中心对称图形——平行四边形(复习)

1、例2, 平行四边形ABCD中，CD二10, BC二12, DE平分ZADC,则BE的长为 第四讲中心对称图形一一平行四边形（复习） 孑心，学习要点与方法点拨： 一、复习中心对称图形一一平行四边形这一章的概念（包括旋转、中心对称、平行四边形、 矩形、菱形、正方形和三角形的中位线）和这些图形的性质以及判迫方法： 二、在掌握好基础知识后，进行知识延伸，补充延伸题型和解题思路，并学习综合各知识点的 综合题的解题方法。 课前复习: 1, 旋转的概念，旋转的性质（3个）；中心对称的概念，中心对称的性质（2个，1,具有图形 旋转的一切性质，2,两个图形对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分）： 2, 平

2、行四边形的概念和性质（2个），平行四边形的判左方法（4个）： 3, 矩形的概念和性质（2个），矩形的判左方法（3个）： 4, 菱形的概念和性质（3个），菱形的判宦方法（3个）： 5, 正方形的概念和性质（具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质），正方形的判定方法（3 个）； 6, 三角形中位线的概念；三角形的中位线的性质（2个）。 块精讲 一. 平行四边形的角平分线 我们已经学习和平行四边形有四个重要的性质，那么，除了这四个性质外，平行四边形还有其他的隐 藏技能吗 我们学习的四个性质是初中阶段关于平行四边形的全部官方性质。但是，它还有其他的隐藏技能，比 如说角平分线。 例1, 如图在平行四边形A

3、BCD中，DE 平分ZADC并交BC于E。求证：ADCE 是等腰三角形。 我们看到题目中有平行线和角平分线， 就可以联想到等腰三角形。 由等腰三角形还可以解决一些线段长度 的问题。 这两个例题是一个基础，如果，我们再画一条角平分线呢看下而这道题* 例3,如图，平行四边形ABCD中，CD二10, AD二12, AE、DF分别平分ZBAD、ZADC,交BC于F、E,则 EF的长为 我们在扩展一些思路，在例1中，除了ACDE 这个等腰三角形，我们还能构造其他的等腰三角形 吗我们看右边这张图，把DE和AB分别延长，交 于点F,你能看出还有几个等腰三角形吗 特别提醒一下.关于三角形的角平分线构造出等腰三

4、角形这个性质，不是官方认证的几何左理， 我们在选择填空题中可以使用，但是，在解答题中，还是要一步一步写岀步骤证明的。 我们再继续扩展思路，如果画出两条角平分线，还能得出什么新的结论吗 例4,如图，平行四边形ABCD中，DE平分ZADC交AB于E, BF平分ZABC交DC于F,求证：四边形 BEDF为平行四边形。 解决了这个例题，我们可以得岀一般结论，任何平行四边形的一组对角的平分线都是平行的吗 答案是不一定，我们可以看一个特殊的例子。 所以，我们只能说：平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。 我们解决了一组对角的平分线的情况，那如果是在两个邻角作平分线，能得岀什么结论吗 例5,如图，平行

5、四边形ABCD中，AE平分ZBAD交BC于E, BF平分ZABC交AD于F, AE于BF相交于 点G,求证：AE丄BF。 我们这一节中，根据平行四边形的角平分线可以得岀三个结论: 平行四边形的角平分线可以构造等腰三角形； 平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。 平行四边形的一组邻角的角平分线互相垂直。 攻略: 厂两个对角的角平分线平行或重合 平行四边形+角平分线 等腰三角形一 匚 两个邻角的角平分线互相垂直 二、坐标系中的平行四边形 这一节我们学习平行四边形与坐标系结合的一些题型。 例6,如图，平行四边形OABC的顶点0、A、C的坐标分别是(0, 0), (3,1), (1,2),则B点

6、的的坐标 由平行四边形的性质：对边平行且相等 OC平移到AB 再利用平移的性质，0(0, 0)平移到A(3,1) 对应B(l,2)平移到(，) 那么，利用另外两组对边呢 例7,已知平行四边形的三个顶点0、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2),则第四个顶点的坐标 是。 大家先思考一下这个题目和例6是一样的吗 思路：先确定对角线，再分类讨论。每个可能的对角线可以确定一个顶点的坐标。 例8,平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(2,3), (3, 1), (1,2),则第四个顶点D的坐标 是多少 A, ( 0, 4 )B, ( 4, 2 )C, ( 2, 0 )D,以上

7、都是 我们已经学习了平行四边形的顶点坐标的求法，现在我们把思维在扩展一下，平行四边形的四个 顶点的坐标还能得岀什么性质吗 我们先看例8中的平行四边形ABCD的四个顶点，坐标分别是A(2, 3), B(3,l), C(l,2), D(0,4)。 当这四个点的位置确定后，我们有： A、B两点的横纵坐标之差=C、D两点的横纵坐标之差 简写为A - B二C - D 移项得 A + C = B + D 这个等式可以理解为： 平行四边形在坐标系中，相对的两个顶点的横坐标(或纵坐标)之和相等。 这样我们在计算第四个顶点的坐标是就非常方便了，比如例8,我们可以得到方程： 横坐标：2 + 1 = 3 + x |

8、% x = 0 纵坐标：3 + 2 = 1 + y = y = 4 即第四个顶点D的坐标为(0, 4 ) 总结一下，在这一节中，我们学习了：利用平行四边形的性质+平移的性质二第四个点的坐标 我们还推到岀了一个结论，也就是A + C二B + D。 在做选择题和填空题时，可以利用这个结论，快速得出第四个顶点的坐标。 另外，当四个的的位置，也就是顺序，不明确时，需要分3种情况讨论。 三、判定平行四边形 1,判定平行四边形之全等 我们在判定平行四边形时，经常用到的就是证明边或者角相等，而要证明两个边或者角相等最常 用的就是利用全等三角形。 例9,如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB二CD,线段

