大一高数期末考试题(精doc

1、1. (A) 设 f ( x) cos x(x f (0) 2(B)f (0)1( C) f (0) 0 1 x (x),(x)3 3Vx，则当 x 1时( 1 x (x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小; sin x ),则在x0处有( (D) ). f (x)不可导. 设 2. (A) 是等价无穷小； (B)(x)与(x) (C)(x)是比(x)高阶的无穷小; 无穷小. (D) (X)是比(x)高阶的 3.若 f (x) (A) (B) (C) x 0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1) 二阶可导且 0，则(). 函数F (x)必在x 0处取得极大值； 函数F(

2、x)必在x 0处取得极小值； 函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0，F(0)为曲线y F(x)的拐点； (x) (D)函数F(x)在x 0处没有极值，点(0，F(0)也不是曲线y F(x)的拐点。 4 设f (x)是连续函数，且 .x2x2 2 (A)2( B)2(C) x 1 二、填空题(本大题有4小题，每小题 2 lim (13x)齐 x 0 f (x) x 1 2 0 f(t)dt ,则 f (x)( (D) x 4 分, 2. 共16分) 5. 6. 已知co空是f(x)的一个原函数 x f (x) cdx x 7. lim n (cos2 n n cos2? 2 x arcsin

3、 x 丄 X 1 2 二、解答题 设函数y 求丄 x(1 1 dx 2 x 8. 9. 10. 设 f (x) (本大题有 y(x)由方程 x7 厂dx. x7) x xe , v 2x x 2, 5小题，每小题8分，共40 分) e sin( xy) 1确定, 求y (x)以及y (). 1 3 f(x)dx. 11. g(x) f(xt)dt 血丄凶 A 12. 设函数f(x)连续，0，且x 0 x, A为常数.求 g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性. y(1)1 13. 求微分方程xy 2y xlnx满足9的解. q1 f(x)d x q f(x)dx 00 f ( x) d x

4、0f (x)cos x dx 0 14. 设函数f(x)在，上连续，且0 证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f( 1) f ( 2) 0. (提 x F(x) f(x)dx 示：设0 、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 /COSX、2 6-() C 5. e. 6. 2 x.7.2.8.3 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导 1 2 ln | x71 ln |1x71 7 i i 7 ii 10 f (x)dx xe xdx 33 11.解:

5、0.2X x2dx ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0 y(x) ex yycos(xy) ex cos(xy) x 0, y 0 y (0)1 10.解： u x7 -x6dx du 原式 1 (1 u) i 1 J 2 du()du 7u(1 u)7 u u 1 1 (ln |u | 2ln |u 1|) c 7 C :xd( e x)(x 1)2dx 3 2 x xe x 1 0 cos2 d sin ) 1 -2e3 4 12.解：由 f() g(x) 1 f (xt )dt 0 0，知 g(0)0。 x f (u)du xt u 0 x (x 0) g(x) g(

6、0) x xf (x) f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) lim x f(x) 0 xf(x) 00 g (x) lim x 0 lim x 0 2x x f (u)du 0 2 x A 2，g(x)在x 0处连续。 dy 13.解:dx 2 y x 2dx y e x ( 1 xln x 3 1 y(1)訐 In x -dx e x I n xdx C) 四、解答题(本大题 14解：由已知且y 将此方程关于x求导得 2 特征方程：r r 2 其通解为 y C1e 1 2 x Cx 9 y 1 xln 3 10分) x yd x 0 y 2y 代入初始条件y(0)

7、故所求曲线方程为： 五、解答题(本大题10分) 0 解出特征根: A 1, 2. 小2x C 2e ，(0) 1 2 x y e 3 ，得 1 e 3 C1 2x 15解：(1)根据题意，先设切点为 (Xo,ln X。) 由于切线过原点，解出X。 e y In x ,从而切线方程为: ，切线方程： 1 y x e 1 (x x) X。 A 则平面图形面积 y (e ey)dy o 1 -e 1 2 (2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为 Vi，则Vl 曲线y ln x与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积 为V2 1 V2(e ey)2dy V V1

8、 V2 e旋转一周所得旋转体的体积 2 严 12e 3) 0 D绕直线x = 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12 分) 16.证明：0 q (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q，1 q(1 q1 f (x) d x q f (x)dx 0 1 q f(x)dx q q) f( 1) q(1 q f (x) d x q( f (x) d x 0 q) f( 2) 1) f ( 2) 0 1 f (x)dx) q 故有： q f (x) d x 0 f(x)dx 证毕。 17. F(x) f(t)dt ,0 证：构造辅助函数: 上可导。F (x) 。其满足在【，上连续，

9、在(，) 0 f (x) cos xdxcosxdF (x) F (x)cosx|0 sin x F(x)dx 由题设，有0 0 0 F (x)sin xdx 0 (0,) ，使F( )si n0 即 有0 ，由积分中值定理，存在 f(x)，且 F(0) F() 0 F ( )0 综上可知F(0) F( ) F( )0,(0,).在区间,上分别应用罗 尔定理，知存在 1(0,)和 2(,)，使 F ( 1)0 及 F ( 2)0，即 f ( 1) f ( 2)0 高等数学I解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中） （本大题有4小题，每小题4分，共16

