6.7二重积分的概念与性质

1、n=lim f( i, JAG1 利用二重积分定义证明：kf (x, y)d ：；二k f (x, y)d；。DD【证明】由二重积分定义nJJf(x,y)db=ljm：E f(Ui)i，得D0 inkf(x,y)d：； Tim。 kf( i, )口D i 4n二 klim 、 r0 i Af( i, J =k II f (x,y)d二,D证毕。2.利用二重积分的几何意义说明：iikd；- k；(R为常数，厂为积分区域D的面积)。D【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分f (x, y)d二就是以z二f (x, y)为曲顶D的柱体体积,于是知，二重积分kd二表示以平面z = k为顶的柱体体积

2、，D而以平面z =k为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z = k，但该柱体的底面积就是积分区域D的面积匚，从而得，.kd；=k；。D3 利用二重积分的性质估计下列积分的值：JJxy(x + y)db，其中积分区域 D = (x, y) 0兰x兰1,0兰y兰讣；D【解】由于区域 D =：(x, y) 0 x _1,0 y 心，可知区域D的面积为11,D而由于 0_x_1 , 0_y_1，可得 0_xy_1 , 0_x y_2 ,从而有 0 _ xy(x y) _ 2 ,由二重积分性质6.7.5 (估值不等式)即得0d 二乞 xy(x y)d；乞2d二DDD亦即为0 _ xy(x y)d；： -

3、 2。D (x y 1)，其中积分区域 D (x, y) 0乞x1,0岂y乞2?；D【解】由于区域D =(x, y)0 - x -1,0 _y - 2*，可知区域D的面积为！ ！ d二-1 2 = 2 ,而由于0乞x空1 , Q y 2，可得0空x y空3,从而 1 x y 4，由二重积分性质6.7.5 (估值不等式)即得I ild . 11 (x y 1)d；4d-DDD亦即为2 . i i(x - y 1)d- - 4 2，整理得 2 . 11 (x y 1)d；- 8。DD！ i (x2 4y2 9)d；，其中积分区域 D = !(x, y) x2 y2 -4:。D【解】由于区域 D -

4、(x, y)x2y2_4f，可知区域D的面积为i.id；-二22 =4二，D下面求函数f (x, y) = x2 4y2 9在条件x2 y2 4下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面 z=x2 4y2 9在圆柱x2 y2 =4内部的最大、最小值，易见x2 4y2 _ 0 ,可知z=x2 4y2，9_9，当x = y= 0时等号成立，又可知，椭圆抛物面z=x 4y9与圆柱x y =4的交线，在椭圆簇的短轴上达到最高，亦即当 x =0, y = 2时，函数f(x,yx2 4y2 9取得最大值，最大值为f(0, 一2) = 0 4 4 9 = 25，因此得，9空x2 4y2 9乞25，由二重积分性质6.7

5、.5 (估值不等式)即得I i9d；_ (x2 4y2 9)d= _25d；DDD亦即为 9 4 . 11 (x y 1)d；：- 25 4二，D整理得36二一 (x y 1)d二 _ 100二。D4 利用二重积分的性质比较下列积分的大小：ii(x，y)2d二与i i (x y)3，其中积分区域 D由x轴，y轴与直线x，y = 1所围成。DD【解】积分区域D如图由图可见，在区域 D中，0xyz1，于是由于函数 y=ax ( 0：；a：1)是减函数,而知以x y为底的指数函数是增函数，即由 2 ：:3有(x y)2 . (x y)3，于是，由二重积分性质 6.7.4 (不等式性)即得11 (x

6、y)2d，11 (x y)3d；。DD In(x y)d二与 ln(x y)2d二，其中 D = !(x, y) 3 乞 x 乞 5,0 乞 y 乞 1。DD【解】积分区域D如图1fafa11-1=24由于在区域 D中有3二x三5， 0y込1，可得3込xy込6，于是 1 = lne ： ln3 ln( x y)乞 ln 6，于是由于函数y =：ax ( a 1)是增函数，可知以ln(x y)为底的指数函数是增函数，2即由 1 ： 2得 ln(x y) : ln(x y)，于是，由二重积分性质 6.7.4 (不等式性)即得.In(x y)d；： .In(x y)2d二。DD5若1=1,则积分区域 D可以是()。D(A )由x轴，y轴与直线x y = 2所围成的区域；(B )由x=1 , x=2及y=2 , y =4所围成的区域；11(C) 由X , y =所围成的区域；22(D) 由x+y|=1 , xy =1所围成的区域。【解】应填(C)”。因为JJ1db = SD=1，而下面各区域 D的面积为:(A )由x轴，Dy轴与直线x目二2所围成的区域如图= 2=1 ；(B)由x=1 ， x=2及y=2 ， y