9、AE与线段DF平行，AE = DF,求证： 四边形EBFC是平行四边形。 D 例10图 AABE 9 ADCF AAEC 仝 ADFB 这道题条件比较明显，我们再看一道条件比较隐蔽的题。 例10,如图，DE丄AC, BF丄AC, DE二BF, ZADB = ZDBC,求证：四边形ABCD是平行四边形。 对角线 一组对边 总结：利用全等三角形是判左平行四边形的常用方法但是，一般过程比较复杂一些。 2,判左平行四边形之对角线 有时我们也可以抛弃全等三角形，使用一些更简便的方法。 例11,如图，E、F分別是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分別连接AF、BE交于G,连接CE、 DF交于点H,连

10、接EF、GH。证明：EF于GH互相平分。 例11图例12图 例12,如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的点，且AE = CF,连接DE、DF、BE、BF。证明: 四边形BFDE是平行四边形。 你是不是一下子就想到了全等三角形。那如果这道题，不用全等三角形，还有什么简便的方法吗 四、直角三角形斜边上的中线与三角形的中位线的综合 我们知道:直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。这个是任何一个直角三角形都具有的性质。 如果要证明这个性质，我们之前的证明方法是：将中线延长，利用全等三角形来证明。现在我们 学习了矩形的性质后，由矩形的性质就很容易得出这个结论了。 例13,如图，在AABC中，

11、D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，AH为BC边上的髙.连接DE、FE、 DH、FHc 求证：ZDHF = ZDEFo 首先，ZDEF二ZBAC,再由两个直角三角形 例14,如图，在ZXABC中，D、E、F分别为AB. BC、CA边的中点，AH丄BC于H, APDF为等边三角 形。求证：APDE 9 APFHo 思路：线段的中点中位线平行且等于底边的一半 垂直+中点f直角三角形斜边中心f利用中位线和斜边中线进行线角转化 也课后巩固习题 b在平行四边形ABCD中，AB = 12, BC二8, BE平分ZABC,交CD于E,则DE = 2,如图，在平行四边形ABCD中，AB二9, BE平分Z

12、ABC,交CD于E,交AD的延长线于F,且DF二3,则 BC 二 3,如图，在平行四边形ABCD中，AB = 12, BC二8, BE、AF分别平分ZABC. ZBAD,交CD于E、F,则 4,如图，在平行四边形ABCD中，AE平分ZDAB,交CD于E, DF平分ZADC,交AB于F, AE与DF交于点G, 且BC二4,则下列说法中错误的是（） A, AF 二 4B, CE = 2C, AE丄DF 题4图 题5图 5,如图，在平行四边形ABCD中，BE、AF分别平分ZABC、ZBAD,交CD于E、F, BE、AF交于H, CG平 分ZBCD,交AB于G,交BE于K,则下列说法错误的是（） A,

13、 CG 二 CB B, AF CG C, BG = CE D, BE 丄 CG 6,平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（1,4）、（-2,1）、 （2,2）,则D点的坐标是（ A, (6, 5) B, (5, 5) C, 5) D, (6, 6) 7, 平行四边形的顶点A.B.C的坐标分别是（1,4）、（-2,1）、（2,2）,则第四个顶点D的坐标不可能是（） A, （-1, -1）B, （5, 5）C, （-3, 3）D, （-1, -2） 8, 如图，平行四边形ABCD,链接BD,过A做AE丄CD于E,交BD于G,过C作CF丄AB于F,交BD于 H,连接AH、CG,求证：四边形

14、AHCG为平行四边形。 9,如图，平行四边形ABCD,分别延长DB、BD至E、F,是BE二DF,连接EA、EC、FA、FC。求证：四边形 AECF是平行四边形。 10,如图，三角形ABC中，AB二AC,点D在AB上，过点D做BC的平行线，于AC交于点E,点F在BC上, 且EF二EC。求证：四边形DBEF是平行四边形。 题10图 lb 如图，在ZABC中，CE丄AB于E, BF丄AC于F, M为BC的中点，且EF = 7, BC = 10,则 的周长为 12,如图，在五边形 ABCDE 中，ZABC = ZAED 二 90 , ZBAC 二 ZEAD,点 F. G、Q 分别为边 CD、AC. A

15、D的中点。求证：ABGF仝AFQE 0 题12图 13,如图，在平行四边形ABCD中，AB二3, AD二4, ZABC=60 ,过BC的中点E作EF丄AB,垂足为点F,与 DC的延长线相交于点乩 则ADEF的面积是 o A 14,分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边AACD、等边ZkABE.已知ZBAC=30% EF丄AB,垂 足为F,连结DF. （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形出应是平行四边形。 15,如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB C D位亂此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD 于点E若AB=3,求矩形的另一个边BC的长。 D A B 题17图 16

16、,如图，在平行四边形ABCD中，AD二2AB, F是AD的中点，作CE丄AB,垂足在线段 曲上，连接氏 CF、则下列结论中一左成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上） =2Sg ZDFE 二 3ZAEF. 题16图 17,如图，在矩形ABCD中，AB二4 cm, AD二12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动, 点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C岀发，在CB间往返运动,两个点同时岀发，当点P到达点D A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ有次平行于AB 18, 如图，等边磁的边长是2, D、厅分别为初、的中点，延长处