10、分） 1.当x x时， x ,x都是无穷小，则当x &时（D ）不一定是 无穷小 . (A) x x (B) 2 x2 x 2(x) (C) in 1 (x) 1 (x)(D) (x) sin x x a iim x a 2.极限x a sin a 的值是 (C ). cot a tan a (a ) 1 (B) e (C) e (D) e 2ax sin x e1 f(x) x x 0 3. a x 0在x 0处连续，则a =(D) B) 0(C) e(D) (A)1 4.设f(X)在点x (A)3f (a) (C) f (a) a处可导，那么 a 叫 Hh B (D) 严） 5. 、填空题

11、（本大题有4小题, in（x a） in a lim 极限x 0 xy (a 6. yin x cos2x 7. 每小题 4 分, 0） 的值是 共16分) 1 定函数 y(x), yyexy ye x xe in x 直线I过点M (1,2,3)且与两平面x 2y z 1 2sin 2x xy 0,2x 3y 5z 6都平行，则直 线i的方程为 2 8. 求函数y 2x in（4x）的单调递增区间为 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 1 （1 x）x e iim 9. 计算极限x 0 elim ln(1 x) x x 0 x2 1 limE e 解：x 0 x I V| 1

12、0.已知：|a| 1 ln(1 x) 1 ex1 elim x 0 |b | 26 30，求 I a cos sin 2 cos 12 解: 72 11.设f(x)在a, b上连续, F(x) x (x a a,b ，试求出F (x) o F(x) 解： F (x) f (t)dt xf(x) xf (x) f(t)dt x x f (t)dt tf (t)dt a F (x) 12.求 解: cosx , x dx sin x 1 -xsin 2 1 2 1 2 xd sin 2 x sin 2 xdx 1 -xsin 2 1 cot x 2 a f (x) cosx , x3dx. sin

13、 x 四、解答题 共32分) 本大题有4小题，每小题8分, dx r2_7 x x 1 13.求 令1 x 原式 丄 2 3 1 1 1 r, t2 1 一 (1r)dt 1 t dt arcsi nt _2 2 1 勺6 14.求函数 解：函数的定义域(一 2(1x)(1 x) y (1) 极大值 的极值与拐点. + ) 4x(3 x2) 2 2 (1 x ) 0 得 x 1 = 1, 0 x 1 = 1是极大值点， y(1)1，极小值 y( 1) x 2 = -1 (1 23 x ) (1)X 2 = -1是极小值点 1 X （-,-応） (-朽,0) (0,) (*3+ ) y + +

14、令 y 得 x 3 = 0, x 4 =3 , x 5 = -3 _l基 -2 ), (0, 0)( 3， 2) 故拐点（-3 , 3 x 15.求由曲线7 3 解: 4 x(x 0 2 3x x , 4与y 3x x2所围成的平面图形的面积. 12x 4x2 0, 6)(x2) 3 X S ( 3x 6 4 x43 2： (x - 16 2 1 45 2 3 16.设抛物线y P(x,y)使ABP的面积最大. 解： AB连线方程：y 2x 10 2x y 1 0, x2)dx x3 3) 471 3 4 点P到AB的距离 ABP的面积 S(x) S (x) S (x) X1 2 (3x 0

15、(3 2 (2x 2 x上有两点 1 4 5 2 4x 4 40 6, A( X20,X32. 3 )dx 4 x4 押 1,3) B（3，5），在弧A B上，求一点 AB 2 x 2x 3 5 x2 5 当x 1 2x 3 2( 1 x 3) 2x 3) S (x)0 当x 1时S（ x）取得极大值也是最大值 此时y 3 所求点为（1，3） 另解：由于 ABC的底AB定，故只要高最大而过C点的抛物线 的切线与AB平行时，高可达到最大值，问题转为求C（x0，4 xf） 解得Xo 1,所求C点为（1,3） ,使f (Xo)2Xo 2, 本大题4分) 试证X(1 证明：设f(x) EM f (x)

16、 e2x(12x)1， f (x) 六、证明题（ 17.设x 0， x) x) (1 x), x 0 4xe2x X o, f (x)0，因此 f (x)在(o, +)内递减。 在(0, + )内，f (x) f (0)0，f(x)在(o, + )内递减, 在(0, +)内,f (x)f(0),即 e2x(1 x) (1 x) 0 亦即当x0时，e (1 x) 1 X 。 高等数学I A 填在题末的括号中) 一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, (本大题有4小题，每小题4分，共16分) 18. 函数 ln(x 1) x 1 f(x) tan x, 2 sin x, 的全体

17、连续点的集合是 那么m,n, p的值各为) (A) (- (B) (-,1) (1，+ (C) (- ,0) (0, (D) (-,0) (0,1) (1，+ 19. lim 设x x 1 ax b) 则常数a,b的值所组成的数组 (a,b)为 20. (A)( 1， 设在0， (A)f (0) (C) f (1) 0)( B) 1上f(x)二阶可导且 f(0) f(0) (C) f (x) f (1) f (1) f (0) f (1) (1，1)( D) 0，则( (B) f (0) (D) f(1) (1, -1) 4 sin xcos x 21. 则( (A) (C) 1 x ) M

18、N P P M N dx, 2 (s in3 cos4 x)dx P 二填空题(本大题有 2 1 设 x 1 d(x arctan 5 f (x)dx sin x 2.设 (B) (D) 4小题，每小题4分, x 1)( f (n)(x)dx ( P N M N M 0及x0 F(1)= f(1)-1=0-12),并求n 。 证： 设 f(x) xn xn1 x2 x 1其在0,1上连续。 f(0) 1, f (1) n 1由n2知函数在端点异号 由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点(0,1)使f( ) 0. 又fnxn 1 2x 1 0知函数f (x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。 n