，b内可导，若对任意x a,b有 3 柯西中值定理：设函数 数不同时为零，又g(b) g(a) 0，则必存在 f () g() g (X)，则存在常数 C,使得 f (x) g(x) C , X (a,b)。 f(x)和g(x)均在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)上可导，且它们的导 (a，b)，使得成立 f(b) f(a) g(b) g(a)。 4.有限增量公式 若函数y f (x)在a,b上连续

21、，在(a,b)上可导，则 f(b) f (a) f ( )(b a), (a,b)。 或 y f ( ) x, 其中 y f (b) f (a) , x b a 。 (三)洛必达法则 0 1.0型的洛必达法则： 若f X和g X满足 lim f x lim g x 0 (1 ) X X0X X0 ; (2) f x和g x在N x。，内可导，且g x 0 ； lim -_存在(或为 ) lim -= lim f X (3) x X) g x，则 x X0 g x x X0 g x。 (把Xo改为等，法则仍然成立)。 3.其他待定型：0 00 2. 型的洛必达法则: 若f X 和g X满足 lim f X ,lim g x (1) X x X X。 ; (2) f X 和g X 在 N X0, 内可导, 且 g x 0 lim f X 存 在(或为 ) lim f X广f X =lim (3) X x g X ，则 X x0 g Xx x0 g X (把X。改为等，法则仍然成立) X 复习指导 重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求极限，泰勒公式。 难点：中值定理