(整理)曲线积分与曲面积分16473

1、精品文档第十章曲线积分与曲面积分0 1对弧长的曲线积分计算下列曲线积分：1 （x? +y）ds，其中L是以0 （ 0，0），A（ 1，0），B（ 0，1）为顶点三角形边界.2 Lxds，其中L为直线y=x与抛物线y=x2所围区域的边界.X2 十2；3 e y ds，其中L为半圆0乞y乞詔- x的边界。L（x y）ds，其中L为曲线弧x二t,y二t3（0沁叮）。2 25 (x + y)ds，其中L为双纽线P =a cos2申右面一瓣。6 L ,2y2 z2ds，其中L为圆周7 求曲线x二a, y二at, z二空t叮,a 0)的质量，设其线密度为2精品文档0 2对坐标的曲线积分2 2 21计算（x

2、 +y ）dx，其中L为抛物线y=x上从点（0, 0）到点（1, 1）的一段弧。2计算Lxdy，其中L是由坐标轴及直线 |=1所构成的三角形周界，方向为逆时针方向。3计算j 一xcosydx + ysinxdy，其中L为由点A（0，0）到点B（2兀，4兀）的线段。2 2x y4计算（x + y）dx +（x -y）dy，其中L为依逆时针方向绕椭圆 + = 1 一周的路径。La b5计算dx +dy，其中 L 为以 A( 1, 0), B( 0, M|+|y|1), C (-1 , 0), D ( 0,-1 ）为顶点的正方形边界，取正向.f到椭圆中心的A （ a ， 0）移6在椭圆x =acos

3、t, y =bsint上每一点M都有作用力F，大小等于从点 M 距离，而方向朝着椭圆中心，求质点P沿椭圆位于第一象限中的弧从点动到点B（ 0，b ）时，力F所作的功。03格林公式XX1 计算 L(e sin y+8y)dx + (e cosy 7x)dy，其中 L是从 o (0, 0)到 A (6, 0)的上半圆周。2 计算 I =(exsiny b(x + y)dx+ (ex cosy ax)dy，其中 a,b 为正常数，L 为从A(2a,0)沿曲线 y = -.2ax - x2 到点 O(0,0)的弧。3设L为连接A（ 1，2），B（ 3，4）的某曲线弧，弧 L与其上方的直线 AB所围成的

4、面积 为 m,试计算：I 二 L（2xey 1）dx （x2ey x）dy 的值。4计算厂xd今，其中L为以点（1, 0）为中心，R为半径的圆周（R . 1），取逆时针L 4x2 +y2方向。K5设位于（0, 1）的质点A，对质点M的引力大小为 （K0为常数），r为质点A与Mr之间的距离，质点 M沿曲线y-X2自点B（ 2，0）运动到0（ 0，0）求质点A对点M的引力所做的功。6利用曲线积分计算星形线 x =acos3t, y =asin3t所围图形的面积。7验证下列曲线积分与路径无关，并计算其值。xf （y）连续，曲线Lad是由圆弧-1），D（ 1，2）。 | = （e （cosydx si

5、n ydy），其中 L 是从 A（ 0,0）到 B（ a,b）的任意弧段。 I f (y) cosx _2ydx f(y)sinx_2xdy，其中L ADAb 及折线 BCD组成，其中 A（ 0，1）, B（ -1，1），C（ 0,8 设f （xy）关于中间变量u二xy具有连续的一阶导数， 证明：沿任意分段光滑闭曲线 L曲线积分 I = l f (xy)(ydx xdy) = 09求下列微分式的原函数：(x2 2xy-y2)dx (x2 -2xy _ y2)dy22 (2xcosy_y sinx)dx (2ycosx_x sin y)dy(3y -x)dx (y -3x)dy (x + y)3

6、10设f(x, y)在区域门5 /R2内可微，AdyJ, B(X2,y2)是内两点，L是以A为起点B为终点的逐段光滑的有向曲线。f讦将.d dy改写成向量形式；L ;:x;:y设A(x“ yj, B(x2, y2)都在第一象限，计算xxdy - ydx0 4对面积的曲面积分4x y z1计算 (2x y z)dS，其中匕为平面1在第一卦限中的部分。V 32342计算I i(x y z)dS，其中Z为上半球面z = a2 - x2 - y23计算n(x2 y2)dS，其中二为球面x2 y2 z2 = a24计算n(x2 y2)dS，其中i为曲面z= x2 y2与平面z = 1所围成的立体的表面。

7、y5设3为锥面z二,x2 y2在柱体x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 .zdS0 5对坐标的曲面积分1设匕是平面x y z=-3被三坐标平面截下的部分的上侧，求：！xdydz h(x y)dzdx！!yzdxdy 2 22设匕是平面z = 2 (x y - 4)的下侧，求XXSiisin xdydz cosydzdx arctan?dxdy r23设匕是半球面 z1-x2-y2 的上侧，求JJ yzdzdx4 把！ iP(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy 化为对面积的曲面积分，其中3y为上半球面z =1 - x2 y2的上侧。0 6高斯公

8、式和散度利用高斯公式计算下列曲面积分(1 5) 1 i ix2dydz y2dzdx zdxdy，其中 Z 是 z = 1 -xy2 4 z = . x2 y2 所围立体的外表面。2 ii(xcos= hycos ： zcos )dS，其中三是由z = x2 y2,z = 4所围立体的外表面, 2；COS，COS :,cos 是匕外法线方向的方向余弦。3 I ix3dydz y2dzdx zdxdy，其中匕是x2 y2 = 4,1,2所围立体的内表面。y2 2 24 .i.iyzdzdx 2dxdy，其中二是球面x y z - 4的外侧在z_0的部分。 y2z - - a2 - x2 -y2

9、的上侧。5 axdydz+(a+z) dxdy，其中为下半球面 Z(x2y2z2)2,匕为空间立体i 的全表面,匕分片光滑，n为其外法线向量,V为门的体积，求证：VUdSJ Jn7求F二xy,y2,3穿过曲面z=2-x - y (x y - 2)通量，曲面法向量向上。8求下列向量场F的散度: F = xy, arctanexy, In(1 yz)-fc F =xy, yz,x0 7斯托克斯公式和旋度1 L 是闭折线 ABCA，求 zdx + xdy + ydz，其中 A(1,0,0), B(0,1,0),C (0,0,1)。严22 L为曲线 0 FX +y ,从z轴的正方向看L沿顺时针方向，求z = 1： L(y _z)dx (z _ x)dy (x _ y)dzL为曲线从y轴的正方向看L沿逆时针方向，求2 2;x ydx yz dy zxdz