Aitken加速收敛算法资料

1、Ai t k e n 加 速 收 敛 算 法精品文档2012-2013（1）专业课程实践论文Aitken 加速收敛方法李阳 0818180221 R数学 08-2 班曹宏博 0818180220 R数学 08-2 班收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档一、算法理论Aitken 加速收敛算法基本原理：对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精 度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的 加速是个重要的过程。设 x0 是跟 x* 的某个预测值，只迭代公式校正一次 x1 f (x 0 ) , 而由微分中 值定理有： x1-x* f(t) (x 0

2、- x* ) (其中t介于 x*与x0之间)。假定 f x 改变不大，近似的取某个近似值 L，则由 x1-x* L (x0 -x*)得到 x* x1 - L x0 , 可以期望按上式右端求得1- L 1- Lx2 x1 -x0 L x1 L x1-x0 是比 x1更好的近似值，将每得到一次改进值2 1- L 1- L 11- L算做一步，并用 xk和 xk分别表示第 K步的校正值和改进值，则加速迭代计算 方案可表述如下：校正： xk 1f xk改进： xk 1 xk 1xk 1- xk1 - L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f x 的有关信息 L，实际使用不便收集于网络，如有侵权请

3、联系管理员删除精品文档仍设已知 x* 的某个猜测值为 x0，将校正值 x1 f x0 ,再校正一次，又得x2 f x1 。由于 x2 - x* L x1 - x * 将它与式x* x1 -L x0 联立，消去未知 L，然后有1-L 1- L2x* x2 - x2 - x1这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信x0 - 2 x1 x2息，但是它需要用 2 次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：校正：xk 1 f xk再校正：2xk 1 f xk 1 改进： xk 1 xk 1- xk 1-xk 1 xk 1- 2 xk 1 xk上述处理过程称为 Aitken方法。

4、如下用 2 个题说明：例题（ 1）用 Aitken算法通过编程计算 x3 - x-1 0在1,2 内的近似根， 要求精度达到 0.0001。例题（ 2）用 Aitken算法通过编程计算 x3 -x2 -1 0在1，2 内的近似根，要求精度达到 0.001收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档、算法框图收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档开始三、算法程序收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(1)题程序：#include#includedouble s(double t)return (t*t*t-1);using namespace std;int main()int i;

5、double x,x0,x1,x2,e;cout 请输入迭代初始值 x0, 和控制精度 ex0e;i=0;while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)e)i+;x1=s(x0);x2=s(x1);x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow(x1+1),1.0/3.0); x=x0;cout 近似根 x=xendl;cout 所需迭代次数 i=iendl;return 0;收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档四、算法实现例 1. 用 Aitken算法通过编程计算 x3- x-1 0在1,2 内的近似根，要求精度 达 到 0.0001 。解：运行程序（1）输入 x0 的初始值是 1.5 以及精度值 0.0001. 然后按回车。 （2）得到结果近似根 x 1.32472 ，所需迭代次数为 5 次。当精度达到 0.0001 时，程序运行结果如下图：Aitken 迭代法是将迭代值在迭代一次，此时对于发散的 xk 1 xk3 -1 迭代 公式，经过 Aitken 迭代法处理后却获得了相当好的收敛性。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例 2. 用 Aitken 算法通过编程计算 x3-x2-1 0 在1,2 内的近似根，要求精 度达到 0.001 。解：运行程序（1）首先输入 x0的初始值是